А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 15
Текст из файла (страница 15)
При этом возникает магнитное взаимодействие гоков, Это получается как результат релятивистского анализа взаимодействия движущихся зарядов. Однако магнитное взаимодействие токов было открыто задолго до создания теории относительности. Предположим, что движущиеся заряды составляют линейный ток, текущий по проводнику, параллельному исходному току, текущему вдоль оси Х и расположенному на расстоянии г от него (рис. 22).
Величины, относящиеся к исходному току, обозначим с индексами 1, а к линейному — с индексами 2. На каждый заряд тока 1з со стороны 60 !. Заряды, поля, силы тока 1, действует магнитная сила притяжения Р' (Вйб), которую удобно с учетом (8.8) представить в виде ярьйо1 1 Р1обоь риг — — — —, = — — — т-йо — — = — — — йо —, с 2пеог 2псос г 2паос г ' (8.16) (8.17) Подставляя в (8.17) выражение (8.16), находим 1 1в)опг бхз бры =— 2яаоса г (8.18) где долг =1з. Кроме того, в теории магнетизма вместо постоянной ео принято использовать ро = 11(еос ) — магнитную постоянную.
Тогда [см. (8.18)1 Но 1г1з бР = — — — Дх. П 2я г 2. (8.19) Она характеризует взаимодействие прямолинейных токов в бесконечных параллельных проводниках. Необходимо отметить, что условием применимости (8.19) является малость поперечных размеров проводников по сравнению с расстоянием между ними (тонкие проводники, линейные токи). Единица силы тока. Из формулы (8,19) видно, что на длину 1з проводника приходится сила ро 111з р 2п г Знак минус показывает, что при одинаковых направлениях 1, и 1, между проводниками действует сила притяжения.
Если же направления токов 1, и 1а различны, то возникает сила отталкивания. На основе (8.20) дается определение единицы силы тока: ампер есть сила постоянного тока, который, будучи поддерживаемым в двух параллельных прямолинейных проводниках бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенных на расстоянии 1 м один оги другого в вакуулге, вызывает между этими проводниками возникновение силы, равной 2 1О ' Н на метр длины. Полагая в (8.20) 1, = 1г — — 1 А, г = 1 м, 1г = 1 м, Р„~ = — 2 10 Н, находим Ро = 4п ° 10 з Н)Аз (8.21) Как было отмечено [см. (8.19)1, Робо = 1~с, (8.22) где Р,оЯо1 =1г [см.
(4.11) и (4.14)1, г = Уо [см. (8,8)], Обозначим пз линейную концентрацию зарядов на втором проводнике. На элементе длины бхг находится из бхз зарядов, на которые действует магнитная сила ЙРы = г"„„иг бха. з 9 Сила Лоренца. Сила Ампера 61 где с — скорость света в вакууме. Это соотношение отражает глубокую связь, существующую между электрическими и магнитными полями и характеризуемую фундаментальной физической константой с, равной скорости света. Природа этой связи станет ясной при изучении электромагнитных волн (см. гл. 9). Магнитное поле. В полной аналогии с полевой трактовкой кулонов- ского взаимодействия (см. 9 6) можно переформулировать процесс возникновения силы (8.18) в виде двух этапов: порождение током 1, магнитного поля в окружающем ток пространстве и действие ма~нитного поля на движущийся заряд илн ток.
Однако законы возникновения ма~нитного поля и действия силы оказываются более сложными, чем в законе Кулона, так как зависят от взаимной ориентации тока и скорости заряда. Кроме того, текущий по бесконечно длинному проводнику ток /, не подходит для роли элементарного объекта, взаимодействие точечно~о заряда с которым можно считать элементарным актом. Поэтому необходимо вернуться к анализу действия сил на точечные движущиеся заряды или элементы тока. й' 9. Сила Лореаща, Сила Ампера Обсуждаются релятивистские свойства сия Лоренца и Атнвра.
Левые части этих уравнений преобразуем с помощью формул теории относительности для импульса и преобразований Лоренца: р„'+ (Е'/с') в Р»= » Р» Р» Р»=Р» ()а (9.3) Преобразование сил. В 8 8 на частном примере было показано, как, исходя нз предположения о релятивистской инвариантности уравнения движения, можно получить закон преобразования силы при переходе от одной системы координаз. к другой. Обобщим этот метод иа более общий случай. Как обычно, система координат К' движется относительно системы К в направлении положительных значений оси Х со скоростью о. Рассмотрим движение материальной точки под действием заданных снл. Пусть проекции силы в системе координат К' равны (Г„', Г'„, Г',), а в К вЂ” (Г„, ÄÄ).
