А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Если конфигурация системы харак- теризуется параметрами ~„то, по определению, обобщенной силой, связанной с этим параметром, называется величина Рь такая, что Р,бди является работой, которую производит система при изменении параметра ", на й~,. Закон сохранения энергии имеет вид 2,фэе(41 —— ЙИ'+ „'1 Р;еЦо (19А4) Ф Рассмотрим прежде всего виртуальные процессы, в которых заряды сохраняют постоянные значения, т. е, е(9, = О. В этом случае уравне- ние (19.44) принимает вид 0 = ((ПФ') + 2' Г, еЦп (19.45а) Здесь (е(й')е зависит только от ~, и поэтому 1П 2. Постоянное электрическое поле (19.4б) 1 Иг = — цццц (19.47) Изменение энергии при постоянных потенциалах равно ! 2 (19.48) поэтому [см.
(19.45а)] 0 = (бИ~), - ~Р,<Цо Учитывая независимость 4~о получаем (19.49) (19.50) где индекс <р у частной производной в явном виде показывает, что она вычисляется при постоянных потенциалах. Для иснользования этой формулы энергия Иг должна быть выражено в виде функции от нотенциалов <р! и параметров «н Ясно, что формулы (19,46) и (19.50) эквивалентны и получаются одна из другой. Какой из них пользоваться, зависит от обстоятельств.
Пусть, например, требуется вычислить силу, с которой притягиваются друг к другу пластины плоского конденсатора. Энергия плоского конденсатора равна И' = аг/(2С) = (Дчэ)г С/2, где С = ееб/х; 5 и х — площадь обкладки конденсатора и расстояние между обкладками. Вычисление силы по формулам (!9.4б) и (19,50) дает: о 1 (Л'р)гС1 (Л<р)г дС дх[ 2 2 ох' (19.51) (19.52) где индекс ц у частной производной в явном виде показывает, что сила вычисляется при постоянных зарядах. /(ля использования этой формулы энергия И' должна быть выражена в виде функции от зарядов и параметров ~о Можно обобщенную силу выразить также через производную при постоянном потенциале. Для этого принимаем во внимание выражение Задачи 174 2.
Постоянное электрическое поле 2.1. Найти напряхсенность электрического поля в шаровой полости радиусом а внутри равноьшрно заряженного шара радиусом Я. Объемная плотность заряда р (рнс. 98). 22. Найти напряженность поля в бесконечной круглой цилиндрической полости, ось которой параллельна осн бесконечно длинного равномерно заряженного круглого цилиндра. Объемная плотность заряда р (рис, 98).
2.3. Расстоанне межлу пластинами плоского конденсатора равно я. В пространство между обкладками конденсатора вносится металлическая пластина толщиной 8, поверхность которой параллельна обкладкам. Пластины кои- Цилиндрическая полость в цкляндре ялн шаровая полость в шаре т'г ! Проводмцаа пластина в плоском конденсаторе денсатора имеют потенциалы Р, и гуг (рис. 99).
Найти потенпнал металлической пластины. 2.4. Определить силу, действующую на заряд 9, расположенный на расстоянии а от центра незаряженной изолированной проводящей сферы радиусом го (г? > го). 2тй Найти силу, действующую на заряд ?, помещенный внутри металлической сферы на расстоянии г от ее центра Радиус сферы равен а. 2.6. Имеются две концентрические проводящие сферы радиусами г, и гг (г, < г,). Между сферамн на расстоянии 4 от нх общего центра (г, < г( < гг) помещен . точечный заряд д. Определить заряды, индуцнрованные на сферах. 2.7. На расстоянии г( от центра заземленной сферы помещен точечный заряд 9. Определить отношение ?" заряда, индуцированного на части сферы, видимой ю точки нахождения заряда 4, к заряду невидимой части сферы.
Радиус сферы равен а, г? > а. 2.8. Два конденсатора емкостью С, и Сг н с авралами Яг н яг (?г н йг — абсолютное значение зарядов пластин первого и второго конденсаторов) соединены параллельно. Вычислить юменение энергии конденсаторов и объяснить полученный результат. 2.9. Диэлектрическая проницаемость сРеды между пластинами плоского конденсатора площадью 5 равномерно изменяется от а, до а,.
Расстояние между пластинами равно г(. Определить емкость конденсатора. 2.10. Цилиндрический конденсатор с радиусами пластин г, н гг опушен аертикальио в диэлектрическую жидкость с диэлектри- задачи 175 ческой проницаемостью с. Нижний конец конденсатора находится в жидкости, верхний — в воздухе, диэлектрическая проницаемость которого ае. Плотность массы жидкости равна р.
Определить высоту Ь, иа которую поднимается жидкосп между пластинами конденсатора, если разность потенциалов между ними 1?. 2.11. Проводящий шар, плотность которого рп плавает в жидкости, имеющей плотность рз (рх > 2р~) и диэлектрическую проницаемость а. Шар погружен в жидкость менее чем иа половину.
