А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Найти силу взаимодействия между проводящей сферой радиусом а и точечным зарядом цз, находящимся на расстоянии Из от центра сферы, если на сфере раснрвдвлвн заряд О. Схема расположения сферы и зарада изображена па рис. 72. Заряд йз индуцирует в проводящей сфере свое изображение в виде заряда ц, = — цза/йз на расстоянии дз = аз/дз от центра сферы.
Однако теперь взаимодействие не сводится к силе притяжения между зарядом дз и его изображением, потому что по условию сфера имеет заряд О, а не йн Следовательно, для описания взаимодействия необходимо добавить еще одно «изображение» заряда, которое создает на сфере постоянный потенциал и в сумме с й, составляет О. Поэтому надо в центр сферы помесппь заряд Π— й, = Д+ йза/Из. Взаимодействие точечного заряда йз со сферой, имеющей заряд О, слагается пз взаимодействия йз с «изображениями» ц, и О+ йза/бз.
Таким образом, сила взаимодействия равна ц ( О + цза/йз дза (16.97) 4кео ( бз дз(йг — бь) ( Пример 16.2. Найти силу взаимадейснюия между проводящей сферой Радиусом а, поддерживаемой нри яоснюянном потенциале цьо, и точечным зарядом йз, находящимся на расстоянии дз ов центра сферы. Схема расположения сферы и заряда изображена на рис. 72. Заряд цз я его изображение 9, создают нулевой потенциал сферы. Чтобы он стал равным цьо, необходимо в центр сферы поместить «изображение» О = 4кеоа<ро. Сила взаимодействия между точечным зарядом йз и сферой, поддерживаемой при потенциале цзо, равна Г цз ) )л йза 4пво ( ~~з бз( 3 41) 1 (16.9«) Пример 16.3.
Двв проводящие »ласки« пластины образуют угол и, (рис. 73). Длина пластин, перпендикулярных плоскости рисунка, бесконечна. Между пластинами поддерживается постоянная разность новенциалов 1/ы Найти нанряжвнность ноля между пластинами и емкость, приходящуюся на длину ). Ширина нлаппины Ь вЂ” а. Принимается, что пластины нв соприкасаются в точке О, но сходятся доснюточно близко, и поэтому можно пренебречь краевыми зффвквами. $ 16. Электростатическое поле при наличии проводников !ЗЗ Поле аксиально симметрично. Поэтому удобно пользоваться цилиндрической системой координат, ось Е которой направлена перпендикулярно плоскости рисунка.
Обозначим: ц — аксиальный угол, г — расстояние от оси. Тогда уравнение Лапласа имеет внд 1 д ( дгр! 1 д'9 — — г — + — — =О, дг~ дг ) г2 да2 (1699) где учтено, что дзгр(д22 = 0 из-за цилиндрической симметрии поля. Решение ищем в форме и(г, а) = К(г)Ф(а). (16. 100) Ф б/4К! Кб~ф Подставляя (16.100) в (16.99), находим — — ( г — ! + — — = О. ° бт(, д( Умножая обе части этого уравнения на г'/Кф„ получаем ° А ( 6К'! ! 62Ф г К Дг( дг/ ф Даз (16.10!) Левая и правая части (16А01) зависят от разных независимых переменных.
Следовательно, равенство может быть удовлетворено лишь в том случае, когда его левая и правая части равны по отдельности одной и той же постоянной. Поэтому полагаем: ,! ( ОК'(, 1 бзф — г — =лз, — — »2, К 622, 2)г( Ф Дпэ (16.102! ))2 2 (16.104) из которого следует, что (! = ~л. При л =0 первое из уравнений (16.102) упрощается: 6К г — = сопя! бг и может быть удовлетворено функцией К = 0,1п г + 02. (16.102) может быть Следовательно, окончательно решение уравнения представлено в виде ))32!пг+ 02 При л = О, [Сзг" + Сзг " » л ф О. (!6.105) Попытаемся найти решение задачи, не зависящее от г, т.
е. при л = О, О, = О, тогда [см. (16.!03)1 2р(л) = В,а+ Вз. Граничные условия для чг имеюг где лз — постоянная. Решение уравнения лля ф очевидно: Ф= В, +В при л =О, (16АОЗ) А, пп ли+ А, соа лх» л ~ О. Решение уравнения для К ищем в виде К = Агх (й и 0), Подставляа это выражение в первое из уравнений (16.!02), получаем ра- венство 134 2. Постоянное электрическое поле ввд: Е(0) = О, о(и,) = (уо, т.
е. 0 = Вз, (уо = В,ио. Следовательно, Е(и) = !'ои/ио. (16ЛО6) Напряженность электрического поля равна 1др В. = -- — = -1/о7(гад). г ди (16.107 а) Поверхностная плотность зарядов иа пластинах оз = еи,(и = 0) = -с(Уо/(гио), оз = — оВ„(и = и,) = Жег«о). Заряд каждой из пластин (по модулю) па длине ! выражается формулой Я = !! одг = (!ооЮогио)!п(Ьуа). (16.108) в Емкость, приходящаяся на длину 1, равна 9 !оо!п(Ь/а) (~о ио (16.109) й 17. Электростатическое поле ири наличии диэлектриков Рассматриваются влияние диэлектрика на электрическое поле и различные механизмы поляризации. Выводится соотношение между плотностями обьемных и поверхностных связанных зарядов и поляризованностью.
