А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Емкость конденсатора увеличивается в е, раз. $ раничные условия. Граничными условиями называется связь между векторами поля по разные стороны поверхности, разграничивающей две области. Эта поверхность может разделять вещества с различными свойствами, быть границей тела в вакууме, а может быть, вообще говоря, просто воображаемой поверхностью в однородной среде.
Во всех случаях граничные условия позволяют определить изменение векторов поля при переходе через границу. Они выводятся с помощью уравнений поля. Е гг" йз К выводу гравичвого условия для тацгевциальиой составляюгиай вектора К еу>в] 1 раничные условия для нормальной составляющей вектора Р. Выведем это условие аналогично тому„как было получено граничное условие (17.21).
Однако теперь надо исходить из уравнения (17.30), а не (17.17): Преломление силовыа ливий иа гравице между диэлектриками 122а 0ы = о, (17.36) где о — поверхностная плотность заряда на границе. Нормаль пз направлена в сторону среды 2. Из (17.36), в частности, можно получить напряженность поля у поверхности заряженного проводника. Приняв внешнюю к проводнику нормаль положительной, мы должны считать в формуле (17.36) вакуум средой 2, а проводник — средой 1. В проводнике напряженность Е поля равна нулю, т.
е. 12,„= О. Следовательно, 0„= и ° Нормальмая сосгавляюьцав мапрягиеммосги ялевтричесиого поля терпит Саарые ма границе мемгду раапмчмгимм дмвлеигрмиамм м ловкому силовые пинии преломляются. (17.37) нли Е„= О'/Я. (17.38) 146 2. Постоянное электрическое поле (17АО) Если а, > а,, тогда Еэ» с Е,„н, следовательно, силовые линии ведут себя так, как показано на рис.
84, т. е. силовые линии удаляются от нормали, входя в диэлектрик с ббльшей диэлектрической проницаемо стью. накн связанных зарядов на границе раздела диэлектриков. Рассмот- 3 рим нормальные компоненты напряженности поля и полярнзованности на границе раздела диэлектриков. Запишем формулу (17.11) с учетом (17.31) для диэлектриков по разные стороны границы в виде (рис. 85): Ем = (аэ — ао)Ем, Ры — — (аэ — ао)Еэ». Преобразуем формулу (17.21) для поверхностной плотности заряда с учетом (17.32): «т =Р,„-Рм=а,Е,„— а,Е,„— а,(Е,„— Е»А. (17.43) Если свободные заряды на поверхности отсутствуют, то а,Е,„— — а,Е,„= О н формула (1743) упрощается: и,. = — ао (Еэ» — Ег„). (17.44) Эта формула совпадает с формулой (16.12) для вакуума, но с заменой ае на а, т.е.
напряженность поля у поверхности проводника при наличии диэлектрика уменьшается в а, = а/ар раз. Формула (17.38) дает также непосредственно решение задачи о поле в плоском конденсаторе, выраженное соотношением (17.26). Прн этом нет необходимости учитывать в явном виде связанные поверхностные заряды в диэлектрике между пластинами конденсатора, как это делалось при выводе (17.26).
Граничные условия для тангенциальной составляющей вектора К. Построим вблизи границы раздела диэлектриков 1 и 2 замкнутый контур (рис. 83). Вследствие потенциальности электрического паля циркуляция Е по замкнутому контуру равна нулю: Е б1= 0. (17.39) лвсвл Интегралы по участкам ВС и РА сколь угодно малы, так как АВ и СР расположены бесконечно близко к поверхности раздела. Знаки интегралов по АВ и СР противоположны ввиду того, что пути интегрирования проходят в противоположных направлениях.
Поэтому 1см. (17.39)3 Еэ, — Еы — — О. Преломление силовых линий на границе раздела диэлектриков. Допустим, что на границе раздела диэлектриков нет свободных зарядов. Тогда а,Е»»=аэЕ2», Е\» — Еэ (17.41) б 17. Элехтростатпческое поле прп наличии диэлектриков 147 Р2п Е2>ПЗ Знак повсрхностнозо заряда и повеление норыальных состав. ляююпх напряненностп поля и поззярнзованнсютн прп пересече- -=== внях границы в разлпспых направлеппях а) б) Для определенности по-прежнему будем очи~ать, что ез > вы а Е направлено из первой среды во вторую. Напомним, что в качестве положительной выбрана нормаль, направленная во вторую среду.
Тогда в формуле (17.44) Е,„и Е,„положительны, причем Е,„> Епы Поэтому связанный заряд на границе отрицателен (рис. 85,а). Величины Рта и Рг также обе положительны и, следовательно, Рз„>Ров как зто видно из (17.43) при а„< 0 (рис. 85,а). С помощью аналогичных рассуждений можно изучить изменение нормальных составляющих напряженности поля, поляризованности и знака поверхностной плотности заряда, когда напряженность поля направлена в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической пронипаемосгью (рис. 85, б). Метод изображений.
