А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Компонента поля, тангонцнальная к поввркностн раздела длэлектрниов, как бы давит на позер|»масть причен давление равна обьеннай плотности электрической эмергмн вола, связанной с этой коипонентой. Всегда. независимо от ориентации попа, поверя. местная сила действует в сторону диэлектрика с ненымвй диэлектрической праннцаемастью.
1бв 2. Постоянное электрическое поле Таким образом, в данном случае электрические поля, находягциеся яо разные стороны от границы раздела как бы притягивают к себе поверхность раздела с поверхностной плотностью силы, равной объемной плотности электрической энергии, приходягцейся на нормальную компоненту напрялсенности поля. Равнодействующая двух сил, приложенных к поверхности раздела от полей по разные стороны от границы, является полной силой, действующей иа границу раздела.
Так как Ог„= Ог„= 0„, то [см, (19.20)( / (уг г (19.23) При с, ( к, поверхностная плотность силы )"„> О. Это означает, что на гранину раздела сила действует в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью, т.е. в направлении большей объемной плотности электрической энергии. Заметим, что объемная плотность силы [см. (!9.12)3 также направлена в сторону увеличения объемной плотности электрической энергии. Теперь рассмотрим диэлектрики, плоская граница между которыми перпендикулярна обкладкам плоского конденсатора (рис. 97). В этом случае иа границе соблюдается условие Ег, — — Е„ = Е„ поскольку напряженность поля направлена параллельно границе.
Индекс т означает тангенциальные к поверхности раздела компоненты векторов. Смещение границы происходит при условии Е, = сопа1, т.е. при постоянной разности потенциалов. Следовательно, необходимо вычислить изменение свободной энергии (бР)т . Для поддержания неизменной разности потенциалов необходимо изменить плотность зарядов на той части обкладок конденсатора, которая соответствует смещению поверхности разлела на бх.
Для этого затрачивается энергия по перемещению заряда, равная бц(фг — фг) = бцЕ,!, где Е, и ! — напряженность поля и расстояние между обкладками конденсатора. Поверхностные плотности заряда в области соприкосновения обкладок с первым н вторым диэлектриком равны соответственно о, = е,Е, = е,Е, и ог = егЕг = = е,Е,. Глубина диэлектрика в направлении, перпендикулярном плоскости рнс. 97, равна ЬЯ/!. Следовательно, бц = (о г — ог) (бб/!) бх.
(19.24) При данных условиях для производства работы доступна лишь разность между энергией поля и энергией, которая затрачивается для поддержания постоянства потенциалов. Поэтому изменение свободной энергии равно (бР)т, = (г/гЕг 0ы /гЕг,()г) ЛЯбх — (ог — о,)(ЛЯ/()г(х Е(. (1925) Так как ог = к,Е, и и, = к,Е„то (бР)тч= (/гЕгДг, /гЕг,()г,)г55бх. (19.2б) С учетом (19.18) и (19.26) соотношение (19Л7) принимает вид /и = '/гЕг1(уг, + '/гЕг,Ог; (19.27) 5 19. Силы в электрическом поле 169 (19.31) Эта поверхностная плотность силы также направлена по нормали к поверхности раздела. Из (19.27) видно, что она слагается из двух частей: 1) поверхностной плотности силы Л. = — 7эЕг,(3э, (19.28) действующей на границу раздела в направлении первой среды со сто- роны электрического поля второй среды.
Напомним, что положитель- ная нормаль выбрана из первой среды вгь вторую и, счедовательно, знак минус в (!9.28) свидетельствует о направлении силы из второй среды в первую: 2) плотности силы Ум — — '/э Е„В,„ (19.29) действующей иа границу в направлении положительной нормали со стороны электрического поля первой среды. Таким образом, за счет таигепциальпой компоненты напряженно- сти электрическое поле как бы давит иа граиичаи!ую с иим поверх- ность раздела, причем давление равно обьемпой плотности энергии, приходяи!ейся па тапгенииальпую компоненту напряженности поля. равнодействующая сил давления, приложенных к поверхности раз- дела со стороны полей по разные стороны границы, является полной силой, приложенной к границе. Поскольку Е„Ег,— — Е„формула (19.27) принимает вцд ,гп !эЕ~ (аг еэ) (19.30) При е, се, плотность силы Г„> О. Следовательно, поверхностная плотность силы направлена в сторону диэлектрика с меньшей ди- электрической проницаемостью.
