А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Постопнюе электрическое поле й 12. Постоянное Злиитрическ06 лили Обсуждается идеальная модель постоянного электрического ноля и границы ее применимосна. еподвижиый заряд.В электростатике изучаются электрические поля Ч еподвижных зарядов. Предполагается, что заряды удерживаются в различных точках пространства силами неэлектростатического происхождения, природа котортлх в рамках элехтростатикн не уточняется. Например, в электростатике исследуются распределение зарядов на поверхности проводника, создаваемое ими электрическое поле„действующие силы, но не рассматривается, почему эти заряцы не покидают поверхности проводника.
Природа сил, удерживающих заряды на поверхности проводника, не изучается в рамках электросгатики. Аналогичный смысл имеет выражение «заряд ц находится в точке (х, у, г) в вакууме». Предполагается, что заряд ц как бы закреплен в точке (х, у, г) пространства, причем в непосредственной близости от заряда нет никаких материальных частиц ~вакуум). Ясно, что такое представление является идеализацией. Существо модели,Неподвижных элементарных зарядов не существует, а потому не существует и постоянных полей. Однако в большинстве явлений, изучаемых в классической теории электричества, наблюдается не поле отдельного элементарного заряда, а суперпозиция полей многих зарядов.
Вклад поля отдельного элементарного заряда в суперпозицию полей весьма мал. К этому следует добавить, что напряженность электрического поля определяется как средняя величина по некоторому физически малому объему и физически малому отрезку времени. Флуктуации среднего значения напряженности поля весьма малы. Именно эти средние значения и являются предметом изучения классической теории электричества и магненптзма.
Поэтому, строго говоря, существенным для электпростатики являетпся не неподвижность зарядов, а постоянство во времени электпрического поля. Другими словами, в модели постоянных полей идеализацией является не постоянство поля, а неподвижность порождающих его зарядов. 1 раницы применимости модели. Поскольку модель основывается на существовании полей с очень малыми флуктуацнямн средних значений, а не на существовании неподвижных зарядов, ее границы определяются требованиями малости вклада от отдельных элементарных зарядов в наблюдаемое поле.
Отсюда, например, следует, что электродннамика не применима к движению отдельных электронов в атоме. Их движение в атомах онисываетсл квантовой теорией. 1 13. Дифференциальная формуляровкв закона Кулона В! й 13. Дифференциальная формула(ювна ванина Кулана Анализируются физические факторы, обусловливаюи1ие справедливость теоремы Гаусса.
Дается дифференциальная формулировка закона Кулона и обсуждаются ее следствия. (13.2) (13.4) '$'еорема Гаусса. Электростатическая теорема Гаусса устанавливает математическую связь между потоком напряженности сквозь замкнутую поверхность и зарядом, находящимся в объеме, ограничиваемом этой поверхностью. Пусть точечный заряд д находится внутри объема )з ограниченного замкнутой поверхностью 5 (рис.
32). Рассмотрим поток Ж напряженности Е сквозь эту поверхностьа г( = у Е оэ. (13.1) Напомним, что для замкнутых поверхностей в качестве положительного всегда выбирается направление в сторону внешней нормали. Это означает, что элемент площади поверхности сБ в (13.1) направлен во внешнюю сторону от объема (рис.
32). По закону Кулона 1 4 г Е= г 4яао г г Следовательно, интеграл в (13,1) можно представить так: )ч'= — —, — дЕ . Учтем соотношение г )г) — Ж = ~ — ~б5~~(п бЯ = д5', г где 45' — проекция площади элемента с(8 на плоскость, перпендикуларную радиус-вектору г. Из геометрии известно, что ле1 л5 ~„г (13.5) где с(й — телесный угол, под которым элемент площади ь)5' виден из начала отсчета радиус-векторов, в данном случае совпадающим с местонахождением точечно~о заряда ц. С учетом (13.4) и (13.5) выражение (13.3) принимает вид Ф = — о(л. (1 3.6) 4яво ) Полный телесный угол, под которым видна замкнутая поверхность из точек внутри ограничиваемого ею объема, равен 4я, т.
е. 82 2. Постоянное электрическое поле ~дй= 4я, (13.7) и поэтому из (13.6) получаем ?х? = г)?со (13.8) Поток Е сквозь замкнутую поверхность, если точечный заряд находился вне объема, ограничиваемого поверхностью, вычисляется аналогично (рис. 33) и определяется форму- 22 лой (13.3). Однако теперь подынтегральное вычисасиис потока вектора иа- вьграженне принимает как положительные, пряжсиисстк сквозь замхвугую так и отрицательные значения: в тех точках повсрхиссгь в случае иахожвс- г'ч ииягочсчиогсзарялазву ри оаъ- поверхности, где угол (г, дб) меньше к»г2, оно сма, огра ичивасмого аоыр - положительно, а где больше — отрицательно.