Идея метода при применении к диэлектрикам такая же, как и при применении к проводникам (см. 4 16). Пусть имеются две бесконечные диэлектрические среды (проницаемости е, и е,) с плоской границей раздела. В первой среде на расстоянии ет От ГраНИЦЫ Расположен точечный заРяД е). Утверждается, что потенциал в первой среде такой же, кап от заряда й и его изобра- жЕНИЯ Д' = З((аз — ез)/(Е, + Ет), РаСПОЛОжЕИНОГО ВО ВтОРОй СРЕДЕ На Раестоянии зз от гранзшы (рнс, Яб,а), причем расчет ведется так, как будто диэлектрическая проницаемосп сред равна а,. Потенциал во второй среде равен потенциалу, создаваемому зарядом е)н = 2п24/(пт + е,), находящимся на месте заряда 1( в первой среде (рис. 8б,б), причем расчет ведется так, как будто диэлектрическая проницаемость сред равна ва.
Таким образом, потенциалы в первой и второй средах равны: (17.45) 4пез ( )/( 1 1)2 1 у2 ез + Яз )/( ,1)2 + у2 / г., 1 ЯР 2 Нетрудно проверить, что трз и трз удовлетворяют уравнению Лап- ласа н граничным условиям: 148 2. Постоянное электрическое поле Метил игебрежеиий е прямене. иин к люлектрикем б) дер~ г)грг дерг сарг и 1 =6 — г бх „=, бх „ ,' бу „ . оу .=. выражающим непрерывность нормальных компонент Р и непрерывность тангенциальных компонент Е, Кроме того, удовлетворяется также требование конечности потенциала: Р,(„„(), Р,(„,„ (17.47) По теореме единственности формулы (17.45) представляют искомое решение. Сила, действующая на заряд 4, равна силе взаимодействия этого заряда с изображением [(е, — ег)/(ег+ аз)]г(, расположенным на расстоянии 2г( от заряда 4: (ег — ег1 4 г г ' (17.48) 4кс, 1, е, + ег,) 4г(~ ' При с, < ег значение Г отрицательно, т.
е. д притягивается к границе раздела диэлектриков. Если е, > ег, то Г положительно и, следовательно, д отталкивается от границы. Диэлектрический шар в однородном поле. Найдем с помощью уравнения Лапласа напряженность электрического поля при внесении диэлектрического шара в первоначально однородное электрическое поле. Если линейные размеры обкладок плоского конденсатора достаточно велики, то даже при сравнительно большом расстоянии между ними поле во внутренних областях вдали от краев однородно с большой точностью. Если размеры обкладок увеличиваются до бесконечности с одновременным увеличением до бесконечности расстояния между ними при постоянной поверхностной плотности зарядов на обкладках, то во всем пространстве создается однородное электрическое поле.
Поместим в это поле проводящий диэлектрический шар. Ясно, что вследствие поляризации напряженность поля вблизи шара изменится, а на бесконечности останется без изменения. Определим напряженность электрического поля во всем пространстве, включая область внутри диэлектрического шара. Допустим, что шар радиусом )1 состоит из диэлектрика с диэлектрической проннцаемостью а„а окружающее пространство за- й' 17. Электростатическое поле при наличии диэлектриков 149 йо приеитироака системы коорлииат а случае диэлектрической сферы а опиороииом поле иолнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е, (рис. 87). Напряженность однородного поля направлена параллельно оси У, Вследствие аксиальной симметрии задачи удобно пользоваться сферической системой координат с полярной осью по оси х.
Для однородного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью в уравнение Пуассона (15.14) имеет внд ч ер= — ру (17.49) что очевидно из сравнения уравнения (15.10) для вакуума с уравнением (17.30), имеющим для однородного диэлектрика внд О(и Е = р/е. (17.50) В сферической системе координат уравнение Пуассона записывается так: — — г — + з .
— а(пΠ— + а, э —.т = — —, (17.51) г' дг (, дг) гзз)пО дО ~, дО) гаа(пэО дат а' где и — аксиальный угол. В данной задаче свободные заряды отсутствуют (р = О) и в результате аксиальной симметрии дер/дсе = О. Поэтому задача сводится к решению уравнения Лапласа — а — г — + а, — мпΠ— =0 (17.52) г' дг (, дг) гаа(пО дО 1, дО) во всем пространстве с соблюдением следующих условий: 1) потенциал <р всюду непрерывен и конечен; 2) нормальные компоненты вектора Р = — сйгабер непрерывны на границах раздела сред, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
