А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Пусть шарам сообщаются некоторые заряды„в результате чего их потенциалы бУдУт Равны чгг и чгг. После этого втоРой пгаР заземлЯетсЯ. Чему равны заряды и потенциалы шаров после заземления? До заземления заряды н потенциалы шаров связаны уравнениями (16.57). Поскольку потенциалы известны, заряды могут быть вычислены по этим формулам. После заземления второго шара его потенциал равен нулю (сгг = 0), а заряд Дг неизвестен; заряд первого шара по-прежнему равен Д; = Дь поскольку он изолирован.
Потенциал егг неизвестен. Запишем уравнения (16,57) для случая, когда второй шар заземлен: (7; = Ор,, О; = тр,, (7; = Ог. 122 2. Постоянное электрическое поле Решение этих уравнений: а СФ, +тр 7, (в'1 С ' С ' С Из (16.55) и (16.56) следует„что 7/С = -а/г, (16.59) (16.60) поэтому выражения (16.59) принимают внд Ф'1 = 1Р1 — (а/г) 1Р1, Цэ = — (а/г) Д „ (16.61) т. е. после заземления второго шара потенциал первого шара изменяется на дол1о а/г от потенциала второго шара, а на втором шаре остаетса индуцнрованный заряд, равный доле % от заряда первого шара и имеюший знак, противоположный знаку заряда первого шара.
Прервем заземление второго шара„заземлим после этого первый шар и определим потенциал второго шара и заряд первого. Очевидно, что после заземления первого шара его потенциал будет Равен нулю (Ф", =0), а заряд д"1 неизвестен. Поскольку второй шар изолирован, его заряд не изменяетса при заземлении первого шара (01 = Й) Уравнения (16.57) после заземления первого шара имеют вид: Д! 7Ф2 Д2 С1рэ нэ Д2 (16.62) откуда 13', а а /а1 ~! (с1 (е2 ( ) (В (16.63) Эти примеры иллюстрируют методы расчета емкостных коэффициентов, зарядов и потенциалов при наличии нескольких проводников в электростатическом поле.
Яонденсаторы. Конденсатором называется совокупность двух любых проводников с одинаковыми по абсолютному значению, но противоположнымн по знаку зарядзмн, Проводники иаэываюлэсв обкладками конденсаэлора. Полагая в (16З1) д1 = д, дз = — д, получаем 1р, = Д(а11— — пм) Фэ = Д(а11 — атэ). Тогда разность потенциалов между провод- никами С= —, 0 ЬФ' (16.646) ~~Ф 1Р1 Фз (е(<~11 + ч21 '112 ~111)' (16.64 а) Это означает, что разность потенциалов между обкладками конденсатора пРопоРциональна заряду на обкладке и, следовательно, конденсатор характеризуется одним параметром, называемым емкостью.
Еьикасть конденсатора определяется соотношением б 16. Электростатическое поле лря наличии проводяяков 123 а) б) бз Коодсксьторы: общий сл)чьй род сфсричссхий (Вд иилинлрочсскьй (в), опоский (с) в) г) причем, по определению, емкость считается положительной величиной, т. е. в (16.64) как Д, так и стар должны иметь одинаковый знак. Сравнение (16.646) с (16.64а) показывает, что емкость конденсатора выражается через потенциальные коэффициенты формулой С = (хь, + пгг — 2пы) (16.64в) где п,г = пм. Поскольку иы и а„отрицательны, емкость С в (16.64в) всегда положительна 1см.
(16.646)]. Принимая во внимание смысл потенциальных коэффициентов из (16.64в), заключаем, что емкость конденсатора зависит только от геометрических характеристик обкладок конденсатора и их взаимного расположения. Исходя из (16.45) и пользуясь определением (16.646), получаем выражение емкости конденсатора через емкостные коэффициенты: СььСзг — С~э Сьь + Сзг + 2См ' В большинстве случаев форма обкладок конденсатора и их взаимное расположение подбирают таким образом, чтобы внешние поля не влияли существенно на электрическое поле между ними, и силовые линии, начинающиеся на одной из обкладок, обязательно заканчивались на другой. Благодаря этому всегда обеспечивается равенство абсолютных значений зарядов на обкладках.
Конденсатор может быть представлен в виде проводника, помещенного в полости, окруженной замкнутой оболочкой (рис. 62,а). Если внутренний проводник является шаром или сферой, а замкнутая оболочка — концентрическая ему сфера, то конденсатор называется сферячесним (рис. 62,6). Если внутренний проводник — прямой сплошной цилиндр, а оболочка — полый прямой цилиндр, коаксиальный внутреннему, то конденсатор называется цилиндрическим (рис.
62,в). Совокупность двух параллельных плоских проводящих пластин является плоским конденсатором (рис. 62, г). 124 2. Постоянное электрическое поле вз Посвсдоватекьнсе (е/ и парав пеньное (В/ соединении кон деисаторов Попс внугди однородно эавв пенного шара вв К вычислению вапрвиенпости поли вдвинутых друг относительно друга шаров Вычисление емкости конденсатора сводится к определению разности потенциалов между обкладками конденсатора при известном заряде на обкладках. Например, если на внутренней обкладке сферического конденсатора имеется заряд Д, то напряженность поля между внутренней и внешней обкладками равна Е = Д/(4яеог ) и направлена по радиусу. Поэтому разность потенциалов между обкладками ь о (3 Гд 4яао ~ г' Г Г (16.65) О /1 -.~" 4' Отсюда по формуле (16.646) получаем, что емкость сферического конденсатора равна С = 4яног,гэ/(гэ — г,). (16.66) Аналогично находим емкости цилиндрического и плоского конденсаторов; С = 2яно(/)п(г,/г,), С = ео5/г(.
