А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Взаимодействие точечных неподвижных зарядов полносп,ю описывается законом Кулона. Однако закон Кулона недостаточен для анализа взаимодействия движущихся зарядов, причем такой вывод следует не нз конкретных особенностей кулоновского взаимодействия, а обусловливается релятивистскими свойствами пространства и времени и релятивистским уравнением движения. 56 1. Заряды, поля, силы Это утверждение в принципе вытекает из таких соображений. Релятивистское уравнение движения бр!б| =Р (8,1) инвариантно и имеет одинаковый вид во всех инерцнальных системах координат, в частности в системе координат К', которая движется равномерно и прямолинейно относительно К: бра|(Р = К. (8.2) Буквы со штрихами обозначают величины, относящиеся к К'. В левые части этих уравнений входят чисто механические величины, поведение которых при переходе из одной системы координат в другую известно.
Следовательно, можно связать между собой некоторой формулой левые части уравнений (8.1) и (8.2). Но тогда оказываются связанными между собой стоящие в правой части этих уравнений силы. Наличие такой связи обусловливается требованием релятивистской инвариантности уравнения движения.
Поскольку в левые части уравнений (8.1) и (8.2) входят скорости, заключаем, что сила взаимодействия движущихся зарядов зависит от скорости и не сводится к кулоновской силе. Тем самым доказывается, что взаимодействие движущихся зарядов осуи)ествляется не только кулоновской сила|, но также силой другой природы, называемой магнитной. Ее существование выявляется из следующего примера взаимодействия зарядов.
заимодействие точечного заряда и бесконечной прямой заряженной В нити. Конечно, самым простым является кулоновское взаимодействие двух точечных зарядов, которые покоятся в системе координат К'. Однако в другой системе координат К, движущейся относительно К', эти заряды движутся с одинаковыми скоростями и их взаимодействие усложняется, поскольку из-за движения зарядов электрическое поле в каждой точке пространства переменно. Поэтому целесообразно выбрать ситуацию, которая является достаточно простой как в системе координат К', где заряды покоятся, так и в системе координат К, гле они движутся. Сравнительно простым является взаимодействие точечного заряда и бесконечной прямой заряженной нити.
В системе координат К' нить покоится и направлена вдоль оси Х' (рис. 21). Точечный заряд 4 расположен на оси У' на расстоянии уо от нити. Обозначим ' бв — площадь поперечного сечения нити, считая его линейные размеры очень малыми по сравнению с расстоянием до точечного заряда Если объемная плотность заряда р', то на элементе длины |(х' нити находится заряд с(8' = р'Яобх'. Для определенности предполагаем, что заряд нити и точечный заряд положительщя. В этом случае силы, действующие на точечный заряд со стороны заряда в элементе нити, направлены так, как показано на рис. 21.
По закону Кулона (8.3) 4яев ()гвз + х'з) ' " 4кев (уео + х'з) 1 8 Магнитное поле 57 Принимая во внимание, что сов х = — х'/(уе' + х')"', мп х = у',1(уе'+ + х')'", для компонент силы получаем ВРИ ) х дх' 4РБоУо ( г)х' 4яее ) (у~~~х г)зы " 4кг ~ (~~'~ + х г)хх (8 4) Первый интеграл равен нулю, поскольку в подынтегральном выражении стоит нечетная функция, а для вычисления второго интеграла Пелесообразно произвести замену переменных х' = -у~ с18 ц, дх' = = уе сЬ/зшз щ 1 + с18з и = 1/вшх и Тогда брэо ( яр 8о р'„=О, Р' = —, ~ипхг(п= 4кеоуо 2хвоуо о (8 5) Кроме того, г", = О Принимая во внимание, что заряд в данный момент покоится, н обозначая гяе массу носителя заряда, получаем для ускорения заряда в системе К' следующие выражения и» = О. аг = Р~/~о = ЧР 5о/(2явеуошо) а,' = О (8 6» Теперь рассмотрим это взаимодействие в системе координат К, движущейся относительно системы К' со скоростью и в направлении отрицательных значений осн Х'.
Направим ось Х вдоль нити так, чтобы ее положительное направление совпадало с положительным направлением осн Х', и будем считать эту систему неподвижной. В системе координат К система К', нить и заряд движутся в направлении положительных значений оси Х со скоростью и Вычислим силу кулоновского отзалкиваиня со стороны движущейся нити на движущийся заряд Вследствие инвариантности заряда точечный заряд 4 неизменен В результате сокращения движущихся масштабов на метр длины движущейся нити приходится большее число зарядов, чем на метр длины неподвижной, т е п ютность зарядов движущейся нити больше, чем неподвижной В предшествующих расчетах плотность зарядов неподвижной нити обозначалась р' Поэтому плотность зарядов движущейся нити в системе координат К равна ,.~)/1 „.г г (8 7) где )У1 — ез/сз учитывает релятивистское изменение движущихся масштабов Все дальнейшие вычисления совершенно аналогичны расчетам для покоящейся нити Поскольку длины в перпендикулярном скорости т направлении остаются нензменнымн, то плошадь поперечного сечения движущейся нити и расстояние от пити до точечного заряда будут неизменными Поэтому вместо (8 5) получаем )» О )у лр5о/(2ксоуо) .1'„= О (8 8) дхг гг Гт = г(р,7г(г.
