А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Этот заряд током проводимости через сферичесхий слой между радиусами ас и а, переносится к поверхности шара, где концентри- руется в виде поверхностного заряда. Распределение заряда в любой момент времени сферически сим- метрично и поэтому по теореме Гаусса получаем следующее выраже- ние для напряженности электрического поля: дое счг — — — (О < г < а,), 4яка, (ез е-ю Е„= о (а, <г <аз), 4явгг 4яя гс (оо 4кеог Поверхностный заряд шара возрастает.
Он может быть рассчитан по закону сохранения заряда или исходя из граничных условий. В первом случае 1 о = г Юо — Дс(с)) = з (1 — е ог). 4назз 4наз Во втором случае — еЕ,ь=,,— о = —,(1 — е "'), касс где значения функции с аргументами г = аз+ О и г = аз — О берутся соответственно с внешней и внутренней сторон поверхности шара. 10$ 2. Постоянное электрическое поле Плотность тока проводювосги равна уДое н'г 4леаз уДое-"' 4яег" (0<г<а,), ~, = уЕ, = (а, <г<аэ), 0 (аг < г < оо). Сила тока проводимости, протекающего через сферическую поверхность радиусом г, определяется формулой уДое г (О < г < а1), е а1 уДое "* з, =),4 (а, < г с аг). (аэ < г с со). " ток в области 0 0 об Таким разом, полныи < г с а, возрастает с увеличением радиуса.
Это обусловлено тем, что каждая точка этого объема является источником тока проводимости. В. области а, с г < аэ источников тока проводимости нет и поэтому полный ток, проходящий через сферическую поверхность, не зависит от радиуса. Электрическая нидукция.
Если нейтральный проводник помещается во внешнее электрическое поле, то поверхностные заряды на проводнике перераспределяются так, что создаваемое ими внутри проводника поле полностью компенсирует внешнее поле, в результате чего суммарная напряженность поля внутри проводника равна нулю. Явление перераспределения поверхностных зарядов на проводнике нри его помещении во внешнее электрическое поле называегнся электрической вндукцней.
Если проводник заряжен, то под влиянием внешнего поля происходит также перераспределение и заряда проводника. Доле вблизи поверхности проводника. Выделим на поверхности проводника элемент поверхности Ь5 и построим прямой цилиндр высотой н, пересекающий поверхность (рис, 48). Применим к этому цилиндру теорему Гаусса; ) Е'ио = Д/во. (16,9) в где 5 — поверхность цилиндра, Д вЂ” заряд в объеме цилиндра. Внутри цилиндра заряд имеется только на поверхности проводника и характеризуется поверхностной плотностью о и, следовательно, Д = о5.
Внутри проводника поле равно нулю и поэтому поток Е через часть поверхности цилиндра, находящуюся в объеме проводника, равен нулю. Поток через часть поверхности цилиндра, находящуюся вне проводника, слагается из потоков через основание цилиндра и его боковую поверхность.
В пределе высоту й цилиндра возьмем сколь угодно малой (й- 0), следовательно, и площадь боковой поверхности б 1б. Электростатическое поле прн наличии проводннков 109 цилиндра и поток Е через боковую поверхность будут сколь угодно малыми. Поэтому в пределе )г-+ О останется лишь поток через основание цилиндра: )' Е Ж= Ю„ЛЕ, где ń— нормальная компонента Е Напомним, что положительным направлением нормали в теореме Гаусса считается внешняя нормаль к замкнутой поверхности. В рассматриваемом случае это означает, что по. ложнтельная нормаль направлена во внешнюю сторону от поверхности проводника.
При Ь вЂ” О с учетом (16.10) равенство (16.9) принимает вид Е„Ь5 = и ЛЯфт К выводу формулы для норыдльней ссстввляющей пвпряненнсстнзлектрнческсго поля вблн. зн певерхносгн проводнвкв откуда Е„= о/бо. (16,12) Таким образом, нормальная компонента напряженности поля у поверхносгди проводника однозначно определяется поверхностной плотностью зарядов. Теперь возникает вопрос о тангенциалькой компоненте напряженности поля. Покажем, что она должна быть равна нулю исходя из невозможности существования вечного двигателя. Рассмотрим замкнутый контур Е, пересекающий поверхность проводника, верхняя часть которого идет параллельно поверхности вне проводника, а внутренняя часть — внутри проводника (рис.
49). Внутри проводника напряженность Е поля равна нулю, а следовательно, отсутствует н тангенциальная компонента поля. Допустим, что вне проводника тангенциальная компонента поля не равна нулю. Возьмем положительный заряд н будем перемещать его по замкнутому контуру в направлении, указанном на рис. 49 стрелками. На участке АВ поле совершает положительную работу. Участок ВС в пределе может быть сделан сколь угодно малым, поскольку участки АВ и С0 расположены сколь угодно близко к поверхности проводника.
