А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Таким образом, поток вектора рт сквозь замкнутую поверхность характеризует интенсивность порождения дыма внутри объема, ограниченного замкнутой поверхностью. Такую же интерпретацию имеет равенство (5.1) в применении к электрическим зарядам. Можно сказать, что интеграл (5.2) характеризует суммарную мощность источников вектора А внутри объема. Дивергенция характеризует моиугзость источников и опредезяется Формулой у А. с)Я с)(ч А = 1пп ву. о тле Лб — бесконечно малая замкнутая поверхность, ограничивающая бесконечно малый объем АК Найдем выражение для Жу А в декартовых прямоугольных координатах. Для этого вычислим поток вектора А сквозь поверхность куба (рис.
13) со сторонами Ьх, Лу, Ье, центр которого имеет координаты (х, у, а). Координаты середин граней равны (х -1- + Лх/2, у, т), (.х — Ьх/2, у, т), (х, у + Лу/2, е), (х, У вЂ” ЛУ/2, г), (х, У, х + Ле/2)з (х, У, е — Ухе/2). Подынтегралыюе выражение (5.3) в координатах имеет вид А дб = А„с)5„+ А дб + А, ду где Ж„=- + с(у с(г, дБ = + де с(х, Ы, = + с(х ду, (5.5) Положительной нормалью у звмкнутых пОверхностей являетсв виешивк нормаль 11 Поток вектора д сквозь поверх- ность О Каким требованиим должен удовлетворить бесканеч о малый физический объемз При каких условиях можно пользоватьсв понктиен не. прерывного распределении заркдов1 Всегда ли можно определить объемную плотность заряда! Приведите лринерь . При каких условиях можно пользоваться предста влевием о поверхностных Варядакт В кокон соотношении накодитси направление вектора плотности тока к направлению вектора скорости заряда з (5.б) а) !4 40 1.
Заряды, поля, силы 5З Поток вектора сквозь повсрк. ность «уба сеолнтск к сумме потоков через его грани К выводу формулы Гаусса — Осг. роградского причем знак этих величин определяется направлением внешней нормали к грани относительно положительного направления соответствующей оси, Например, Ы„по правой грани (х, у+ Лу, 5) имеет положительное значение, а по левой грани — отрицательное. Интстрал по поверхности куба сводится к сумме интегралов по ее граням. Вычислим, например, интеграл по граням, перпендикулярным оси У.
На этих гранях г(5„=0, с)бг = Лг)хг(х, г(Я, =О и, следовательно, сумма в правой части (5.4) сводится к одному слагаемому Агдб,. Обозначив площади поверхностей грапеи Л5„ (левая) н ЛЯ,т (правая), запишем: 1„= 5 Л.г)В= 1 А„Ыг+ ) Агг)Яг= Лкн алк„ Л5н *5 г = ) А„(х, у — Лу/2, 5) 51х г) 5 + Л5„ + ) Аг(х, р+ Лу/2, 5)с)хг)5. Знак минус у первого интеграла в правой части (5.б) учитывает, что внешняя нормаль к левой грани Лб„г направлена в сторону отрицательных значений у, Для дальнейших вычислений представим А в виде ряда Тэйлора по Лу: Аг (х, у + Лу/2, 5) = А (х, у, 5) + + (Лу/2) дА (х, у, 5)/ду + О [(Лу)51, А„(х, у — Лу/2, 5) = А (х, у, з)— — (Лу/2) дА„(х, у, 5)/ду + О [(Лу)~), (5.7) где О [(Лу)'1 — члены высшего порядка малости по Лу.
Подставляя (5.7) в (5.6), находим /г=ЛУ " ' ' ' Лхбз+О[(ЛУ)51, ГдА (х,у,г) ду (5.8) где учтено, что площади поверхностей Лага н Лога равны и имеют одинаковые координаты по осям Х, У.. Интеграл в (5.8) можно вычислить, разложив полынтегральное выражение в ряд, 4 5. Закон сохранения заряда 41 (5 10) Тогда для (5.8) получаем гр — — ' гхх г«у Лг+ 0 [(гтх Ьу Лг)~1.
дА«(х, у, г) ду (5.13) Аналогично вычислим потоки через другие пары граней: А ° Ж = — + — "+ — Лх Лунг+ 0[(Ьх ЬуЛг)«3. / дА„дА„дА, 'т (5.14) 1, дх ду дг «) Подставляя (5.14) в (5.3) и учитывая, что объем куба равен Ь(т= ЬхЛуАг, находим ( дА„дА„дА, Йч А = 1нп ~ —" + —" + — + 0 [(Ах Лу Аг)'1/(Лх Ьу Лг) -а е~ дх ду д. дА„ дА„ дА, + + дх ду ог ' (5.15) поскольку слагаемое, зависящее от (ЬхЛуЛг), при переходе к пределу обращается в нуль. Формула считая г и х перемснцымн интегрирования, а отнюдь не коор- динатами центра граней.
Если под х н у понимать координаты центра граней, то переменные удобно заменить по формулам: х-+х+ ~, г-+ а+ «1, т)хт(г-т «Ц«1«), (5.9) дА«(х, у, г) [ дА«(х+ ч~, у, г+ т)) аг, аг„ где х, г в правой части (5.10) — координаты центра граней, т. е. ностоянны прн вычищ«енин (5.10). Выражение дА /ду можно разложить в ряд по 9, т): дА (х+ д, у, г+ т)) дА„(х, у, г) о«А„(х, у, г) ду ду — +~ ", '„' + дх ду + и — "' — '+ о (д', О'), д«А„(х, у, г) (5.11) дг ду где г, н т) прн интегрировании изменяются от 0 до +Ах/2 н +/тг/2 и имеют, следовательно, тот же порядок малости, что и Ьх и Ьг.