костью Это означает, что на поверхности АВВ подынтегральное выражение пояожительно, а на АС — отрицательно, Поэтому элемсн- Л Ех "":: ' 1» ты телесного угла (13.5) на поверхности А?»В положительны, а на АС — отрнцатель- Е~ г . 48, ны. Обозначим телесный утоп прн вершине ''ьзэм - ..-.' конуса, образованного касательными нз точ- ,,:.,Ф» у ки 0 к рассматриваемой поверхности, йс О ?» (рис. 33), Тогда ', — '.Ь = ай — АЙ= х яви хсв вмчисясиис посоха вектора иа- =Йо — Йо =О, (13.9) пРЯжсииости сквозь замкнУтУю поскОльку поверхности АСВ н А?7В видны ииягсчсчиогозаралависсхоыма, из точки 0 Под Одним и тем же телесным ограяичизасмого повсрхиосгью углом Йо но входят в интеграл с разными знаками, Когда точечный заряд находится вне объема, поток напряженности Е сквозь замкнутую поверхность равен нулю: ?х» = О. (13.10) Объединяя результаты (13,8) и (13,10), ° творила Гаусса выражает можно для (13Л) окончательно написать: связь иавгку затакал иапряжвииасзи элвкзричвского полл сквозь ааикиугую иаввркиость и эарллои в аяьвис.
аграиичвииаи этой иоввркиосгью. Физичиской основой гка. рвиы Гаусса ивливчса эскоп Кулака или, пиале, тварвиа Гаусса лвлвагся иитвгралыюй формулировкой закова Кулоне. г?/сс. когда»? находится внутри объема, ограничиваемого 5; (13Л1) О, когда г? находится вне объема, ограничиваемого 5. Утверждение, содержашесся в (13.1!), составляет содержание электростатической теоремы Гаусса для точечного заряда. 1 13.
Дифференциальная формулировка закона Кулона 83 Ее обобщение на систему точечных зарядов производится с помощью принципа суперпозипии. Если имеются точечные заряды дп то напряженность Е поля в каждой точке является суммой напряженностей Е, полей, создаваемых каждым из точечных зарядов: (13.12) (13.14) (1 3.16) где (д =) рд)л (13Л7) — полный заряд, заключенный в объеме, ограниченном замкнутой поверхностью 5. Утверждение, содержащееся в формуле (13.16), составляет содержание электростатической теоремы Гаусса для непрерывного распределения зарядов.
Очевидно, что эта формула включает в себя также и выражения (13.14) и (13.11) как частные случаи. Измерение заряда. Теорема Гаусса позволяет определить полный заряд, заключенный внутри объема, посредством измерения потока напряженности сквозь поверхность, ограничивающую объем. Другие анределения заряда не дают удовлетворительных результатов. Например„ нельзя найти этот заряд, измерив силу, с которой он действует на находящийся вне этого объема пробный заряд, поскольку сила зависит не только от, общего заряда, но и от распределения его по обьему, которое, вообще говоря, неизвестно.
Можно определить зарял, измерив действующую на него силу в известном однородном внешнем электрическом поле. При этом важно обеспечить олнород- Следовательно, уЕ дЯ =,'.» ~Е, ° дЯ. (13,13) 5 $ в Прн вычислении каждого из интегралов, стоящих под знаком суммы в правой части (13Л3), надо принять во внимание (13.11): для точеч- ного заряда внутри объема соответствующий интеграл равен 4,/еы а для заряда вне объема — нулю. Поэтому (13.13) принимает вид 1Тьз 1 Е ° Ж= — ) 4,= — (д, ео ~~л ео где К у знака суммы означает, что в сумму входят только заряды, находящиеся внутри обьема )л.
Полный заряд внутри объема обозначен в (13.14) Д: (Е =Хчь (13.15) Формула (13Л4) с учетом определения (4Л) для объемной плотности р при непрерывном распределении зарядов сразу переписывается в виде $4 2. Постоянное электрическое поле ность поля. Ясно, что этот способ применим лишь тогда, когда внешнее однородное поле существенно не изменяет распределения зарядов внутри объема. Физическая основа справедливости теоремы Гаусса. Из вывода теоремы Гаусса видно, что ее справедливость обусловливается возможностью сведения подынтегрального выражения (13,3) с помощью (13.4) и (13.5) к дифференциалу телесного угла сЫ?. Это возможно только в том случае, когда Е(г) убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от точечного заряда. При другой зависимости Е(г) в формуле (13.6) под интегралом должна стоять кроме дифференциала телесного угла также и некоторая функция от г, не позволяющая выразить поток напряженности через поверхность в виде функции заряда, что означает несоблюдение теоремы Гаусса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
