А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Поэтому физической основой теоремы Гпуссп является закон Кулона или, иначе, теорема Гаусса является интегральной формулировкой законп Кулонп. ифферснциальная формулировка закона Кулона. Уравнение МаксД велла для д)тЕ. Поток Е сквозь замкнутую поверхность можно с помощью математической формулы Гаусса — Остроградского (5.21) преобразовать в интеграл по объему от д)тЕ: ~ Е ° дЯ = )' д(т Е дК (13,18) в в результате чего формула (13.16) принимает вид ((д(ч Š— р/еь) д)г = О.
(13.19) Равенство нулю интеграла выполняется при произвольном объеме 1'. Следовательно, подынтегральное выражение тождественно равно нулю, т. е. р д(т Е = Р,теь. (13.20) Выполнимость (13.20), так же как и теоремы Гаусса, обусловлена справедливостью закона Кулона. Следовательно, (!3.20) является дифференциальной формулировкой закона Кулона. Линейность уравнения (13.20) отражает справедливость принципа суперпозиция для напряженности поля. Оно выведено здесь для неподвижных зарядов, Принимается, что оно справедливо для произвольного движения зарядов.
иловые линии. Силовой линией электрического ноля называется С линия, касательная к которой в каждой точке совнпдает с напряженностью Е. С помощью силовых линий удобно графически изображать поле. Условились напряженность поля характеризовать числом силовых линий, пересекающих 1 м' площади поверхности, перпендикулярной направлению силовых линий в соответствующей точке: чем больше плотность линий, тем больше напряженность поля. На рис. 34 изображено электрическое поле, напряженность которого возрастает слева направо.
$ 13. Диффсрсняивльнвя формулировка закона Кулона бэ 34 Силовые винни воля, нвпрзжеиность которого возрастает справя ивлево зэ Силовые ликии двух рззиоименкых ззрядов и 0(1 — Р') )' з(п 000 ) ~(( — г ° г( е сточники и стоки вектора Е. Как видно И из уравнения (13.20), си,ювые лилии иачииаются там, где длтЕ > О, и окаичиваются таы, где ейтЕ(0, т.е. начинаются иа положилыльных зарядах и оканчиваются на отрииателы(ых. Говорят, что положительные заряды являются источниками вектора Е, а отрицательные — стоками. Конечно такое различие между зарядами чисто условно, оно исходит из определения направления напряженности поля.
По их роли в образовании электрического поля положительные н отрицательные заряды совершенно эквивалентны. На рис. 35 изображены силовые линии двух разноименных зарядов. Инвариантность заряда. Найдем поток Е сквозь замкнутую поверхность, окружающую движущийся равномерно и прямолинейно точечный заряд ф Напряженность поля этого заряда определяется формулой (1К2б). Поток напряженности равен 11( = у Е ()Я = уйгг ()П у Ягг в)п 0 с)0 бф, (13.21) где в качестве поверхности интегрирования взята сфера с центром в точке нахождения движущегося заряда в некоторый момент време(из и уучтено, что Е и ()Я коллинеарны радиус-вектору г; О и ф — соответственно полярный и аксиальный угол сферической системы координат, полярная ось которой совпадает с осью Х неподвижной системы координат.
Подставляя (11.26) в (13.21), на- ходим где произведено интегрирование по углу ()ф, от которого подынтегральное выражение в (13 21) не зависит. Так как з( пг О = 1 - созг О, з(п 000 з)пОх)0 = — ()созО, то .) (1 — ~3г зглг О)з'г о ° Силовой линней электрического полн называется ллнив, касательная к которой в каждой точке совпадает с иалрпженнастью электрического поля.
Положительные зарпды ввлвютсв нстечннканн на. пряженностн электрике. ского поля, а отрицатель. ныо — отекали. Однако это различие иежду зарядани чисто условно. Ик роль в образовании электрнче ского пала абсолютно одинакова. 86 2, Постоявное электрическое поле ц 1 г — (1 ()г+ ргхг)з1г — рз ~ г ~ г г ~ 1 — ()г э — ~)г)д)г. Тогда соотношение (13.22) принимает внд )Ц = ц/кс (13.23) совпадающий с (13.8). Это доказывает, что теорема Гаусса справедлива также и для точечного заряда, движущегося равномерно и прямолинейно.
Если заряд в объеме определить посредством потока Е сквозь замкнутую поверхность, ограничивающую объем, то равенство (13.23) выражает инвариантность заряда. 9 14. Потенппальпоеть электростатического пола Обсуждаются интегральная и дифференциальная формулировки потенциальности поля. Вводится скалярный потенциал и рассматриваются вго свойства. Вычисляется потенциал зарядов, распределенных в конечной области пространства. Доказывается теорема Нрншоу.
