Д.В. Белов - Электромагнетизм и волновая оптика (1115538), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Следовательно, взаимное погашение колебаний,приходящих от соседних зон, оудет He совсем полным.Подчеркнем, что конкретная картина зон Френеля на выбраннойповерхности I зависит от положения точки наблюдения: чем ближе точ­ка наблюдения, тем мельче зоны (из рис.123 видно, что для точки в'размер первой зоны меньше, чем дуія точки в).Докажем равенство площадей аонщадь, зсінииаѳмув первыми п зонамиповерхности сферического сегмента,S = 2rrRh, где R - радиус сферы и hобозначениях (рис.124)Sn = 2па.6п.равняв выражения для r2„, полу­ченные по теореме Пифагора испрямоугольных треугольников:фрѳнѳля. Сначала вычислим пло­Френеля, т.ѳ.площадь боковойкоторая определяется формулой- высота сегмента, или в нашихВысоту сегмента бп найдем, при­2а - Iа~6г( МпВ)^ -( МоВ+б п) ^.Обозначая M o B = Ь и учитывая,что M n B = M o B + п Х/2, как этоследует из способа построениязон (CM.

также рис.123),имеема ^ - ( а - й п )^ = ( Ь + п Х / 2 ) ^ - ( Ь + < 5 п )^ ,и,раскрывая квадраты скобок,2а6пРис.124= bnX + - J n ® X ^ - 2 b 6 n .Пренебрегая ввиду малости длины световой волны членом -^п2 Х2самым считаем, что число аон не слишком велико), находимбп = n b X / 2 ( a + b ) ,Площадьп-йTBJC(темчто Sn = 2пабп = птіаЬХ/(а+Ь).воны получим как разность площадей п и(п-1) зон:S n - S n - I = П7іаЬХ/(а+Ь) - (п-1 )n a bX / (a + b) = тгаЬХ/(а+Ь).Мы видим, что она не зависит от номера зоны, следовательно, в нашемприближении (число зон не слишком велико) площади зон Френеля оди­наковы.§ 28.МЕТОД ВЕКТОРНЫХ ДИАГРАММРазобьем поверхность s на одинаковые по площади тонкие коль­ца, нумеруя их по мере возрастания радиуса фис.і25,а).

Колебания,приходящие от них в точку наблюдения в , изобразятся на векторнойдиаграмме малыми векторами d X i ,аХз, ... , которые будем рас­полагать друг за другом в виде цепочки, имея в виду их дальнейшеесуммирование фис.1 25,б).(Напомним, что на векторной диаграмме гар­моническое колебание изображается вектором-амплитудой, модуль кото­рого равен амплитуде колебания,а направление составляет с некоторым(Іиксированным направлением угол, равный начальной (^>азе колебания.)С ростом номера кольца векторы этой цепочки непрерывно пово­рачиваются, так как по мере удаления кольца от точки наблюдения153растетзапаздываниепо фазе.Еслибы амплитуда колебанийоылиодинаковы, то были быодинаковы и длины векторовdXj ицепочкавекторов, опи­савкруг, замыкалась.На са­момделемодуливекторовнепрерывноуменьшаются, пос­колькусростомномеракольцаповыясненнымранее причинамуменьшаетсяамплитуда прихо­дящегоотнегоколебания.

По­этому векторная диаграммапредставляет собой ломануюРис.125линиюввидеспирали ^нарис.125,оизображенлишьпервыйѳѳ виток).Колебаниям, приходящимотпервойзоны^неля, соответствуетучас­токOCi диаграшы, отвторой- участокCiCz и т.д. Действительно,колебания, приходящиеоткраевзоны, имеют противоположные фазы,таккакразностьходадлянихравна полуволне, и, следовательно,изображаютсянавекторной дааграмме противоположно направленнымивекторами. Истинную векторную диаграмму получим, неограниченноуменьшаяширтнуколец. ПриэтомвсеО иломанаялинияпереходатвгладкуюспираль (рис.і26,а). Посколькуамплитудыубыва­ютсростомномераі кольцакрайнемедленно, шагспиралимал, т.е.ѳѳ виткирасполагаютсяплотно.Рис.126Пользуясьвекторнойдиаграммой,легконайтиколебание, прихо­дящееБ точкунаблюденияотлюбогочислазон.

Для этого напомним,чтоприсуммированииколебанийследует сложить вѳкторы-амплитуда,изображающиескладываемыеколебания, т.е. провестивекторизначалапервоговконецпоследнего. Суммарноеколебаниеотвсехзонопрѳде154ляѳтся вектором , соѳдинянщим начало и конец спирали - это соот­ветствует отсутствию препятствия на пути световой волны. Колебания,приходящие в точку наолюдения от первой, второй, третьей зон изоб­ражаются векторами Хі.Хг.Хз . от двух первых зон - вектором Xi -2 ,от трех первых зон - вектором Хі+2 *з (см. рисл26,а,о,в,г) и т.д.Отчетливо видно, что колебания от соседних зон имеют противополож­ные фазы ^векторы Xi и Хг на рис.1 26,б противоположно направлены),HO взаимно погашаются не полностью { X i * 2 * Q на рис.і26,в).§ 29.ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ НА КРУГЛОМ ОТВЕРСТИИРассмотрим дифракцию от точечного монохроматического источникасвета на круглом отверстии, уже упоминавшуюся ранее фис.і20,б),причем будем считать, что экран для наблюдений расположен не слиш­ком далеко от отверстия.

