А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 34
Текст из файла (страница 34)
на поверхности шара; 3) тангенциальные компоненты вектора Е = — йгат) аэ непрерывны на поверхности шара. Величины, относящиеся к внутренней области шара, обозначим с индексом 1, а к внешней — с индексом 2. В математике известно общее решение уравнения (17.52). В данном случае оно значительно упрощается. Непосредственной проверкой можно убедиться, что функции тр, = А,гсоай+ Атг созО, ут = — Еогсоай+Ваг сои О (1753а) 150 2.
Постоянное электрическое поле (17.53б) откуда ,1 ВЕ з Е е,<ег (17.54) Линии лектора смещения П д.ш диэлектрического шара ао аиезл- исм однородном поле 89 Точечный заряд, окруиеипый коииеизричсским с иим слоем диэлектрика удовлетворяют уравнениго (17.52), где А„ Аг и. В, — постоянные, Ео — модуль напряженности однородного поля (на бесконечности). Поскольку фз и ср, удовлетворяют уравнению (17.52), они представляют потенциал, если удовлетворяют всем требованиям задачи. Потенциал фз относится к внутренней области шара, а фг — к внешней. Из (17.53а) видно, что фг -с сс при г — О. Поэтому следует считать, что Аг =О. Условие непрерывности ф на границе имеет вид Азйсов9= -Еойсов9+Вгй совО, Тангенциальная компот нга вектора Е на поверхности шара равна Е. = Ее = Условие Е,е = Е,„удовлетворяется, если выполняется условие (17.53б), т.
е. между А, и В, существует соотношение (17.54). Нормальные составляющие вектора напряженности равны: Е,„= Е,„= — (дфз/дг)„к —— — Аз сов 9, Е . = Е„= — (дфггд )„й (17.5б) = Е~ сов 9 + 2В~Е з сов 9. Из условия в,Е„= в,Е,„следует, что Аг = — ("г/ез)(Ео + 2Вгн ). (17.57) Решение системы (17.54) и (17.57): Звг ез ег з А,=— Ео Вг = М~Еа. е, + 2ег ' в, +28, (17.58) Потенциалы внутри и вне шара равны: ср, = — Еог сов 9, Зв, (17.59) е, + 26г а, -вг '~ з фг= — 1 з Еог сов 9. (!7.бО) вз + 2вг / З 17.
Электростатическое иоле прн нанн'вн диэлектриков 151 Очевидно, что внутри шара напряженность поля постоянна и параллельна оси У: дцзз дср, Зег — Ео. дг д(г соей) е, + 2е, (17,61) Она является суммой напряженности внешнего поля и напряженности поля, созданного связанными зарядами, возникшими на поверхности шара. Следовательно, напряженность поля, созданного внутри шара связанными зарядами, равна Е = ń— Ео — — (е, — е,) Ео/(ез + 2е,). (17,62) Пример 17.1. Найти связаннив заряди, паляризаваннасть и нанряжвннвсть ноля, индуцированного тачвчним зарядом ц, помещенным в цвнтрв дв>х канцвнтрических сфер радиусами аз н аг.
Сферический слт> заполнен веществом с диэлектрической праницаемостью е (рнс. 89). Поле сферически симметрично. Выбрав и качестве $ поверхность сферы радиусом г с центром в точке нахождения заряда ц, по формуле Гаусса ) Э дВ = 0,4лгг = ц определяем электрическое смещение 5 1 ц 4к г*' непрерывное во всем пространстве. Напряженность электрического поля 1>, 1 ц Е,= — = — — при пса„ ло 4лсь гг >>, 1 Е,= — '= — —, » а, сгсаг, л 4лл гз (17.бЗ) >>, 1 Е, — '= — г» агсг ло 4ксо г' терпит разрыв иа иснсрлностял сферического сяся нри г =а, н г аг.
Она постоянна и направлена по оси У. Распределение зррядов на поверхности шара, которое приводит к постоянной напряженности внутри шара, определяется формулой (16.75). Поэтому можно заключить, что напряженность (17.62) создается связанными зарядами на поверхности шара„плотность которых изменяется с углом О так же, как в формуле (16.79), т. е. о соей.