(8.10) дх, Л~ (8.11) % 1. Заряды, поля, силы гг К вычислению смлы вэянмодсйствня точечного эзрялз н бесконечной прямой эзряжеяной нити Вэянмояействнс лвух пяряллсяь пмз токов ° Для опнеанмя взаимодействия двнжущнкся зарядов недостаточно закона Кулона. Этот вывод следует ие из конкретмьпг особенностей кулоновско. го взаимодействия, а обус. лоялнвается релятняиетскннн свойстванн пространства н времени м релятивистским ураяненнен движения.
магнитное взаннодвйствие сравннно с злектрм. чесмим лишь прн достаточно болымнк скоростяк заряженны» частим. Тен не менее оно может прояиллтьсл и прн очень малых скоростях. если кулоновское взаннодействне пе «анни то причинен отсутствует. причем здесь кулоновская сила обозначена маленькой буквой, чтобы отличить ее от полной силы, действующей на заряд, которая не сводится к кулоновской силе.
Подставляя (8.7) во второе из уравнений (8.8), находим Хт = йр 8о7(2леоуо )/1 — о'/с ) = = Чр'50!(2кеоуо )/1 — о'!с') = ГДУ 1 — ~Р/с', (8.9) где бо — — Яо, уо — — уо и принята во внимание формула (8.5). Найдем полную силу, действующую на точечный заряд в системе координат К. Вследствие симметрии сила направлена вдоль оси У и связана с импульсом уравнением движения В системе координат К' зта связь имеет вид По формулам преобразования теории относительности ~/~ ()г р' = р, — =, (() = о/с), (8.12) г' дг 1 ч ои' )сг где и'„— компонента скорости частицы в системе координат К', причем в данном случае и'„=-О.
С учетом (8.12) из (8.10) на- ходим уд )(1 7д) Г )/~ орг (8.13) Сравнение (8.13) с (8.9) показывает, что Г„= (1 — Р') Хю (8.14) т. е. куликовская гила отталкивания /э больше силы Г„, действующей на двилсущийся заряд со стороны движущейся пити. Следовательно, кроме кулоновекой силы аиэто.экивания на заряд действует еще другая сила, отличная аэи кулоновской, которая в даээнолэ случае являетгя силой притяжения.
Она 5 8. Магнитное поле 59 возникает в результате движения зарядов и называется магнитной. Полевая трактовка взаимодействия для магнитной силы формулируется аналогично полевой трактовке электрического взаимодействия: движущийся зиряд создиет в окружающем его пространстве магнитное поле; ни движущийся заряд со стороны магнитного воля действует сила. лятивистская природа магнитного поля. Из (8.14) видно„что маг- Р' нитная сила равна Г„„= Є— З = -ог( /с~. (85 5) Вник минус означает, что сила направлена к заряженной пити, т, е.
является силой притяжения. Как видно из (8.15), эта сила описывается величиной второго порядка малости по о/с относительно кулоновского взаимодействия. Следовательно, магнитное взаилюдействие сравнимо по величине с электрическим лишь при достаточно больших скоростях заряженных чистки.
Тем н е менее оно заметно и при малых скоростях зарядов, если кулоновское электрическое взаимодействие по каким-то причинам не проявляется. Такая ситуация осуществляется, например, при наличии электрического тока в проводнике. В этом случае электрическое поле движущихся зарядов нейтрализуется электрическим полем зарядов проводника противоположного знака, т, е. эхранируется. В результате остается одна лишь магнитная сила, ничтожно малая по сравнению с кулоновской силой, если бы она не была экранирована. Например, при типичных скоростях дрейфа электронов в металлическом проводнике (см.
5 31) магнитная сила меньше кулоновской более чем в 10гв, тем не менее она достаточно большая и проявляется в виде взаимодействия нроводциков с током. Поэтому чисто релятивистский эффект возникновения магнитного ноля проявляется при любых скоростях и не только при достаточно больших. лы взаимодействия параллельных проводников с током Представим С" себе, что заряды движутся в топкой цилиндрической проволоке, которая в целом электрически нейтральна Тогда кулоновские силы со стороны движущихся зарядов, образующих электрический ток, экранируются зарядами противоположного знака проволоки и вне проволоки действует лишь магнитная сила (8.15). Следовательно, вокруг проводника с током проявляется действие магнитной силы на движущиеся заряды, которые образуют электрический ток.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