Работа в электрическом поле. Так как сила, действуюшая в электрическом поле па точечный заряд ц, равна к = цЕ, то при перемещении заряда на д1 совершается работа дА = Р д1 = цЕ д1 (14.1) Удельная работа при перемещении заряда определяется как отношение работы к заряду: дА' = дА/д = Е д1 (14.2) Она выражается в джоулях на кулон. Из (14,2) видно, что работа, совершаемая полем, считается положительной, а внешними относительно поля силами — отрицательной. Это условие знаков аналогично тому, которое используется в термодинамике для работы системы. При перемещении заряда из точки 1 в точку 2 по траектории Ь (рнс. 36) удельная работа равна А'= ~Е д1.
(14.3) ш П отенпиальность кулоновского поля. Поле снл называется потенпиальным, если работа при перемещении в этом поле зависит лишь от начальной и конечной точек пути и не зависит от траектории. Другим эквивалентным' определением потенциальности является требование равенства работы нулю при перемен)епии по любому замкнутому контуру. 1!4. Потепцвальпость злектростьзпческого полл 87 Известно, что сила тяжести точечной массы, убывазощая обратно пропорционально квадрату расстояниц является потенциальной, причем ее потенциальность обусловлена именно этой зависимостью от расстояния. Поскольку кулоновская сила точечного заряда убывает по такому же закону, она потенциальна, Вся математическая часть учения о потенциале была разработана в рамках теории тяготения.
Понятие о потенциале возникло в работах Ж. Л, Лагранжа (1736-1813) в 1777 г., хотя для функции, являющейся потенциалом, он еще не употребил этого названия. Термин <щотенциал» был введен в науку в 1828 г. Дж. Грином и независимо К. Ф. Гауссом (1777-185Я. Большой вклад в теорию потенциала был внесен П. С. Лапласом (1749 — 1827) и С. Д. Пуассоном (1781 — 1840). На основании принципа суперпозиции из потенциальности поля точечного заряда следует потенциальность произвольного электростатического поля. Математическое доказательство этого утверждения у Е.
<И = у (',~ Е<) ° <11 = ,'~"„~ Е, <П = ,'Г 0 = О, (14,4) < < где В =2,Е<, уЕ< ° <11=0. (14.з1 4А <11 го<„А = 1нп ьз ь А5 (14.6) Ротор характеризует интенсивность <оавихрения» вектора, что отражено в названии операции. Пусть, например, вектор А равен скорости Ротор вектора Критерий потенциальности поля, который был ис.
псльзован до сих пор, не является дифференциальным и применять его не всегда легко и эффективно. Его применение сводится к проверке утверждения о том, что работа по любому замкнутому пути равна нулю. Это означает необходимость исследования бесконечного числа замкнутых путеуц что в общем случае невозможно. Критерий можно применить лишь тогда, когда известно общее выражение для работы по любому пути в виде аналитической формулы.
Получить такую формулу удается только в редких случаях, Поэтому желательно найти другой критерий потенциальности, который легко и удобно использовать на практике. Таким критерием является дифференциальная формулировка, которая дается с помощью ротора вектора. Прежде всего рассмотрим векторное определение ротора А, обозначаемого го<А. Вектор определяется тремя составляющими, не лежащими в одной плоскости.
Выберем некоторое направление, характеризуемое единичным вектором ьк В плоскости, перпецликулярной и, ограничим площадь АЯ очень малым замкнутым контуром Е(рис 37). На контуре Ь направление положительного обхода обычно связано с в правилом правого винта. Ротором называется вектор, проекция которого на направление и определяется формулой 88 2. Постоянное электрическое поле т точек твердого тела„вращающегося с угловой скоростью е) вокруг оси, коллинеарной с и.
Найдем го(„т для точек оси вращения. В качестве контура В выберем окружность радиусом г с центром на осн и лежащую в плоскости, перпендикулярной оси. Очевидно, имеем и =е)г, (15 = ягт и А ()1= = р (((, где Й вЂ” скалярное значение элемента окружности. Поэтому на основании (14.6) получаем ои 4()1 . оп2яг го(„т = !пп,— = 1пп з 2о), (14.7) о кг ° о ягз зб Работа е электрическом иоле при веремея(сняв точечиого та- рика где у ((( = 2яг — длина окружности. Таким образом, ротор линейной скорости точек вращающегося абсолютно твердого тела равен удвоенной угловой скорости его вращения. Можно показать, что зто утверждение справедливо не только для точек на оси вращения, но и для всех точек.
При практическом вычислении ротора удобнее вместо (14.6) пользоваться координатными формулами. Найдем проекции го(А в прямоугольной декартовой системе координат. Возьмем для примера ось х, (рис. 38). Контуром В является прямоугольник со сторонами 2)х, ()у. Направление положительного обхода указано на рисунке. В этом случае (х+Ьх, у, *) ~А ° ()1= ) А„(х, у, г)()х+ ). (х, у, х) 37 К маториому определсяя)о ротора (хсех, усЬу, и у + ) Ау(х+ Лх, у, г)((у+ ,к) (~хь» и ) Х ег (» у+ау, х) + )' А„(х, у+ Лу, з)()х+ (к+ах,у, ) (к+ах.у+вил) (», у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