Из (17.62) видно, что при е, >ел напряженность Е направлена противоположно Ео гь следовательно, напряженность внутри шара меньше, чем в исходном однородном поле. При е, > е, напряженность Е совпадает по направлению с Ео и усиливает ее внутри шара. На рис. 88 показаны линии вектора Р для случаев е, > ез (а) и ез сег (6) и знаки связанных зарядов, которые при этом образуются иа поверхности шара.
Отметим, что на рис. 88 изображены линии вектора Р, а не Е, поскольку именно вектор Р при отсутствии свободных зарядов непрерывен. При вычерчивании линий вектора Е необходимо изменять их плотность на поверхности шара„где имеются связанные заряды. 152 2. Постоянное электрическое поле Полярнзованность лается выражениями О при г<а„ » а,<г<а„ 4яыз Р, = (), — с~6, = (17.64) » а,<г и, следовательно, поверхностная плотность связанных зарядов равна: ооы = — Р, (г = ав) = — (е — ео) Я/(4яеа«), о„а = Р, (г = ай = (г — во) я/(4кгаэз). (17.65) Связанные заряды на поверхности сферического слоя вычисляются по формулам: Я «4яа«оввай = (с ео) Я/г» Я„з = 4лазповз = (г — го) Я/а.
Онн равны по абсолюэному значению и протявоположны по знаку. Объемная плотность связанных зарядов везде равна нулю, поскольку 1 д р,в = -Йт Р = — — — («*Р,) = О. " дг (17.66) й 18. Энергия электростатического поля Рассматриваются энергия взаимодействия и собственная энергия зарядов и ее связь с плотностью энергии электрического поля. Выводятся формулы для энергии заряэюе«ы ных проводников и энергии диэлектрического тела во внешнем поле.
Энергия взаимодействия дискретных зарядов. Допустим, что имеются заряженные шары очень малого диаметра, который меиыпе расстояния между центрами шаров. Распределение заряда в шарах сферически симметрично. Физический смысл формулы (14.32) позволяет заключить, что величина 1 (ег(гз И" = —— 4кво г (18.1) Поле внутри сферического слоя создается точечным зарядом я и связанным зарядом я„ь находящимся на внутренней поверхиостн слоя.
Связанный заряд, расположенный на внешней повеРхности сферического слоя, не создает электрического поля в ограничиваемом им объеме. Поэтому напряженность поля точечного заряда я внутри сферического слоя уменьшена на значение напряженности, созданной связанным зарядом Я,« = — (е — со) Я/с. При а, -«О заключаем, что точечный заряд я в диэлектрике действует как эффективный точечный зарал Я Э = Я+ Я«в! соЯ/ж (17.67) Это приводят к ослаблению напрюкенности электрического поля в диэлектрике. 8 18. Энергия электростатического ноля 153 равна работе, которая совершается при разведении зарядов Д, и Дэ от расстояния г между ними до бесконечного.
Эта работа положительна, когда заряды одноименны и между ними действуют силы отталкивания. Между разноименными зарядами действуют силы притяжения и работа отрицательна, В последнем случае необходимо совершнп работу за счет внешних источников энергии. Поэтому в соответствии с общим определением (13.1) есть энергия взаимодействия заряженных шаров. Поскольку оба зарядя входят в формулу (13.1) симметрично, ее целесообразно записать в виде 1/1а. 1а м1 + (сз )) (чэ101 + 9202) 2 (,4кев г 4яео г / 2 (18.2) где <рз — потенциал, созданный вторым зарядом в центре первого шара; ~рэ — потенциал, созданный первым зарядом в центре второго шара.
Формула (18.2) легко обобщается на случай нескольких заряженных шаров с зарядами ф: 1~' 1 65 1%~ (18.3) 2 ~~л 4квв гн 2 ~ 3 Она дает энергию взаимодействия системы зарядов. Э нергня взаимодействия при непрерывном распределении зарядов. Пусть в элементе объема с))г находится заряд Щ = р ЙК Для определения энергии взаимодействия элементов заряда Щ можно применить формулу (18.3), перейдя в ней от суммы к интегралу: В~= — ~ ~ррб), (18.4) где Чг — потенциал в точке элемента объема сПг. Собственная энергия.
