А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Следовательно, и полная энергия в (18.16) и (18.4) положительна. Однако энергия взаимодействия (18.3) между дискретными зарядами может быль и положителъной, и отрицательной. Причина этого видна из равенства (18.9), которое целесообразно представить в виде И" = И' — ',г Ф ~. (18Л8) 156 2. Постоянное электрическое воле Таким образом, энергия взаимодействия между дискретными зарядами положительна тогда, когда их собственная энергия (всегда положительная) меньше полной энергии поля, и отрицательна — когда их собственная энергия больше полной энергии поля.
Допустим, что все заряды, за исключением одного, зафиксированы на своих местах. Тогда энергия взаимодействия выделенного заряда с другими зарядами называется его потенциальной энергией. На основании сказанного, это есть просто часть энергии электрического поля. Изменение потенциальной энергии связано с изменением энергии поля. Закон сохранения энергии для частицы в потенциальном поле, утверждающий постоянство суммы ее кинетической и потенциальной энергии, означает, что уменьшение кинетической энергии частицы сопровождаезпся соответствующим увеличением энергии поля, и наоборот.
Выражение (18.17) сформулировано в локальном виде и определяет плотность энергии как функцию напряженности электрического поля и свойств среды в данной точке, учитываемых смещением Р. Ясно, что справедливость этой формулы не может зависеть от того, каким способом создано электрическое поле в данной точке. Поэтому выражение (13.17) справедливо не только для постоянных полей, но и для переменных. Другими словами, эта формула выражает плотность энергии электрического поля, а не только электростатического.
Энергия поля поверхностных зарядов. Поскольку формула (18Л7) не зависит от того, какие заряды являются источниками поля, она справедлива также и при наличии поверхностных зарядов. Формула (18.1б) также дает полную энергию поля независимо от того, какими зарядами это поле порождено. Следовательно, формула (18Лб) правильно учитывает не только объемные, но и поверхностные заряды. Формула (18.4) при наличии поверхностных зарядов несколько изменяется.
Однако это изменение самоочевидно. Подынтегральное выражение в (18.4) равно ~ррб)'= срс)ц и имеет смысл потенциальной энергии, которой обладает элемент заряда бц, находясь в точке с потенциалом ць Эта потенциальная энергия не зависит от того, является лн бц элементом объемного или поверхностного заряда. Поэтому выражение (13,4) применимо и к поверхностным зарядам, но при этом бц = оЮ н интегрировать надо по всем поверхностям 5, на которых имеются заряды.
Следовательно, с учетом поверхностных зарядов формула (18.4) принимает вид (! 8.19) Все, что было сказано об энергии взаимодействия и собственной энергии, справедливо также и относительно поверхностных зарядов. Надо лишь учесть их вклад как в полную энергию, так и в собственную. Это обстоятельство уже было использовано прн выводе собственной энергии 1см. (18.10)1. ! 18. Энергия электростатического поля 187 Энергия заряженных проводников, Поскольку на проводниках имеются лишь поверхностные заряды и потенциал в разных точках проводника имеет одно и то же постоянное значение, формула (18.18) принимает вид г; 5; Подставляя в эту формулу выражение (16.42), получаем соотношение И' = — ~аоД,(дз 1 Т' (18.20б) ь т С помощью (1б.45) преобразуем (18.20а) к виду 3 (18.20в) Из (18.20а) имеем 1 Дз И'= — 0(Ч вЂ” Ч ) = — —, 2 ' 2 С' (18.20г) где С = Щ<р, — (рз) — емкость конденсатора, Д вЂ” заряд на одной нз обкладок.
Энергия диполя во внешнем поле. Эта энергия равна сумме энергий зарядов диполя (см. рис. 77): И' = 8 (гр (г + )) - р (г)5. (18.21) Разложим <р(г+ 1) в ряд по 1: д<р д<р д~р гр (г + !) = (р (г) + 1, — + 1„— + 1, — — +... = 'дх "су 'дх = <р (г) — (1„Е„+ 1„Е„+ 1,Е,) = <р (г) — ! Е, (13.22) где вследствие чрезвычайной малости 1 сохранены лишь члены первого порядка по 1. Формула (18.21) принимает вид а И'= -р Е.
(18.23) Э нергия диэлектрического тела во внешнем поле. Дипольный момент элемента объема г)!'тела равен г)р = Рг)Г. Энергия этого элемента во внешнем поле с напряженностью Е равна [см. (13.23)] г(И' = — Р Е г(К Кажется, что энергия диэлектрического тела равна интегралу от оИ' по объему тела. Однако это неправильно.