Следовательно, 49 К доказательству отсутствия твнгенднвльной составляющей нвпрянснлсстн злектрнческого поля вне щюводвнкв Мехвннзы образования поля вблнзн поверхнсстн проводнвкя ПО 2. Постоянное электрическое поле перемещение на участке ВС связано с работой, которая может быть сделана сколь угодно малой. Для перемещения заряда иа участке СВ никакой работы не затрачивается, поскольку поле внутри проводника отсутствуег. Работа, связанная с перемещением заряда на участке ЮА, так же, как и на участке ВС, может быть сделана сколь угодно малой.
Таким образом, в результате перемещения заряда по замкнутому контуру электрическое поле произведет положительную работу и больше в системе никаких изменений не произойдет. Можно повторить этот цикл и получить еще раз такую же работу и т. д. Таким образом, осуществлен вечный двигатель первого рода, что невозможно.
Этот вечный двигатель совершает работу за счет тангенциальной компоненты напряженности электрического поля вблизи поверхности проводника. Следовательно, эта компонента должна быль равна нулю. Другими словами, равенство нулю тангенлиальной компоненты электрического поля у поверхности проводника является следствием потенциальности электростатического поля и отсутствия поля внутри проводника. Равенство (16.13) Е,=О означает, что напряженность электрического поля вблизи поверхности проводника направлена по перпендикуляру к поверхности и равна о/ео ~ем. (16.12)~.
Механизм образования поля вблизи поверхности проводника. Единственными источниками электрического поля в электростатике явлвзотся заряды. Поэтому поле вблизи поверхности проводника создается всеми поверхностными зарядами данного проводника и всеми зарядами, находящимися вне проводника. Выделим бесконечно малый элемент бВ поверхности проводника (рис 50).
Напряженность Е поля вблизи поверхности проводника состоит из двух частей: напряженности Еь поля, создаваемого зарядами, находящимися на элементе ЬЯ, напряженности Ез поля, создаваемого всеми остальными зарядами вне элемента дьз. Ясно,.что заряды элемента поверхности ВВ создают поле с обеих сторон элемента. Поскольку обе стороны элемента Лб эквивалентны, можно заключить, что векторы Е, и Е; противоположно направлены и равны по модулю ( Е, ) = (Еь 1 Поле Ез соззпьется всеми зарядами, находжцимися вне элемента ЬВ.
Ясно, что эти заряды создают не только напряженность Е, вне проводника, ио и напряженность Ез внутри проводника. Поскольку это есть электрическое поле в пространстве вне зарядов, которые его создают, оно должно быть непрерывным, и, следовательно, Ез = Ез. Напряженность полного поля внутри проводника равна нулю, т. е. Е' = Е; + Е', О. Отсюда следует, что Е', — %~. Учитывая также равенство )Е, ) = ) Е', (, заключаем, что )Еь) =) Ез(. Отсюда следует Еь = Ез = '/зЕ, 1 16. Электростатическое поле при наличии проводников 111 т, е. напряженность поля вблизи поверхности проводника состоит иэ двух равных частей: одна часть создается поверхностными заряДами прилегающего элемента поверхноспш, а другая — всеми остальньиии зарядами, лежащими вне этого элемента поверхности Зависимость поверхностной плотности зарядов от кривизны поверхности.
Заряд по поверхности проводника распределяется неравномерно, поверхностная плотность заряда зависит от кривизны поверхноспт. Чтобы в этом убедиться, проанализируем распределение напряженности поля вблизи некоторого элемента поверхности (рис. 51). В случае малой кривизны поверхности (рис. 51,а) иаходжциеся вне «)5 заряды создают вблизи этого элемента малую нормальную состав- лающую напряженности Ез, Следовательно, для ее компенсации заряды, находящиеся иа элементе поверхности, должны создать сравнительно малую напряженность поля Е', = — Ея. В соответствии с формулами (16.14) и (16.12) заключаем, что на этом элементе поверхностная плотность заряда должна быть сравнительно малой, равной се = 2ноЕ',. Если же кривизна поверхности вблизи рассматриваемого элемента велика, то напряженность Е'„создаваемая зарядами, находящимися вне элемента АЕ поверхности, велика и соответственно должна быть значительно больше напряженность, создаваемая зарядами, лежащими на элементе поверхности.
А это означает, что поверхностная плотность зарядов на этом элементе должна быть больше. Таким образом, можно заключить, что поверхностная плотность зарядов увеличивается с ростом кривизны поверхности„т, е. увеличивается с умеиыаеиием радиуса кривизны. С помощью аналогичных рассуждений можно убедиться, что па вогнутой внутрь проводника поверхности плотность заряда уме кьие антея. Увеличение поверхностной плотности заряда на выпуклых поверхностях особенно наглядно проявляется в стекании заряда с острия. а) 6) вь Зависимость поверхностной плотности заряда от кривтвл поверхности уьо вз Стскание зарядов с острие вз Электрическое сетнерово колесо 112 2. Постоянное электрическое поле С теканне заряча с острия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