Обсуждаются явления на границе между диэлектриками. (17,1) 1 Рд)г О, нпольный момент непрерывного распределения зарядов. Влияние д вещества на электрические и магнитные поля было экспериментально открыто и исследовано Фарадеем, Результаты этих работ привели Фарадея к идее близкодействия и концепции поля. Электростатическая индукция была им открыта в 1837 г. Тогда же он ввел в науку теРмины «диэлектрик» и «диэлектрическая постоянная». Пусть в некотором объеме )г (Рис. 74) имеется непрерывно распределенный с объемной плотностью Р заряд, причем в целом объем электрически нейтрален.
Однако зто не означает, что в каждой точке внутри объема положительный и отрицательный заряды взаимно компенсируются. Если положительные и отрицательные заряды распределены в объеме по разным законам, то в одних точках объема суммарная ппотносп р заряда положительна, а в других отрицательна.
Математически условие нейтральности объема )г имеет внд О, ЬУ, 1 Оз ЛУз 1 17. Электростатическое ноле прн Если во всех точках объема р= О, то материальная система в объеме Г электрически нейтральна: на нее не действует внешнее электрическое поле и сама она не порождает электрического поля. Однако если нлатность р заряда в одних частях обаема У положительна, а в других отрицательна, то хотя в целом заряд в сбьеме У равен нулю, система обладает электрическими свойппвами: на иее действует внешнее электрическое поле и сама она порождает электрическое поле.
В первом приближении электрические свойства нейтральной системы характеризуются ее дипольным моментом. Для двух точечных зарядов определение диполь- ного момента дается формулой (16.81). При непрерывном распределении зарядов дипольный момент (рис. 74) определяется формулой р=) ргдУ (172) г Радиус-вектор г в (172) отсчитывается от любой точки О, принятой за начало отсчета. Очевидно, что (172) не зависит от того, какая точка выбрана за начало системы отсчета. Для доказательства этого примем за начало отсчета точку О', положение которой относительно точки О характеризуется радиус-вектором го (см.
рис. 74). Относительно точки О' формула (172) имеет вид р' =) рг'т)У. (17.3) т Преобразуем (17.3): р' = 1 р(г — го) г) У = ( рге(У вЂ” ) гор дУ = У =1агдУ=Р, (17.4) что н требовалось доказать. Здесь г = го + г' н ~ем. (17.1)] 1 гор г) У = го 1 р г) У = б Применим формулу (172) для вычисления' дипольного момента двух точечных зарядов, наличии диэлектриков 135 К определению дипольного мо. мента непрерывного распрсделенни зарядов 75 К еычисленвю днпольного момента двух точечнмх зарядов по формуле для нспрерменого распределения зарядов Поляризация левоэярнмх диэлектриков в электрическом пола 136 2.
Постоянное электрическое поле которые можно рассматривать как заряды, находящиеся в сколь угодно малых объемах Ь)г, и А)гг (рис. 75): р=)ргб)г= ( ргб)г+ )г ргбр= г, )' рбы+г, ) рд)'=гД, + г Ды г Ьи, Д| ЬУ, (17.6) где До Дз — заряды в объемах Л)г, и о)гз соответственно, г„гг— радиус-векторы этих объемов. Пусть, например, в объеме Л)гг находится положительный заряд Дз — — Д.
Тогда вследствие электрической нейтральности системы Д, = — (д и формула (17.6) принимает вид (17.7) что аналогично (16.81). Напряженность поля нейтральной системы с дипольиым моментом р определяется формулами (16.84) и (16.85). Иоляризация диэлектриков.
Диэлектриками называются вещества, в которых под действием электрического поля не возникает перемещения зарядов, как, например, в проводниках, Однако это не означает, что в диэлектриках заряды под действием электрического ноля вообще не двигаются. Они сдвигаются, но не перемен)аются на болыиие расстояния. Рассмотрим электрически нейтральный объем диэлектрика (рис. 76). Внешнее электрическое поле стремится сдвинуть положительные заряды в направлении напряженности поля, а отрицательные — в противоположном, Поэтому в направлении напряженности в диэлектрике образуется избыток положительного заряда, а в противоположном — недостаток.
Диэлектрик приобретает дипольный момент. Этот процесс называется поляризацией. Степень поляризации диэлектрика характеризуется поляризованностью, опрелеляемой как отношение дипольного момента бьр элемента диэлектрика к его объему Ь)г; о Р = —. (17.8) А)г' Молекулярная картина поляризации. Диэлектрик состоит вз атомов и молекул, причем любой его бесконечно малый физический элемент объема является электрически нейтральным.
Положительный заряд сосредоточен в ядрах атомов, а отрицательный — в электронных оболочках атомов н молекул. Положительные и отрицательные заряды расположены в различных точках пространства, и, следовательно, атомы и молекулы могут обладать электрическими дипольными моментами, которые изменяются с частотой колебаний электронов в атомах порядка вв1ба с Если в атоме при отсутствии внешнего электрического поля электронное облако распределено сферически симметрично относительно ядра, то атом не обладает электрическим дипольным моменнюм. 6 17.
Электростатическое лоле при наличия диэлектриков 137 Аналогично, в молекулах полохсительные и отрицательные заряды могут обладать такой симметрией распределения, когда у них не возникает дипояьный момент. Такие молекулы и атомы называются иеполярными, например атом гелия, двухатомные молекулы, состоящие из одинаковых атомов (Нэ, Хг, О„...), симметричные многоатомные молекулы СОэ, СНь и др.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
