А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Далее очевидно, что потенциал зависит от размеров и формы проводника, которые учитываются его емкостью. Енв(остью проводника называется отношение заряда (д уединенного проводника к его потенциалу (р; (16.24) Емкость проводника выражается в фарадах (Ф). Из (16.24) находим: 1 Ф=1 Кл,)В. (16.25) В системе СГС емкость выражается в сантиметрах, а формула для емкости совпадает с (16.24). Поскольку 1 В =(1/300) СГС, 1 Кл = = 3 102 ед.
СГС, из (16.24) следует, что 1 Ф=9 1022 см. (16.26) $ 16. Электростатическое поле прп наличии проводников Ы7 Фарад является очень большой единицей. Вычислим, например, емкость шара, радиус которого И, а заряд Д. Поскольку напряженность поля такого шара в окружающем его пространстве равна Е= 1 Д г (16.27) 4лео г то потенциал и емкость выражаются формулами: 1 Д ~р= Едг= 4кео и (16.28) к С = О/(р = 4кеоК (1629) 4т~ = птт0т + пгз0з 9з = оьхт0~ + пгт0ъ (16.31) где о,„— потенциальные коэффициенты, зависящие от формы и размеров проводников и от их взаимного расположения.
Теоретическое вычисление этих коэффициентов является сложной математической задачей. Обычно они определяются опытным путем. Потенциальные коэффициенты не являются независимыми друг от друга. В этом можно убедиться следующим образом. Пусть: о „ и от — поверхностные плотности зарядов; го о — расстояние от элемента интегрирования 45, на поверхности первого проводника до некоторой фиксированной точки внутри него; г„— расстояние от элемента поверхности б5т второго проводника до той же точки.
Тогда потенциалы первого и второго проводников равны (смысл гт, и гм аналогичен г„н г|г)-' 1 от о5, 1 аз о(5г ор (16.32) + гтт 4яео гтг 5~ о,й5з 1,а5, (16.33) ~р2 + 4пео 3 гы 4пео гм Заряды проводников равны: Д1 — — ) пт о)5о Дт = ) оз т)5т. 5, 5 (16.34) При радиусе шара 1 см находим С = 10 т/(9 10о) = 10 тх Ф, (16.30) Поэтому емкость обычно выражают в дальных единицах. Система проводников. Если имеется несколько проводников, то потенциал каждот.о из них зависит не только от заряда проводника, но и от напряженностей полей, создаваемых другими проводниками, или, другими словами, от зарядов других проводников, причем по принципу суперпозиции он прямо пропорционален этим зарядам.
Рассмотрим для определенности два проводника (рис. 59). На основании сказанного можно написать 118 2. Постоянное злекгрнческое поле Предположим, что заряды проводников изменились: Д1 = ) аг 451, Дг = ) ог с(52. 5, 51 Умножнм обе части (16.32) на Д;, а полученные равенства: (1635) (16.33) на Д', и сложим почленно 1, о, 65, 1, ог 452 Д11Р1+ Дгфг = о1 1151 + ~ ого51 + 4кео,) ~ г11 4кво ) ~ гг г 5, 5, 5, 52 4ж г 4в (' о2 652 1 (' (' ог 652 + — о2652 + — ~ 2511151 ~ = Дгф'1+ Д21рг 4яео 3 ггг 4яео Г21 (16.36) где порядок интегрирования изменен, поскольку интегрирование про- водится по разным независимым переменным.
Величины 411 и 1рг являются потенциалами проводников, когда заряды их равны Дг и Д;. Полученное в (16.36) соотношение (16.37) называется теореюй взаимности. Из нее получается условие, которому удовлетворяют потенциальные коэффициенты ац. Если заряд второго проводника равен нулю (Дг =О, Дг;50), то [см. (16.3 1)1 1Р1 = й11Д1, 1рг = пггД1. (16.38) Если заряд первого проводника равен нулю (Д', =О, Дг ~0), то [см. (16.31)3 1Р1 Й12Д2 ф2 %22Д2 (16.39) Теорема взаимности (16.37) для этнх двух случаев принимает вид Д21рг = Дгфг. (16АО) Подставляя в (16.40) выражения 1рг и фг [см. (16.38) и (16.39)1 и сокращая обе части полученного равенства на общий множитель Д2Д1, находим а12 о121 (16.41) т.
е. лотенциальные коэфргициенты симметричны относительно своих индексов. 1 !б. Электростатическое поле при наличии проводников 119 (16.43) Все вычисления нетрудно провести для любого числа проводников, записав исходные соотношения (16.31) для и проводников в виде ь % = Е пп(ер (16.42) 1 Все дальнейшие вычисления аналогичны вычислениям от (16.32) до (16.37) и вместо (16.37) приводят к следующей формуле, выражающей теорему взаьпььности в общем случае: Я и Х К~ = Х(сер(.
!=1 ~=1 Из (16.43) вместо (16А1) получается общее условие симметрии потенциальных коэффициентов: ап — — ал. (16.44) Система уравнений (16.42) может быть решена относительно Д,: (д = 2. спц~з (16.45) 1=1 Здесь Сп —— Ап/)л, где ьэ — детерминант из коэффициентов системы уравнений (16.42), Ап — дополнение элемента олт в этом детерминанте. На основании (16А4) заключаем, что коэффициенты Сп удовлетворяют условию С =Сь (16.46) где Сп — емкостные коэффициенты, Св — емкосгной коэффициент 1-го проводника, а Сп — емкостной коэффициент между 1-м и учм проводниками. Емкостной коэффициент уел~пенного проводника называется просто емкостью проводника.
