А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 21
Текст из файла (страница 21)
х) + ) Ау(х, у, г)((у, (х, у+Ьу, х) (14.8) за К определеии)о ротора е ко- ордивател где интегрирование производится вдоль сторон прямоугольника между его вершинами, координаты которых обозначены в (14.8) как пределы интегрирования. Учитывая, что Лх и Ьу являются сколь угодно малыми, мож- 4 14. Петеяниальность электростатического воля ВВ но в подынтегральных выражениях второго и третьего интегралов произвести разложение А„н А» в ряд по Лх и Лу и ограничиться линейными членами: А»(х, у+Лу, г)=А»(х, у, г)+Лу ' ' +...
(а) дА(х, у, г) ду А„(х+Лх, у, г)=А»(х, у, г)+()х ' ' у' -(-„. (6) (14.9) Вычислим сумму первого и третьего интегралов: (»+ь», », ») !»+м *) У( = А» (х, у, з) бх + А» (х, у + Ьу, г) ()х = (»»ь, т+л», .) (» У «) (»+ ь«. ь «) (»+ Ь»», «) — А„(х, у, г) ()х — А»(х, у, г) + Ьу " „' ' ~()х, дА» (х, у, х) ) ду ( ь«) (», ь *) (14.10) где при вычислении второго интеграла в (14.10) использована формула (14.9а), а знак минус появился вследствие изменения направления интегрирования на обратное. В (14ЛО) члены, содержащие в подынтегральных выражениях А»(х, у, г), взаимно уничтожаются и поэтому 1, = — ЛуЬх. (14.11) ду (14.13) Аналогично вычисляем сумму второго и четвертого интегралов в (14»8): дА„(х, у, г) (14,12) дх По формуле (14.6) находим дА„ дА„ (го( А), = —." — — *.
дх ду Аналогично вычисляем проекции на другие оси координат: дА, дА„ дА„ дА, (го( А)„= — ' — — ", (го( А) (14,14) ду дз' ' дз дх' Обозначая, как обычно, 1», 1„, 1, — единичные векторы осей координат, запишем вектор го(А в виде го(А= )„— „' — — г + 1„» — — * + 1, — ' — — "~. (14.15) ~, ду дг ) »(( дг дх ) ~ дх ду /' формула Стокса. Формула Стокса связывает циркуляцию вектора по контуру, ограничивающему поверхность, с потоком его ротора через поверхность.
Ее вывод основан на определении (14.6). Вычислим поток вектора го( А сквозь поверхность Б, ограниченную контуром Ь 90 2. Г!остоянное электрическое поле формулы К локазатсльсгву Стокса 6рг 5! 40 Направление вгае гр (14.19) ° Условие аналоя: совернюеноя пален работа считается положительной, а вненгиини отиосмтвяьио Лапа снланн — отрицательной. Дифференциальная формулировка потенциальности апектроствтмческого поля: гос Еже.
Знак ллиус в выражении Е = — Кгабф выбран ло сеглангению Лля того, чтобьг Е было направлено в сторону унвныненив гр. (рис. 39), которую разобьем на элементы Лб,: ) го1 А 68 = ',Г ) гогА с(Я. (14.16) 5 г 55; Поскольку 685 очень малы, для каждой из них на основании (14.6) имеем ) го1А ° 63 = ) (го1 А)„65 як 45г 55; га(го1А)„ЛЯ ~А 61, (14.1Л где Ц вЂ” контур, ограничивающий Або Поэтому (14.6) может быть представлено в виде ) го1 А ° дБ ъ „'у ~ А ° Л. (14.18) 5 г Хт Части контуров Ц, являющиеся границами между Ь5о входят в два члена суммы (14.18): один раз — при интегрировании по контуру данной площадки ЬЯг, а другой раз — по контуру соседней площадки.