В общем случае соответствующие проекции этих сил в различных системах координат не равны между собой. Однако между ними имеются вполне определенные соотношения, обеспечивающие инвариантность уравнений движения, т. е. их одинаковый вид в различных системах координат: е(р„/Ж = Г„е(р,/с(с = Г„, др,/»)е = Г„ (9.1) Йр'„/бг = Г„, бр„/др = Г„, Др,/й = Г;. (9,2) 62 1. Заряды, поля, силы где Е' = т'сг — полная энергия материальной точки, (3 = о1с. Формулы (9.1) приводятся к виду: Йр„др й' б ) р', ь(Е7с')о 1 й' ои,'~сг, оц',/сг бр йр й ~/1 в 6' й д~' й 1 + оц„'/сг ) /1 ()г (9.б) й й~' й 1 + оц'„(сг (9.4) (9.5) и'г )Д вЂ” рг цц', 'у'1 — )3 1 + оц',/с' ' * 1 + ои„'/с' (9.8) выражение (9.4) приведем к виду Р„= Р,'+ — ' — Р,'+ * Р',.
оц )сг оц /сг 1 — ()г ' ~/1 — ))г (9.9) Для упрощения (9.5) и (9.б) иеобходямо важное соотношение, которое получается из формул для преобразования скоростей. Запишем прямые н обратные преобразования, например у-проекции скорости: ,'),г) — ()' „)У) — б' 1 Ч- оц„'/сг г 1 — оц,/сг Перемножая почленно левые и правые части этих равенств и сокращая полученные равенства на общий множитель ц„ц„', находим 1+ г 1 г (9.10) Учитывая (9.10), преобразуем формулы (9.5) и (9.б): 1 — оц„/с Р,=- * Р,', (9.11) где (и„', и„', ц',) — скорость точки в системе К'; Р'„, 1",', Р,' в правые части (9.4) — (9.6) вошли в результате использования уравнений движения (9.2). При вычислении (9.4) принята во внимание формула дЕ' — =Р' и', й' (9.7) выражающая закон сохранения энергии в системе координат К'.
С помощью формул сложения скоростей 4 9, Сила Лоренца. Сила Ампера 43 2 е 1 Рз (9.12) Таким образом, с помошью формул (9.9), (9.!1) и (9.12) сила в системе координат К выражена через силу в системе К'. Ио принципу относительности нетрудно написать и обратные формулы преобразования. При выводе этих формул не делалось никаких предположений о свойствах исходных сил — они могут зависеть от координат, времени н скорости. Кроме того, не предполагалось, что в какой-то из снегом координат частица является покоящейся, поскольку на скорость частиц не налагалось ограничений.
Полученные формулы показывают, что зависимость сив от скорости в релятивистской теории иеизбелсиа: даже если в какой-то системе координат ее нет (например, Г„', Г'„, с',), в других системах координат она неизбежно появляется (в данном случае йт Ел с, завися~ от скорости и„, и,, и, частицы). Запишем формулы преобразования сил в векторной форме. Для этого введем следуюшие обозначении: Ф (Р Р ()У1 ()2 Р ) ~1 ()2) С = ~0, — (в)с') Е',ф'( — ()е, (о/сз) Е„'))У 1 — ()з).
(9.1 3) (9,!4) Нетрудно проверить, что с помошью (9,13) и (9.!4) формулы (9.9), (9Л1) и (9.12) записываются в виде векторного равенства Е=Ф+цх С. (9.15) ~ила ЛоРенца Предположим, что в системе коорлинат К' имеется только электрическое поле н, следовательно, сила (р'„, Г'„, с,') не зависит от скорости и' частицы. Тогда Ф [см. (9.13)1 не зависит от скорости и частицы и представляет собой электрическую силу в системе координат К. Аналогично заключаем, что вектор С также не зависит от скорости н частицы, а может зависеть лишь от координат и времени. Поэтому зависимость силы от скорости частицы содержится во втором слагаемом (9.15): Р„=их С. (9.16) Это магнитная сила, направленная перпендикулярно скорости частицы и вектору С, представляющему магнитное поле, которое действует на лвлжушуюся частицу.
Так как Р— вектор, то и вся правая часть — вектор. Равенство справедливо для произвольных в. Следовательно, каждое из слагаемых в правой части является вектором. Поскольку их С и и — векторы, заключаем, что С тоже вектор. Тем самым доказано, что определяемые равенствами (9.13) и (9.14) величины Ф и С являются век|орами. 44 !. Заряды, поля, силы Поскольку Ф в формуле (9.15) представляет электрическую силу, действующую на заряд 4, то напряженность Е = Ф/Ф (9.17) Аналогично, индукция магнитного поля В= П)Ф (9.18) С учетом (9.17) и (9.18) формула (9.15) для силы, действующей на точечный заряд, записывается в виде Г= 4Е+ 4н х В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