Поскольку положительный заряд на уединенном проводнике создает положительный потенциал, можно заключить, что все емкостные коэффициенты с одинаковыми индексами (См, Сгз, ...) положительны. Чтобы в этом убедиться, заземлим все проводники, за исключением (-го, а на 1-м проводнике оставим положительный заряд, т. е.
будем считать, что Д, > О, Тогда, очевидно, <р~ > О и ~р> О при ь ф 6 Следовательно, уравнение (16.4э! для Д принимает вид Й Снчй (16.47) Так как ср, » О и Д~ > О, то Сн > О, что и требовалось доказать. Аналогично можно доказать, что емкостные коэффициенты с различными индексами не могут быть положительными — они либо отрицательны, либо равны нулю.
Рассмотрим, например, два проводника, из которых один заземлен, а другой изолирован и заряжен положительно. Этот положительный заряд вследствие явления электростатической индукции наведет на заземленном проводнике отрицательный заряд. Формула (16.45) для заряда на втором проводнике принимает вид (ез = Сзьцьь (16А8) 120 2. Постоянное электрическое поле яр Система проводников Омр, Тогда См — — С„= О, т. е.
емкостной коэффициент между заэкраннрованнымн проводниками равен нулю. Предположим, что первая н вторая сферы заземлены, т.е. гр, = О, срг = О, но заряд Дг;а О. Уравнения (16.49) в этом случае принимают вид: 0г = 0 0г = Сгэ'Рг 0г = Сээфг (1651) ° Енкосчь уединенного пра.
водника зависит гальке ог его формы и реэнеров. Погенципльные и викосг. ные коэффициенты эаиислг только ог геонегрнчески» кпрокгерисгнк проводников и ик вэоинного располаженна. Енкосгные коэффициенты с одинаковьюн индексами всегда положнгельны, а с реэпичныни — либо равны нулю, либо отрицательны. (1652) ь 01 р,а Ог рг'= еа К какопдснию емкостаык коэффициентов в случае двук сфер 61 К вычкслспвю смкосгкык коэф- фпцпснгов двух проаодашнк ша- ров Так как Дг ( О, ср, > О, то Сг, < О. Такой вывод не исключает возможности, что коэффициент может быть равным нулю, но этот коэффициент безусловно не может быть положительным.
Рассмотрим три проводящие сферы (рис 60). Их потенциалы и заряды обозначим соответственно Ф„фг, Фг н Ды Д„Дг. Для определения Сн имеем уравнения (16.45), которые в данном случае принимают вид: гыгг = Сггфг + Сырг + Сггрз (сг = Сггфг + См'Рг + Сггфг (уз=С„Ф, +С„ф, + С„ф,.
Чтобы определить коэффициенты С;. необходимо иметь достаточное число уравнений (16.49) с известными ф и срь из которых вычисляются Сц. Предположим, что Дг = 0 и вторая сфера заземлена. Прн этом срг = ср, = 0 и уравнения (16.49) принимают вид: Дг = С„фг, Дг = Сг,ср,, 0 = С„сры (16.50) Как было показано, на внутренней поверхности заземленной проводящей оболочки индуцируется заряд, равный по абсолютному значению заряду в полости ограничиваемой оболочкой, но противоположный ему по знаку, т.
е. Дг = -Дг. Из уравнений (16.51) получаем Сгз = -Сгз. Таким образом, емкостной коэффициент между двумя проводниками, один из которых полностью окружает другой, равен взятому с обратным знаком емкостному коэффициенту внутреннего проводника, что играет важную роль для конденсаторов. 4 !6. Электростатическое поле при натичии проводников !21 Предположим, что имеются два шара„расположенных на большом по сравнению с их радиусами а расстоянии г друг от друга (рис. 61).
Обозначим: а — радиусы шаров и г — расстояние между их центрами. Поскольку а ~ г, можно для расчета напряженности поля вдали от шаров пренебречь перераспределением зарядов на шарах нз-за их взаимной электростатической индукции. Тогда формулы для потенциалов шаров принимают вид; где Дг и Дг — заряды первого и второго шаров. Уравнения (16.53) можно Решить относительно (4г и Дг: агг агг Дг —— 4пее,, (Рг — 4кее г — т- грг à — й à — й г г гга Дг = — 4иае г г <Рг + 4пес г г грг.
à — й г — а Тогда (!6.54) аГ Сгг=Сгг=4кео г г =С>0, ,г аг Сгг — — См —— — 4пее г 1 = У (О. г — а Представим (16.54) с учетом (16.55) и (16.56) в виде: мг = Счгг + 78гг, (ег —— угрг + Счгг. (16.5э) (16.56) (!6.57) (16.58) При г- со получаем С„= См = 4яеса, С„= Сг, = О, т.
е. электрическая связь между шарами прекращается и каждый из них ведет себя как изолированный проводник, а коэффициент емкости каждого нз шаров становится просто емкостью изолированного шара Рассмотрим теперь типичную задачу. Напомним, что емкостные коэффициенты при неизменной конфигурапии проводников и их взаимного положения постоянны, независимо от изменения их зарядов и потенциалов. Поэтому надо рассмотреть столько различных ситуаций, сколько имеется неизвестных емкостных коэффициентов, и решить систему уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
