А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(16.77) 4 16. Электростатическое поле нрн наличии проводников 127 шара напряженность направлена по нормали к поверхности. Вне шара на конечном расстоянии от его поверхности она равна сумме напряженностей внешнего поля и полей, создаваемых сдвинутыми зй>уг относительно друга заряженными шарами нли, что то же самое, соотдегствующими поверхностными зарядами. Поле вне равномерно заряженного шара таково же, как если бы весь его заряд был сосредоточен в центре.
Таким образом, необходимо найти напряженность поля двух разноименных точечных зарядов с одинаковым абсолютным значением, находящихся на небольшом расстоянии один от другого. Такая совокупность зарядов называется дниолем (рис. 67). Вектор 1, проведенный от отрицательного заряда к положительному, называется плечом дипаля. Вектор Р 4! (16.81) называется моментам дипел>ь В формуле (16.81) 4 — абсолютное значение каждого из зарядов диполя. Для определения напряженности поля вне проводящего шара необхо. димо найти напряженность поля диполя, заряды которого сосредоточены в центрах сдвинутых шаров. Из (16.77) следует, что момент диполя равен р 4/зяйзр! = 4янсйзЕ (16.82) где <с — радиус шара.
оле диполя. Напряженность поля днполя П слагается нз напряженностей составляющих диполь зарядов, Плечо диполя сколь угодно мало и позтому его можно считать много меньшим расстояния до точек, в которых вычисляется напряженность. Найдем потенциал диполя. В точке Р (рис. 68) потенциал, очевидно, выражается формулой 4 (г 1 1 >( 4 (г< > — г<э>'1 4яас ><в<+> г<->/ 4яив <, г<+>г< > ! (16.83) Так как ! жг, то можно считать г< >— — г<+>Яи1созв, и, >г<э>илгз и хаРа теРизовать местоположение точки Р радиус-векго- Ее Еб Прсвсдыння лзвр в сднсрсдисм элелтричесясм воле 67 Днислв (с яв К вычислению поля диисля 128 2. Постоянное электрическое поле ром г с началом в любой точке днполя, поскольку диполь имеет сколь угодно малые геометрические размеры. 'Тогда [см. (16.83)З 1 рг 'Р(г) = з 4пее (16.84) где 4(созО =(р г)(г, откуда 1 ГЗ(р г)г р1 8гаи Р= з з 4кео ~ гз гз ) (16.8зг Напряженноспгь поля диполя убываегл обратно пропорционально глрегльей сгпепени расстояния, гп.
е. быстрее, чем напряженносгль кулоновского ноля заряда. Силовые линии поля диполя изображены па рис. 69. Формула (16.8э) позволяет построить линии напряженности поля„ когда проводящий шар помещен во внешнее однородное поле. В каждой точке напряженность равна сумме напряженности Ев однородного внешнего поля и напряженности Е, создаваемой индуцированными на поверхности проводжцего шара зарядами. Линии напряженности этого поля изображены на рис. 66. Метод изображений, При решении задачи о проводящем шаре во внешнем однородном поле было сделано одно предположение, справедливость которого не доказывалась, а именно: было построено некоторое поле, удовлетворяющее всем условиям задачи, и считалось, что другого поля, удовлетворяющего тем же условиям задачи, не существует, т. е.
предполагалось, что решение задачи является единственным. Если бы это было не так, то найденное конкретное решение не обязательно было бы тем решением, которое фактически реализуется. В теории электричества и магнетизма доказано, что решение задач, удовлетворяющее всем необходимым условиям, является единственным, Позднее будет рассмотрено, о каких всех условиях идет речь и как в общих чертах проводится доказательство этого утверждения, здесь же пока примем его справедливость без доказательства. Это позволяет найти решение задачи с помощью некоторых догадок или построений и на основании теоремы об единственности заключить, что найденное таким способом поле дает решение задачи. Примером удачной догадки является рассмотренное выше решение о проводящем шаре во внешнем однородном электрическом поле.
Существует наглядный метод построения поля, удовлетворяющего условиям задачи, называемый методом изображений. Его суть состоит в следующем. Поле точечного заряда хорошо известно. Стараются подобрать такую систему точечных зарядов, суммарное поле которых удовлетворяет всем условиям задачи. Из теоремы об единственности решения заключаем, что это поле дает искомое решение. Математически задача сводится к нахожденнюпотенциала, удовлетворяющего 5 А 11 Матвеев б 1б. Электростатическое поле врн условиям задачи.
Напряженность Е направлена перпендикулярно эквнпотенциальным поверхностям и вычисляется как взятый с обратным знаком градиент от потенциала Получить форму эквнпотенцнальных поверхностей системы точечных зарядов в принципе легко. Рассмотрим, например, поле двух положительных точечных зарядов 4, расположенных на расстоянии 22) друг от друга (рис. 70).
Так как потенциал точечного заряда на расстоянии г от него равен 19 = 1)Я(4кевг), то потенциал системы двУх одинаковых точечных зарядов (см. рис. 70) в точке (х, у, 2) определяется выражением 1 ф(х, У,з) = — — — + 4кео ( (х — 2))2 + уз+ 22 2 1 (16.86) уь~еч+у т* ) Из (16.86) получаем уравнение эквипотенциальных поверхностей: 1 1 + у1* — е' +7 + *' у(*+ е'+ у'+" = сопз1.
(16.87) Каждая из них характеризуется соответствующим потенциалом фь = сонм, фз = сопз1. На рис. 70 изображены линии пересечения плоскости Х У с экви потенциальными поверхностями. Сами эквипотенцнальные поверхности получаются в результате вращения картины, изображенной на рис. 70, вокруг оси Х. Пусть проводящая изолированная поверхность совпадает с одной из эквипотенциальных поверхностей, потенциал которой фв. Если принять, что на этой поверхности находится заряд 24, а ее потенциал равен фв, то система эквипотенциальных поверхностей и соответствующее ей поле полностью удовлетворяют условиям задачи о поле заряженной поверхности.