Таким образом, всегда, независимо от ориентации полл относительно поверхности раздела, поверхностная плотность силы иапраалепа в сторону диэлектрика с меньшей ди- электрической пронияаемостью )см. (1 9.12)3. Справедливость и общность этого утверждения также следуют из равенства (18.36), если принято во внимание, что система стремится перейти в состояние с наимень- шей энергией, Объемные силы, действующие иа сжимаемый диэлектрик. Исходим нз формулы (1836), в которой ба обусловливается деформацией, изменяющей плотность массы.
Процессы предполагаются изотерми- ческими (Т= сопз!). Диэлектрическая проницаемость изменяется от точки к точке, являясь функцией от г, и, кроме того, может зависеть от плотности р массы диэлектрика, т.е. а=а(г, р ). Пусть прн ле- формации элемент объема г()г смещается на 1 и при этом происходит изменение плотности массы диэлектрика. Элемент объема, который после смещения находится в точке с радиус-вектором г, до смещения находился в точке г — Е Следовательно, да де = -18габе+ — бр * др„ где Ьр — изменение плотности массы диэлектрика. 170 2. Постоянное электрическое лоле Можно показать, что элемент объема оч" после деформирования равен (1$'=(! +йч!)д!". (19.32) Закон сохранения массы для элемента объема имеет вид р.б) = р„'4К' (19.33) или р (1 + йч !) д Ф' = р„о и ', (19.34) Подставляя (19.31) и (19.35) в (18.36), находим БИ'= — ~Е ! 8габе+ Е р — йч! дИ бе К др (19.36) По формуле (П.12) имеем Е р„— йч ! = йч~ Е р — !у! — ! 8гаг(~ Е р — ~.
" др ( др / ( др„,! Тогда (см. (19.36)3 2 8)ч'= — Езйгабе — 8гад Е'р~ — !ог'+ — йч Ехр — ! оК 2 ~~ (19.38) (19.37) При обычных предположениях о непрерывности подынтегральных выражений можно второй из интегралов преобразовать по теореме Гаусса — Остроградского в интеграл по поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем. Считая для упрощения рассуждений, что диэлектрик занимает все пространство, а порождающие поле заряды распределены в конечной области пространства, убеждаемся, что второй интеграл равен нулю, поскольку Е'-1/г~, где г — расстояние ог заряда до поверхности интегрирования и, следовательно, йч(Е р„— !14! = ~! Е р.— ! <~- б.
г - ( " бр„ ( ~ ар. ' ' (1939) Объемная плотность сил Х описывает действие электрического поля на диэлектрик. Объемная плотность совершаемой этой силой работы при деформации равна 1 !. Поэтому закон сохранения энергии при деформации с учетом (19.38) и (19.39) имеет виц Г, ! г(1 Е2 8гаД е 8гаг( Езр ! г(1~ (19.40) где р и р' — плотности массы после деформации и до деформации. Из (19.34) следует, что для бесконечно малого смещения Ьр„= р — р' = — р йч !. (19.35) 1 19. Силы в электрическом поле 171 Так как равенство (19.40) справедливо при произвольных смещениях (, то (19.41) (19.43) (19.456) Сравнение (19,45а) и (19.456) с учетом независимости «(~, приводит к равенству Эта формула справедлива для изотропных сжимаемых диэлектриков при произвольной зависимости е от плотности массы р (см.
(19.13)1. Если поляризованность линейно зависит от объемной плотности массы, то де р „=е — се (19.42) дР и (19.41) переходит в (19.12). Следовательно, формула (19.12) справед- лива не только для жестких диэлектриков, но и для сжимаемых сР-р, Хотя формула (19.41) для упрощения рассуждений при преобразо- ваниях (19.39) была выведена в предположении, что диэлектрик зани- мает все пространство, она справедлива всегда, поскольку является дифференциальным соотношением, справедливость которого не может зависеть от того, что происходит в других точках пространства.
вычисление сил из выражения для энергии. Для того чтобы перенести заряд «(9 в точку с потенциалом ф, необходимо совершить работу ер 69. Поэтому полное изменение энергии системы зарядов при изме- нении зарядов на Й9, равно ~фэМ. Оно сопровождается изменением энергии электрического поля на ч(И' н производством работы зарядами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