Дело в том, что каждый поляризованный элемент объема г)Р диэлектрического тела становится источником электрического поля, благодаря чему в расчет энергии входит дважды: один раз как дипольный момент, находящийся во внеш- 158 2. Постоянное элсятрнчсскос поле (1825) со (с — ео) — Ео = (е — ео) Е = Р.
(18.29) Тогда (см. (18.26)3 2 ~ Р'Еос)К (18.30) Можно показать, что формула (18.30) справедлива также и для энергии диэлектрика конечных размеров во внешнем поле Ео. Из (18.30) можно получить энергию диэлектрического тела с проницаемостью ет, находящегося в среде с диэлектрической проницае- нем поле, а другой раз как источник поля, в котором находятся другие дипольные моменты.
Поэтому для определения его энергии удобно исходить из полной энергии поля. Кроме того„предположим, что диэлектрик является однородным и заполняет все пространство, что значительно упрощает математические расчеты. Пусть электростатическое поле создается некоторым распределением зарядов в свободном пространстве. Как обычно, заряды считаются расположенными в конечной области пространства. Обозначим: Ео и Р = еоЕо — векторы поля, создаваемого распределением заряда в сво- бодном пространстве.
Полная энергия поля (см. (18.16)3 равна Ио= ~Ео'Рооя 2 ~ (18.24) где интеграл распространен на все пространство. Теперь предположим, что все пространство заполняется диэлектрической средой, заряды же при этом как источники поля остаются неизменными. Поле во всем пространстве изменяется. Обозначим: е, Е, Р = еŠ— диэлектрическая проницаемость и векторы поля в среде. Полная энергия после запол- нения пространства диэлектриком равна И'= — ~ Е РдК 1, (' -2~ Следовательно, энергия диэпектрика, помещенного во внешнее поле с напряженностью Е„равна Г И' = И' — И'о — — — ~ (ŠР— Ео ° Ро) дК При заполнении всего пространства однородньпя диэлектриком с проницаемостью а напряженность во всех точках поля уменьшается в с~со раз. Следовательно, Е = соЕо/е (18.27) Поэтому подынтегральное выражение в (18.26) можно преобразо- вать: Е 'Р— Ео'Ро —— еŠ— еоЕо = (е ео) о Ео = Р ' Ео, (18.28) 1 18.
Энергия электростатического поля 1зг мостью а,. Запишем формулу (18.30) для энергии диэлектрического тела с проницаемостью в,; 1Г втя~ = — 2 ~(аг — ео)Е, Ео63'~ (18.31) где Е, — напряженность поля в теле. Для упрощения расчетов по- прежнему считаем, что диэлектрик заполняет все пространство.
Энер- гия диэлектрика с проницаемостью ег аналогично выражению (18.3Ц равна 1( Игл г = — — ~ (ег — ео) Ег ' Ео д И 2 ~ (18.32) Отсюда следует, что разность энергий диэлектрика с пронипаемостью вг и диэлектрика с проннцаемостью в, равна орлят= ~~г — ~'м = — 2 ~ [(сг — во)Ег Ео — (ег — ао)Ег Ео)4~'.(18.32а) Преобразуя подынтегральное выражение с помощью формул Ег = еоЕо/вгл Ег = еоЕо/ен (18.33) находим Гво ео г (аг — ео) Ег Ео — (аг — во) Ег Ео = — (вг — ео) — — (вг — ао)~Ео = ег ет г во =(в, — ег) — Ео =(вг — в,) Ег ° Е,. (18.34) егаг Тогда (18,32) принимает виц (1 8.35) где И'вг1 — энергия диэлектрика с диэлектрической проннцаемостью егл помещенного в среду с диэлектрической проницаемостью е,, поле в которой Е, создается фиксированными свободными зарядами в среде.
Можно показать, что эта формула справедлива и для конечного диэлектрика, если в (18.35) понимать интег.рирование по объему диэлектрика. В этом случае: Е, — напряженность поля, которая существовала бы в объеме диэлектрика, если его диэлектрическая проницаемость была бы равна диэлектрической проницаемости в, окружающей среды; Ег — напряженность поля в объеме диэлектрика после внесения его в поле при фиксированных зарядах, создающих поле. Формула (18.35) важна для понимания снл, действующих на диэлектрики. Из (18,3э1 следует важное утверждение: увеличение диэлекгпрической пронициемоспш среды ведет к уменыиению полной энергии полл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
