А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Строго говоря, закон взаимодействия элементов тока (10.3) нельзя проверить экспериментально, потому что не существуе~ изолированных элементов тока 16Ь силу взаимодействия между которыми можно было бы измерить. Каждый элемент тока — зто часть замкнутого контура тока и поэтому экспериментально проверяется лишь закон взаимодействия замкнутых токов (10.6). Из справедливости (10.6) не следует, однако, справедливость (10.4), потому что к (10,4) можно добавить любую функцию, которая при интегрировании по замкнутым контурам после подстановки в (10.6) дает нуль. Электрический ток обусловлен движением зарядов. Поэтому формула (10.4) выражает также закон магнитного азаимодейстаия двилсуиуихся зарядов, который иэ нее нетрудно получить и проверить экспериментально, поскольку силу взаимодействия между движущимися зарядами можно измерить.
Наиболее же полной экспериментальной проверкой этой формулы является согласие с опытом ее следствий, ко~орые весьма многочисленны. 1 10. Заков Био — Савара 69 Полевая тРактовка взаимодействия. В полной аналогии И электростатикой взаимодействие элементов тока представляется двумя стадиямн: элемент тока Е, сИ, в точке нахождения элемента тока Е, 41г создает магнитное поле, взаимодействие с которым элемента Егй1з приводит к возникновению силы с(р,г. Действие магнитного поля с индукцией В на Ед( описывается формулой (9,27). С ее учетом две стадии взаимодействия описываются так: 1) элемент тока Ез с(1з создает в точке нахолсдения элемента тока Ег Й1г магнитное ноле с индукпией (10.8) 2) на элемент тока Егд1з, находящийся в точке с магнитной индукиией дВ,г, действует сила (10.9) Закон Бно — Савара Соотношение (10.8), описывающее порождение магнитного поля током, называется законом Био — Савара, Для амкнутого тока Е 3 В= Р' —,— '-, (10.10) В= — ~ —,дИ Рс (Ех г 4и ~ (10.11) Здесь интегрирование производится по всем областям пространства, где имеются объемные токи, характеризуемые плотностью тока Е.
Сила взаимодействиа пРЯмолинейных токов. Элемент тока Е, дх, (рнс. 22) в точке нахождения элемента Ег дхг создает поле с индукцией ЙВ,г, которая направлена перпендикулярно плоскости чертежа к нам, а по модулю равна Ез йхз в1п и <~йзг — —— 4я гзг Следовательно, индукция магнитного поля, создаваемого прямо- где г — радиус-вектор, проведенный от элемента тока Ей! к точке, в которой вычисляется иидукция В магнитного поля. Интегрирование в (10.10) производится по замкнутому контуру тока Ток предполагается линейным. Переход к объемным токам совершается в соответствии с правилом (9.26).
Для объемных токов закон Био — Савара (10.10) принимает внд 70 1. Заряпы, поля, аввы линейным током Е„текущим по бесконечному проводнику в точке нахождения элемента тока Е,дхг 1см. (!0.10)3, выражается формулой Но) ~ згп и с)хг Но 4п 3 г', 2н Ю где для вычисления интеграла используется замена переменных, проведенная при получении формулы (8.5). Формула (10.13) совпадает с (9.28).
Формула Ампера приводит к заключению, что сила с)г вг в магнитном поле с индукцнсй (10.13) действует на элемент тока Егв!)г перпендикулярно проводнику с током Ег и направлена к току Е„т.е. является силой притяжения; Но ЕзЕг Ы з = — — с)х. 2н г (10.14) Формула (10.14) совпадает с (8.19). Пример 10.1. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого конечным прямолинейнмм участком проводника длиной 1, по которому течет ток Е (рнс.
25). Напряженность поля от каждого элемента проводника направлена перпендикулярно плоскости чертежа и в соответствии с законом (10.10) равна ЙВ= — ) —, Но 4)х г 4к гв поскольку с)! х г перпендикулярно плоскости чертежа. Тогда ! с)! х г ! = с))г в1п Щ в) = б!г в!и )! = оуд, поэтому В- — Е! Но)а " бу Ноу = — (в)п ос + в)п кз). 4к ) (лз +,г)вп,!к,! -о- ! Но),(", й! х г 4к Х гз где г = го+ Ь, 41 х в= д! х го+ 4! х Ь. Прв интегрировании модуль г ве юмепяется, поэтому В о (уй! х гь+ ус)! х Ь). 4кгв ь (10.15) С помошью этой формулы можно вычислить индукцию поля любого контура с током, состоящего из прямолинейных отрезков.