Потенциал во всех внешних относительно поверхности точках определяется формулой (16.86). Таким образом, нахождение характеристик поля, созданного заряженным проводником, свелось к нвлнчнн проводников 129 69 Сивовые линии валики диволя та Эквииатенннельные иоверкнаети двух одинаковых точечных вв- рядов 130 2.
Постоянное электрическое ~оле Зхвнпотенанальные поверхностн двух разноименных разных по абсолютной величине точечных зарядов И К наконденню зквнпотеннналь. ных поверхностей двух точечных зарядов разлнчной велнчнны К определенню поля хонден. сатора с непараллельнымн плас тннамн определению характеристик поля, двух одноименных равных точечных зарядов. В этом и состоит суть метода изображений. Происхождение названия метода станет очевидным из рассматриваемых ниже примеров. Потенпиал двух разноименных точечных зарядов определяется аналогично (16.86): я( 4яйо (х — с~)а+ уз+ га (16.88) 1 —,Ь-,о*+ —,',—.') Форма эквипотенцнальных поверхностей в этом случае показана на рнс 71.
Потенциал вдоль осн У равен нулю зь следовательно, он равен нулю в плоскости Х =О. Представим себе, что все бесконечное полупространство Х < О заполнено проводником, границей которого является плоскость УХ, и имеется заряд +и там, где он изображен на рис 71. Ясно, что этот заряд посредством электростатической индукции наведет на поверхности проводника заряд -4. Потенциал проводника прн этом должен быть равен зр = О, а силовые линии в каждой точке поверхности должны быть нормальны к ней.
Ясно, что картина силовых линий в полупространстве Х > О, изображенная на рис 71, полностью удовлетворяет этим условиям. Следовательно, задача определения характеристик поля точечного заряда +й, находящегося на расстоянии з( от плоской поверхности проводника, заполняющего полупространство Х ( О, свелась к нахождению характеристик полей двух точечных зарядов 4 и -Ф Заряд -4 расположен в точке, которая является изображением местоположения точечного заряда 4, если бы плоскость Х = О являлась зеркалом.
Отсюда и произошло название метода изображений. Вместо проводящего тела, занимающего полупространство Х < О, можно взять заземленную проводящую пластину, параллельную плоскости Х = О. Метод расчета и поле остаются без изменения. Если пластина не заземлена, то на стороне пластины 4 16 Электростатическое поле при наличии проводников 131 обращенной в сторону отрицательных значений оси Х, индуцируются поверхностные положительные заряды, которые полностью изменяют характер поля: поле при этом не является суперпозицией полей заряда и и его изображения.
Определим напряженность поля заряда 9, расположенного в точке л= з) при наличии заземленной проводящей плоскости Х = О. Потенциал поля во всех точках х > 0 дается формулой (16.88). Напряженность электрического поля в плоскости К = 0 равна дФ д х — з( х+ е) [( +д)'+у'Г' ' у [(„+ л)г + угчзз)г (16.89) О*-е грз"' дФ я у (16.90) ду 4яео [(х — з()г + уг)зп В плоскости Х = 0 компонента Ет исчезает, а 9 зг 2"ао (ге+ уз+ з(г)з!г .
(16.91) Поверхностная плотность заряда на плоскости Х = 0 [см. (16.12)) равна й Ы г ° Кт+7+ ззм* ' (16.92) Полный поверхностный заряд иа плоскости Х = 0 дается формулой Ю рз( () деду 2и Д (г + г+з)г)за 9з (16.93) т. е. индуцированный иа проводнике заряд равен индуцирующему заряду с обратным знаком [см. (16.20)]. Сила взаимодействия точечного заряда 9 с зарядом на поверхности х = 0 равна силе взаимодействия 9 с его изображением: Г = — 9г/(16леоз)г). Знак минус указывает, что точечный заряд притягивается к проводящей заземленной поверхности.
Метод изображений, конечно, не сводится во всех случаях в буквальном смысле к нахождению зеркального изображения зарядов. Рассмотрим картину эквипотенцнальиых поверхностей, создаваемых двумя различными по модулю зарядами. Для удобства введем полярную систему координат с началом в точке 0 (рис. 72). Полярная ось пРоходит чеРез местоположение точечных заРЯдов 9з и 9г. ПолЯРные координаты 9з ирг равны О, = О,г, = згт иОг =О, гг = азг соответственно. Потенциал в точке Р выражается формулой Ф(г О) чз + ~г 1 (16.95) 4яео тг + з)г — 2гз(з сов О 132 2.
Постоянное электрическое поле Если бз = а /бз (а < Из) и бз = — адз/бз, то чз (а, О) = О, т. е. потенциал на сфере радиусом а равен нулю. Следовательно, эта сфера является эквипотенциальной поверхностью с нулевым значением потенциала. Если на ее место поместить реальную проводящую заземленную сферу, то поле не изменится. Таким образом, если имеется проводящая заземленная сфера радиусом а н точечный заряд йз вне ее на расстоянии в(з от центра сферы, то поле вне сферы таково же, как и поле, создаваемое заРЯдом йз и Его «изобРажением» вЂ” заРЯдом йг = -адз/г)„ помещенным в точку с координатами Иг = а~/б„б = О внутри сферы. Сила взаимодействия между зарядом дз н сферой равна язйз бзаяз ')яао(бз — бз)' 4кео(бз — а')' (16.96) Пример 16.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