Такой случай наблюдения дифракции в ближ­ней зоне называют дифракцией Френеля.В качестве поверхности, (рігурирующѳй в формулировке принципаГюйгенса -Френеля, удобно взять сферическую волновую поверхность s,касающуюся краев отверстия фис.і27). Тогда для области пространст­ва справа от отверстия необходимо учитывать только те вторичные ис­точники, которые находятся в пределах отверстия ^нa сегменте МоМ) остальные будут закрыты экраном.Прежде всего, ответим на такой вопрос: как будет изменятьсяинтенсивность в некоторой точке в на оси схемы, если непрерывноувеличивать радиус отверстия? При увеличении радиуса отверстия от­крывается все большее число зон Френеля ^нa векторной диаграммеірис.і26,а) конец вектора X , описывающего колебание в точке наолю­дения, непрерывно перемещается по спирали) и интенсивность в точкенаблюдения будет изменяться, достигая поочередно своих минимумов,когда открыто четное число зон и колебания от них попарно погашают­ся, и максимумов, когда открыто нечетное число зон и остается нескомпенсированным колебание от одной целой зоны.Перейдем к исследованию дифракционной картины, которое прове­дем, основываясь на методе зон Френеля.

Пусть для определенностиэкран для наблюдений находится на таком расстоянии от отверстия,что для центральной точки в экрана в отверстии уложилось три зоныФренеля (рис.1 27,а, внизу дана картина открытых зон). Тогда в цен­тре экрана будет светлое пятно - максимум интенсивности. Если сме­щаться от центра экрана, проводя для каждой точки наблюдения анало­гичное разбиение поверхности z на зоны Френеля, то с одной стороныотверстия зоны начнут частично закрываться экраном, а с противопо­ложной стороны будут частично открываться новые зоны, первоначально155закрытые экраном. В точке Bi экрана фис.і27,0) интенсивность ста­нет минимальной, так как здесь попарно погасятся колеоания от цели­ком открытых первой и второй зон, а также от приолизительно одина­ковых по величине и форме открытых частей третьей и четвертой зон^нашѳ рассуждение не претендует на строгость) -через эту точку про­ходит темное кольцо.

Рассуждения такого рода, подкрепленные строгимрасчетом, показывают, что дифракционная картина представляет собойчередование темных и светлых колец, причем по мере удаления от цен­тра экрана интенсивность в максимумах уоывает.РИС. 12'JТеперь выясним, как зависит дифракционная картина от расстоя­ния до отверстия. Как уже отмечалось, размеры зон Френеля тем мень­ше, чем ближе точка наблюдения к поверхности z. Поэтому по мереприближения экрана для наблюдений к отверстию число открытых зондля центральной точки экрана будет увеличиваться и, следовательно,интенсивность в центре экрана будет изменяться, поочередно достигаясвоих максимумов, когда открыто нечетное число зон, и минимумов,когда открыто четное число зон.

Таким образом, вдоль прямого луча,идущего через центр отверстия, чередуются практически совершеннотемные места и места,где интенсивностьвчетверо больше той іо.которая следует из законов геометрической оптики,іДействитель/с,как видно из векторной диаграммы на рис.126,а , а . й 2 Ао , откуда15634 (Ao)^ И, следовательно,а 4іо.) Этот пример уоедительно свидетельствует о полнойнеприменимости законов геометричес­кой оптики для описания оптических явлений, в которых дифракция иг­рает существеннуюроль.Обращаясь сновак векторным диаграммам на рис.126, можно заме­тить, что дид&ракция существенно проявляется в той областипростран­ства, для точеккоторой в отверстии укладывается сравнительно не­большое число зонФренеля.

Здесь при переходе от точкик точке пе­риодически изменяется амплитуда колебаний отодо2аои соответственно интенсивность оти до4іо , и образу­ется контрастная дифракционная картина. Напротив, в области, дляточеккоторой открыто очень большое число зон, при переходе от точ­ки к точке амплитуда практически не изменяется: а * ао (конец век­тора X на векторной диаграмме остается около центра спирали) и ин­тенсивность практически такая же, как при отсутствии препятствия:I э! Io . 0 этими связано утверждение, что дифракция незначительна,когда размеры препятствия существенно больше длины волны: в этомслучае для всех точек пространства,за исключениемкрайне удаленных,открыто большое число зон.§ 30.ЗОННАЯ ПЛАСТИНКАВернемся к ситуации, представленной на рис.123.Колебание вточке В можно представить как сумму колебаний с амплитудами Al, Аг,...

и т.д., приходящих от всех зон Френеля. Поскольку нашравлениявекторов-амплитуд колебаний от нечетных и четных зон противополож­ные (рис.1 2 6 ,б,г ), то амплитуда результирующего колебания выразитсясуммой Ao= Al- Aa+ Аз- А4+... = (A l +Аз+... )-(А2 +А4 + ... I . Амплитудасуммарного колебания Аі+Аз+... от всех нечетных зон, как и от всехчетных аон А2 +А4 +... . весьма велика по сравнение с Ao.поэтомуинтенсивность в точке В можно существенно увеличить, преградив путьколебаниям, идушим от четных (или нечетных) зон.

Характеристики

Список файлов книги