Определим емкость плоского конденса. тора, площадь обкладок которого 1 смэ = = 10 4 мэ, а расстояние между обкладками л 1 10э „. С =, Фвп10 'э Ф = 1 пФ. 4я 9 10е 10 (16,67) Конденсаторы можно соединять последовательно (рнс. 63, а) и параллельно (рис. 63, 6). При последовательном соединении складываютсд разности потенциалов, а при параллельном — эардды на обкладках.
При последовательном соединении (( = ((г + ((„(/ = О/С, (/, = В'С„ Пэ = О/Сэ (1668) где У вЂ” разность потенциалов между крайними обкладками конденсаторов; ((г и Уэ— разности потенциалов между обкладками каждого из конденсаторов; Д вЂ” модуль заряда на каждой обкладке конденсаторов (модулн заряда на всех обкладках конденсаторов равны); С вЂ” емкость двух конденсаторов; С, и Сэ — емкости каждого нз кон- 4 16. Электростатическое поле лри наличии проводил<кои 125 денсаторов. Из (16.68) следует, что 1 1 1 — = — +— С С, С, (16.69) Таким образом, при последовательном соединении складываются обратные значения емкостей. При параллельном соединении (У = д, + д,, <9 = ис, (7, = ис>, <З.з = ис,.
(! 6.70) р Тогда С = С, + Съ (16.71) т. е. при параллельном соединении складываются емкости конденсаторов. проводящий шар в однородном поле Напряженносп, поля, которое возникает в результате внесения проводящего шара во внешнее однородное электрическое поле, может быть найдена элементарными методами. Прежде всего определим напряженность внутри однородно заряженного шара радиусом К (рис.
64), который, конечно,не является проводником. Пусть объемная плотное>ъ заряда внутри шара равна р. Тогда в сферическом объеме радиусом г ( М находится заряд Д, = 4><эягзр. Применяя к сферическому объему теорему Гаусса, получаем (г, — диэлектрическая проницаемость материала шара) Е (г) 4ягз = Я„/Ес — — 4ягг р)(Зес) (16.72) и, следовательно, напряженность поля внутри однородно заряженного шара в точке, характеризуемой радиус-вектором г, равна Е (г) = ~(р<<(Зал)~ г, (16.73) где Е<.<> и Е< > — напряженности, создаваемые зарядами шаров соответствующего знака; г<„> и г, > — радиус-векторы„проведенные в рассматриваемую точку из центров шаров с зарядами соответствующего знака.
Суммарная напряженность равна К = Е<ч> + Е< > — — 13р!7(Зел)Д(г<ч> — г< >) = -[>р!73есЯ 1, (16.75) причем началом отсчета радиус-вектора является центр шара. Теперь представим, что имеются два шара одинакового радиуса с одинаковой объемной плотностью заряда разных знаков (рис. 65). Допустим, что отрицательно эаряженнь>й шар сдвинут влево.
Вектор, проведенный из его центра в центр другого шара, обозначим 1. Найдем напряженность поля во внутренних точках шаров. Напряженности, создаваемые зарядом каждого нз шаров, равны: Е<ч> = ~Ц р)<<(Зео)3 г«.>, Е< > — — — Ц р|/(Зео)3 г, » 126 2. Постоянное электрическое поле Таким образом, центры воображаемых заряженных шаров сдвинуты друг относительно друга по линии напряженности внешнего поли. Поскольку ! в (16.77) совпадает по направлению с Ео, для скалярных величин можно написать (р!1= ЗсоЕо. Очевидно, что сдвиг 1 центров шаров может быть сколь угодно малым, если ~р) достаточно велико.
Поэтому возникающие здесь заряды можно действительно считать поверхностными с изменяющейся поверх- ностной плотностью. Найдем распределение поверхностной плотности заряда в зависи- мости от угла В. Расстояние между поверхностями шаров в направ- лении угла В равно 8 =1созВ (рис. 65). Если объемный заряд между поверхностями шаров трактовать как поверхностный и обозначить его поверхностную плотность о, то пб5 = рЫБ, (16.78) где слева стоит выражение для заряда, приходящегося на элемент поверхности Л5, через поверхностную плотность, а справа — через объемную. Следовательно [см, (16,78)З, о= рб = р1соэВ= ЗаоЕосозВ, где Ь =1созВ. Теперь можно найти напряженность поля у поверхности проводя- щего шара: Е„= и/ео = ЗЕо соз В, (16.80) (16.79) откуда видно, что она изменяется от нуля до утроенного значения напряженности однородного поля.
Конечно, во всех точках поверхности где г< > — — !+ г<,~ (16.76) (см. рис. 65), Таким образом, внутри шаров напряженность поля постоянна и направлена вдоль линии, соединяющей нх центры. В точках пересечения объемов шаров плотность заряда равна нулю, поскольку положительная и отрицательная плотности заряда взаимно компенсируют друг друга. Заряженными являются лишь непересекающиеся части шаров серповидной формы (см. рис. 65).
Максимальная ширина этих серповидных областей, равная 1, может быть сколь угодно малой. Теперь представим, что проводящии шар помещен во внешнее однородное поле с напряженностью Ео. Электростатическая индукцня приведет к возникновению поверхностных зарядов. Знаки этих зарядов и направление напряженности внешнего поля показаны на рис. 66. Внутри шара поле должно быть равным нулю, т.е. распределение поверхностных зарядов будет такое же, как на рнс. 65, а возникаюп!ее при этом поле внутри шаров компенсирует внешнее поле. Тогда ("см. (16.75)З ()р1/Зео) ! = Ео.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