Пример 102. Определить индукцию магнитного поля на оси кругового тока Е радиусом го (ряс 2б). Воспользуемся законом (10.11): б 10. Закон Био — Гавара 7! Поскольку Ь вЂ” постоянный вектор, находим у гП х Ь = (у д!) х Ь = О, с так как уа! = 0 Другой интеграл, входящий в (10 15), вычисляется следующим образом у зП х го = 7 аго с)1 = пго 5 61 = п'о2згго, с с где в — единичный вектор, перпендикулярный плоскости, в которой протекает ток 1 Тогда ро1 го В„= — — —,— ы !го зз Ьз)зы (10.16) Пример Гй 3, Кольцами Гельмгогьца иазыгают дга коаксиальных хольцггых проводника одинакогого радиуса, расположенных г лараллгльпыч плоскостях, расстояние д между которыми равно радиусу колец.
Доказать, что магнитиое лоле иа оси колец Гельмгольца па середине расспюяния между ними однородно с оь!сокой точностью. Помесгим начало декартоиой системы координат в центр одного из колец и ось Е направим вдоль оси колец (рис 27) Индукция поля на осн колец в точке с коордизглтой г в соответсгвии с (10.16) равна Ро)го ~ 1 1 В,= з гзг+ [(гз + го)з' [(г — д)з + г~о1цз 1' (10 17) где 1 — сила тока и колы!с.
Неоднородность В, в первом приближении характеризуется первой производной 27 К расчету взаимодействия двух круговых токов оВ, 3ро14 [ — г г — а дг 2 1 (гз+гг)з~г [(,Оз+гзу~д~ (10 18) Для колец Гельмгольца д = го и при г = = а12 (огВксдгз) = 0 Это показывает, что поле вблизи точки г = а/2 на оси колец Гельмгольца действительно одпоролно с высокой степенью точности. При г = д)2 получаем дйг)дг = О, тогда дгВ, Зро1гоз ) 5гз 1 дгг 2 [(гг + го)пз (г' + гог)" ~ 5 г — дз [(г д)з + гоз)згг Цг д)г + гЯз~г ) ' 26 Магнитная вндукиня на оси вятка е током ° Силы взоннодействнв зленентов токо не удовлетворяют третьену закону Ньютоио.
Сипы взоннодействня замкнутых контуров с токаи удовлетворяют третьену закону Ньютона. та Соленоид конечной длины (10.20) (10.21) Какай вывод ложно сделать из того факто, что силы вюинадвйствия злвнвнтов тока нв удовлетворяют трвтьвну закону Ньютона, а замкнутых токов — уаов- лвгяоряютЗ г2 1. Заряды, поля, силы Поскольку злвнвнтов тока в изолираваинон виде ив существует, в кокон сныслв можно говорить а пряной вкслвринвитальиой лраввркв форнулы для взаинодвйст. вия злвнвитов токо! П 10з( Имеется прямой кругльзй соленоид огнликой 1, состоящий из и витков тонкого провода, прилегающих плотно друг к другу, Найти индукиию на оси соленоида, если через его витки течет ток 1. Поскольку витки очень плотно прилегают друг к другу, можно с достаточной точностью считать, что каждый виток создает поле на оси соленоида в соответствии с формулой (10.16).
Плотность намотки равна н(1. Можно принять, что на длине дг соленоида течет ток (1п(1ддг. Помеимя на тло системы координат в точку осн соленоида на половине его длины (рис. 28), находим с помощью формулы (10.16), что индукция на осн соленоида в точке г р зизу ( йг' 3 Г(~ — г')' + ~Ии' -с(г реп( ) -г-ЬЬ/2 20 ( 1(г — 1.(2)з+ гвз")из г+ Ь(2 + Цг+ 1(2)з ь гДззз ~' Длв очень длинного соленоида (Ъ- сс) в точках г ~ 1.(2 из (10.д)) получаем йт В,6 рену(1.. ь о Поле бесконечно длинного соленоида не только постоянно вдоль осн, но и однородно по его сечению (см.