Подставим (5.11) в (5.10): дА„(х+ ~, У+ г+ т)) оА ~ д«А„ ду ду ) дх ду ьг, Ю, + —" ~ «) «)д б«1 +... = — "— дтх Ьу Лг + 0 [(Ьх)г, (Ьг)~~. д'А„ дА„ (5.12) сг ду ду 42 !. Заряды, паля, силы (5.16) позволяет вычислить дивергенцию в декартовых координатах, формула Гаусса-Остроградского. Эта формула связывает мои)ность исгиочпнков с потокоми порождаемых ими векторов и играет важ- ную роль в теории электричесгва. Разобъем объем К, ограниченный поверхностью 5 (рис. 14, а), на большое число малых объемов ЬК, поверхности которых Абп Формулу (5.3) можно представить в виде (Йт А); ЬК = 7 А оо, ьй (5.17) где (Й» А), означает о(т А в йм объеме. В (5.17) поставлен знак приближенного равенства, поскольку ЬК, хотя мал, но конечен. При неограниченном уменьшении АК, соогношение (5.17) становится точным.
Просуммируем обе части (5.17) по всем ячейкам объема !'. ~ (Йт А); А К - ~ 7 А ° оВ. (5.18) 3 м, Сумма в правой части может быть преобразована следующим образом. Соседние между собой ячейки имеют общую поверхность соприкосновения. Все внутренние ячейки находятся в соприкосновении всей своей поверхностью с соседнимн ячейками. Поэтому в сумму правой части (5А8) интеграл по каждой поверхности внутри объема Р входит дважды как интеграл по соприкасающимся частям соседних ячеек (рис. 14, б; оэ; противоположно йбэ). Поскольку направление нормалей в каждой паре этих интегралов противоположно, а вектор А имеет один и тот же модуль, эти интегралы равны по абсолютному значению, но противоположны по знаку.
Следовательно, в сумме они дают нуль, и соответственно в правой части (5.! 8) все интегралы по поверхности соприкосновения ячеек внутри объема !' в сумме дают нуль и остается лишь сумма интегралов по тем частям ячеек на границе объема К, которая не соприкасается с другими ячейками. Сумма площадей этих внешних поверхностей ячеек, лежащих на границе объема У, составляет плошадь поверхности 5, ограничивающей объем Следовательно, уА оЯ=)А оЯ, (5.19) ей 3 причем это точное равенство, справедливое при любом разбиении объема 1' на ячейки А$',. Левая часть (5.18) при Ь'г', -+ О может быть выражена в виде интеграла: 1нп ~ (Йч А)~ ЬК; = ) Йт А йК (5.20) ьг, оде г $ Подставив (5.19) в (5.18) и перейдя к пределу, получим формулу 4 5 Закон сохранения заряда 43 (5 2!) которая называется формулои Гаусса-Остроградского.
Она связывает интеграл по обьему от дивергеиции вектора с потоком этого вектора сквозь замкнутую поверхность, ограничивающую обьем В математике указываются условия применимости этой формулы, которые здесь не перечисляются, поскольку в большинстве физически реальных ситуаций они автоматически выполняются д ифференциальная формулировка закона сохранения заряда. В формуле (5 1) объем )г и поверхность 5 не изменяются с течением времени Следовательно, производную по времени в левой части (51) можно ввести под знак интеграла С другой стороны, правую часть равенства мовпю по формуле Гаусса — Остроградского преобразовать в интеграл по объему д (' Гдр — ~ рйр= ~ — с))в, уг) 4Я =)в 41ч)4)г дг ~ ~ дг (5 22) Перенося все члены в (5.1) в левую часть и принимая во внимание (5 22), получаем — + 41ч) г()г= О (5 23) к Это равенство справедливо для любого объема Очевидно, что подынтегральное выражение тождественно равно нулю Доказательство производят от противного Если в некоторой точке подынтегральное выражение не равно нулю, то в качестве )г можно взять маленький объем вблизи этой точки, в пределах которого подынтегральное выраженно сохраняет знак Интеграл по этой области не равен нулю, что противоречит исходному равенству (5 23) Поэтому подынтегральнос выражение равно нулю во всех точках.
Тогда др — + с(зч 1 = О дг (5 24) Равенство (524) является выражением закона сохранения заряда в дифференциальной форме Оно называется также уравнением непрерывности. Прямер 5.1. Вввчислить поток радиус-нектара сквозь поверхность круглого цивипдри (рнс 15) Расчет произвести непосредственно и с помощью форввуивв Гаусса — Остроградского Поместим начало координат в центр основания цилиндра н направим ась У вдоль асн цилиндра (см рнс 15) Тогда ) г 45 = ) г 45 ь ) г 45 + ) г 45, в вн зв зван Ф Заряд сохраннется прн всех дямження» н езаннопревращеннях но«нтапей заряда. Днварганцмя харакзернзует мощность мсточннков. Форнупа Гаусса-Остроградского связывает суннарную нощность нсточннкоа в обьене с позокон порождаяного мсгочммканм вектора через повярхноегзь ограничивающую обьен. Заряд ня является саностонтепьной сущностью, незавнснной от потерна, он — одно мз свойств матерна. О Какие дзя группы разпкчных фактов описываются панятксм сохраненкя заряда? В чям физический смысл разенстза,выражаемого тяо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