Какой заряд надо ему сообщить для того, чтобы он погрузился в жидкость до половины? Радиус шара равен и. 2.12. Обкладки плоского конденсатора имеют форму квадрата со стороной а. Расстояние и разность потенциалов между пластинами соответственно равны 4 и (Г. В пространство между обкладками частично вдвинута пластина толщиной Ь в форме квадрата со стороной а. Ее поверхности и стороны параллелыгы понерхностям и сторонам обкладок, а лиэлектрнческая проницаемость равна а. Найти силу, с которой пластина втягиваегся в пространство между обкладками когшенсатора. 223.
На расстоянии 4 от оси беско- печного проводящего цилиндра радиусом г находится равномерно заряженная бесконечная нить, параллельная оси цилиндра. Линейная плотность заряда г. Определить силу, действующую на длину ! нити (4 > г). 2.14. Методом изображений найти си лу, приходящуюся на длину ! каждого из двух бесконечных проводящих цилиндров, расстояние между параллельными осями которых раино А Радиусы цилиндров г~ и гэ. Один из цилиндров заряжен с линейной плотностью заряда т.
2,15. Найти дипольный момент заряда, равномерно распределенного по поверхности сферы радиусом а. Одна из полусфер имеет зарял Д, а другая — Д. 2.16. Точечный диполь с моментом р находится. на расстоянии 4 от центра заземленной проводящей сферы радиусом а. Найти индуцированный дипольный момент сферы. 2.17. К обкладкам плоского воздушного конденсатора, имеющим форму кнадратов со стороной 1, приложена постоянная разность потенциалов !те.
Определить силу,необходимую для того, чтобы сдвинуть одну из пластинок параллельно самой себе в направлении, перпендикулярном какой- либо стороне квадрата, при неизменном расстоянии Й между пластинами. 2.18. Имеется проводящий шар радиусом г, и конпентричный с ним сферический проводящий слой, внутренняя поверхность которого имеет радиус гз (гэ > гг), а внешняя радиус г, (гз > г,). Пространство между г, и гэ свободно. Заряды шара и слоя равны соответственно Д, и Дз, причем Дг и -Яз (как это не бывает в копденсаторе) Найти энергию этой системы зарялов.
229. Найти напряженность электрического поля в центре прямого круглого цилиндра длиной !н радиусом а, поляризованпость которого Р параллельна оси и однородна. 2.20. Поляризованность Р в задаче 2,19 направлена перпендикулярно оси цилиндра. Найти напряженность поля в центре цилиндра. 2.21.
Бесконечный проводящий цилиндр кругового сечения радиусом а и проводящая плоскость, расположенная на расстоянии 4 от оси цилиндра, образуют кон- г .г 2.1. Е = рг/(Зао). 2.2. Е = рг/(2а,). 2.3. 9 = езг — — 0рг — грг). 2.4. Г= — х 4ка дэ „1. 2.5. р, „. г.б.,=- гд — го 1 25 р д аг г 6 гг (гг 4) гг(г! — г,) (аг гг)г ! 4кео (аг гг)г. ' Д (гг — г ) Д (гг — г,) 2 7. У = )/(4 + а)/(4 — а) 2 8 ЛИ'=(Сгдг — Сгдг)~ЯгСгСг (Сг + Сг)1.
2 д. С = = — —. 2.19. й= — —. 2Л1. Д=4л(а+ко) 1/— аг аг (а ао) ~Г 1/ гд(р,-гр,) г) !и (гг/а,) (ггг — ггг) 1п (г,/г,) рд )/ 3 (а — ао) 2 12 г о ()г 2 13 /' = тгд!/(глао (г(г гг)1 2 14 г (4 — Л)а+Ла, 4 тг — — (дг — (г, + гг)гг "' (дг — (г, — гг)гг "', 2.15. Р = (га. 2.16. Р„„к — — Ра'/а'. 2лко 217 Р = — — — (Го. 218 И'= ~~ + /(гг + Г/! 1 1'1 г гдг(г +(г 1 2 4 "' 8као ~ ~, г, гг гг / гг 2.10.
Е = — (1/а ) р(1 — ц/4аг + И). 2.29. Е = — о . 2.21. С = !'1/(гаоП Лг (/~э + И 2лао! 2ксо! / дИ' 'г ; при а кг(имеем Сж —. 2.22. г" =— )п ((д + )г/дг — г)/аг !п(24/а) ) дд,/0 ! дИ') 1 дС (/г ла ! ()гСг! — —. 2.23. р = (д ~,Е(гг+го), ~, дд / 2 сЫ 4 (!п гд/а) длаод 4лаод г р = 2(д(э)!соз(0/г), (д( 1 = 5,26 ° 10 'о Кл =0,328(е(.
2.24. р = — х !бла, 176 2. Постоянное электрическое поле ленсатор. Найти емкость, приходяшуюся на длину ! дилиндра. 2.22. Вос|гользовавшись результатом репгения задачи 2.21,найти силу, действующую со стороны заземленной бесконечной плоскости на участок длины ! прямолинейной заряженной пити, параллельной плоскости. Линейная плотность заряда нити равна т. 2.23. Молекула представлена модельио зарядом — 2(д( в начале координат и двуми зарядами (д(, расположенными в точках, характеризуемык радиус-векторами гг и гг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