На первый взгляд формула (!8.4) кажется аналогичной П8.3). Однако между ними существует принципиальное различие. Формула (18.3) учитывает лишь энергию взаимодействия между заряженными шарами, но не учитывает энергии взаимодействия элементов заряда каждого шара между собой. Формула (18.4) учитывает как энергию взаимодействия между шарами, так и энергию взаимодействия элементов заряда каждого шара межлу собой, называемую собственной энергией заряженного шара. При расчете энергии взаимодействия заряженных шаров (18.4) сводится к интегралам по объемам ); шаров: И =--~ рр И = ) -- ррах. 2~ л~ 2 У, В любой точке объема 1-го шара потенциал д, слагается из двух частей: гр)ц, созданной зарядами других шаров, н ср)квв', созданной 154 2. Постоя июе злек>рнческое поле зарядами 1-го шара: «р «р)>) ).
«р«ссб) (18.6) Тогда (сй. (18.5)1 И'= 7 — ~<р) )рбУ+~ — р(' )рдр. ~2( (18.7) У, И> р Д .) «р(соб)р лор И,,) И>«соб) 1 (18.9) где И", дается формулой (18.3). Собственные энергии И>( б) шаров зависят от законов распределения заряда в шарах и значений зарядов. Пусть, например, по поверхности шара равномерно распределен заряд Д. Потенциал в этом случае определяется формулой (16.28) и, следовательно рр«соб) дз 8яео )1 ' При К -+ 0 величина И'«"б)- «о.
Это означает, что собственная энергия точечного заряда равяа бесконечности. Это приводит к серьезным трудностям при использовании понятия точечных зарядов. Таким образом, формулу (18.3,) можно применять для анализа взаимодействия точечных зарядов, нескольку она не содержит их бесконечных собственных энергий, Формула (18.4) для непрерывного распределения заряда учитывает всю энергию взаимодействия, а формула (18,3) — лишь часть. Поэтому (18.4) является более полной н содержательной формулой по сравнению с (18.3).
Плотность энер>ин поля. Воспользовавшись уравнением «(>чП= р, (18.11) (18.10) запишем (18.4) в виде И= — )р (ув И. 1Г 2 3 (18.12) Так как заряды на шарах распределены сферически симметрично, то 1Мнрдр= рЮ>, (18.8) к> где «р; — потенциал в центре шара, (д> = ) р«1И вЂ” полный заряд шара. У; Доказательство (18.8) в принципе аналогично доказательству эквивалентности электрического поля, порождаемого сферически симметричным распределением заряда в шаре и соответствующим точечным зарядом, расположенным в центре шара (для области вне шара).
Теперь (18.7) можно записать в виде 1 18. Эисргия злсктроогятичсского поля !55 Принимая во внимание формулу векторного анализа ~уд(т Р = — Рйгаг(гр+ г)(т(грР), (18.13) представим (18.12) в виде суммы двух интегралов: И'= — ~ Е ° Рг()г+ — ~ дЬ(грР) г()г, 1( 1Г, (18.14) где Е= — 8гаг(гр, Второй интеграл в (18.14) по теореме Гаусцг— Остроградского равен ) д(т(грР)д)г=)' грР г(Б, и я (18Л5) где Я вЂ” замкнутая поверхность, охватывающая объем )г. Предполагается, что все заряды расположены в конечной области пространства.
На далеких расстояниях г от зарядов гр 1/г, Р 1/гя, т. е. тра 1/гз. Площадь 5 поверхности растет прямо пропорционально гз. Следовательно, интеграл (18.15) имеет порядок гр1)о 1/г и при удалении поверхности интегрирования на бесконечность стремится к нулю. Поэтому для всего пространства формула (18.14) принимает вид И'= — ~ Е Рг()'. 1 Г 2 (18.16) Энергии И', вычисленные по формулам (18.16) и (18.4), равны, но физическое содержание этих формул совершенно различно.
Представим себе, что заряды находятся в тонких поверхностных слоях шаров. В этом случае интеграл (18.4) сводится к сумме интегралов по поверхностным слоям шаров, а в пространстве между шарами он равен нулю. Интеграл же (18.16) сводится к интегралу по пространству между шарами, где имеется поле Е. Следовательно, в (18.4) носителем энергии выступают заряды и энергия представляется локализованной на зарядах. В (18.16) носителем энергии считается электрическое поле и энергия представляется локализованной во всем пространстве, где имеется электрическое поле. Плотность электрической энергии 1сьь (18.16)1 равна р /2Е' Р' (18Л 7) Таким образом, плотность энергии в (18.17) положительна, поскольку Е Р=абк>0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