(8.38)). й 11. Преобразование юлей Исходя из инвариантности уравнения движения заряда в злектромагнитнолз поле выводится закон преобразованич полей. Инварнаитность выражения для силы в электромагнитном поле. Выражение (9,19) для сипы Лоренпа, действующей на точечный заряд в электромагнитном поле, получено из требования инвариантностн релятивистского уравнения движения. Следовательно, зто выражение пзакзгсе до.злсно бить й 11, Преобразование полей 73 релятивистски инвариантны.и. т.
е. иметь одинаковый вид во всех системах координат. Таким образом, в системах координат К н К' выражения для сил имеют вид: я=9(Е+ их В), (11 1) $" = д(Е' + в' х В'). (11.2) Используя релятивистскую инвариантность выражения для силы, представленной формулами (11.1) и (11.2), и учитывая (9.9), (9.11) и (9.12), можно получить соотношения между векторами электрических и магнитных полей в различных системах координат.
Частный случай преобразования векторов полей уже был рассмотрен ранее, а именно: было показано, что если в системе координат К' имеется только электрическая напряженность, то в системе К появляется также и магнитная индукция. Можно было бы аналогично показать, что если в некоторой системе координат имеется только магнитная вндукция, то в другой появляе~ся, вообще говоря, и напряженность электрического поля.
Рассмотрим связь между электрическими и магнитными полями в общем случае. ПРеобразованне полей Подставим в формулу (9.11) вместо Р„и Р'„ их выражения из (11,1) н (112): 1 — ои /сг Е, + (и,„— и„В,) = * (Ее + (и,'В', — иВВВДЪ. (11,3) ) г( ))г (11,5) Исключая из (11.3) величины и„' н и', с помощью формул сложения скоростей — .)У( - В' ~, В.- и группируя все члены в левой части (11.3), находим (Š— " — ) + (-В, +  — )" В + (В, — В„') и, = О. Это равенство справедливо при произвольных значениях и„и и,. Следовательно, выражения, стоящие в скобках (11.5), по отдельности равны нулю.
Приравнивая их нулю, получаем формулы преобразования для векторов поля: Е„= " *, (11.6) В„= В'„, (11.7) В, = — ' ", (11.8) Е„'+ оВ,', В', + (%г) Е'„ Аналогично, исходя из (9.!2), получаем формулы преобразования для других компонент: Е, = * ", (11.9) ВВ = В'„, (11.10) ~/1 онг * 74 1. Заряды, поля, силы Вывод преобразования х-проекции силы удобно обосновать на формуле (9.4), записанной в виде 1 Г и (11Л2) Поступая так же, как и в предыдуших случаях, приводим равенство. (11.12) к форме < 1+ —.,* ~Е„+ (и„В, — и,В„)Л вЂ” 1Е'„+ (и„'В; — и',В'„)1 = -~-(Е' и'), (ПЛЗ) с где Г п'= сЕ' и'. Воспользовавшись формулами (11.8) и (11.11), находим, что Е„= Е'„. (11Л 4) Таким образом, формулы преобразования для векторов электромагнитного поля имеют внд: (11Л 5) Обратные формулы преобразования векторов пола по принципу относительности получают из формул (11.15) заменой с-+ — е, величин со штрихом на величины без пггриха и наоборот.
применения формул (11.15) Формулы (11,15) позволяют найти векторы электромагнитного поля в любой инерциальной системе координат, если только они известны в какой-либо одной из иих. В качестве примера изучим поле заряженной бесконечной нити. Нить неподвижна и расположена в системе координат К' вдоль осн Х'. Следовательно, в этой системе координат имеется только электрическое поле, напряженность которого дается формулами (8.5) с учетом определения напряженности.
Поэтому вместо (8.5) для напряженности электрического поля получаем выражения: Е' = О, Е, '= р'Бо/(2иеаЮ, Е, '= О. (11Л6) Ось 1' может иметь любое направление, перпендикулярное нити. Из формулы (11.16) заключаем, что напряженность электрического поля заряженной бесконечной нити направлена по перпендикулярам к нити и убывает обратно пропорционально первой степени расстояния от нее. Магнитное поле в системе координат К' отсутствует, поскольку заряды неподвижны. $ !1. Преобразование полей 75 В системе координат К нить движется вдоль своей длины в направлении положительных значений оа~ Х со скоростью и Напряженность электрического поля на основании (11.15) равна Е* = О Еэ = Е',Д/1 — ()~ = р бвЛ2яевуо ~/! — В~) Ел = О, (!1,17) что эквивалентно (8.8), поскольку напряженность равна отношению силы к заряду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