Интегралы равны по модулю, но противоположны по знаку, поскольку пути вдоль границы при вычислении интегралов проходят в противоположных направлениях. Таким образом, в сумме (14.18) все части интегралов по гранипам между ЛЯ; взаимно сокращаются и остается лишь сумма интегралов по тем частям контуров Л„ которые ле образуют границы между Ь5о т.е. остается интеграл по контуру Р., ограничивающему площадь Я. При Ьу; — 0 приближенное равенство (14.18) превращается в точное; которое называется формулеи Стокса, ифференциальная формулировка потенци- Д альности поля, Независимость работы от пути при перемещении заряда в электростатическом поле выражается равенством в в (Е 61=)Е ° д), (14.20) А А ач где Е, и Ез — различные пути между точ- 1 14.
Потевааальность электростатического ноля 91 в л ками А н В. Учитывая, что ( Е «)! = — ) Е ° д1, представим (14.20) в /1 в виде в л ) Е «И+ ) Е г)1 = ~Е. 41 = О, (14.21) в ь, л /.ю где Е= Ь«+ Ьз. Формула (14.21) является математической формулировкой утверждения о том, что в электростатическом поле работа при перемещении заряда по любому замкнутому контуру равна нулю. С помощью (14.19) из (14.21) получаем (14.22) )го«Е.Ж О, где 5 — поверхность, ограничиваемая контуром Е.
Ввиду произволь- ности 5 из (14.22) следует, что (14.23) гог Е = О. Это равенство является дифференциальной формулировкой потенциальности электростатического полн. Градиент. Пусть ф(х, у, г) является скалярной функцией точки. Градиентом ф называется вектор (14.24) Чтобы выяснить смысл этого вектора, вычислим полный дифференпиал функции ф при перемещении на дг = 1 Йх+ «, Йу+ «, г)г« дф дф дф бф = — г)х+ — ду+ — Йг = яга«) ф ° Йг. дх ду дг Таким образом, бесконечно малое приращение г(ф при перемещении в некотором направлении равно компоненте яга«) ф по этому направлению, умноженной на модуль перемещения. Начертим семейство поверхностей ф = сопвг (рис. 40). при перемещении вдоль поверхности ф = сопя« имеем «)ф = О. Поэтому 1см.
(14.25)1 йгад ф .1 г)г, т. е. вектор йга«) ф нанравлен перпендикулярно поверхности ф = сопзй По модулю он равен производной от ф по пути в направлении, перпендикулярном поверхности ф = сопки Скалярный потенциал. Поскольку работа при перемещении заряда в потенциальном поле не зависит от траектории, а зависит лишь от начальной и конечной точек пути, ее можно выразить через координаты концов траектории.
Это делается с помощью потенциала. 92 2. Постоянное электрическое поле Непосредственной проверкой можно убедиться, что всегда имеет место тождественное равенство го( 8гад <р = О. (14.2б) Поэтому уравнение (1423) будет удовлетворено, если Е представить в виде Е = -йга() <р. (14.27) Знак выбран так, что напряженность Е направлена в сторону убывания еь Скалярная функция <р, связанная с напряженностью Е поля формулой (14.27), называется скалярным потенциалом электрического поля.
Напряженность можно измерить экспериментально. Потенциал <р ие имеет определенного числового значения, и бессмысленно говорить об экспериментальном определении его значения. Неоднозначность скалярного потенциала. Из формулы (14.27) видно, что если к <р прибавить некоторую постоянную, то описываемое потенщиалом поле не изменяется, поскольку производные по координатам от постоянной величины равны нулю. Следовательно, потенциал <р заданного электрического поля определен ли(иь с точностью до аддипавпой постоянной. Иормировка Пользуясь неоднозначностью скалярного потенциала, можно в любой одной наперед заданной точке приписать ему любое наперед заданное значение.
После этого во всех других точках потенциал имеет вполне определенное значение, т,е. будет однозначным. Эта процедура придания однозначности потенциалу путем приписывания ему определенного значения в одной из точек называется нормировкой потенциала. При изучении электрических полей вблизи поверхности земли за нулевой принимается обычно потенциал земли. При исследовании общих вопросов, когда заряды находятся в конечной области пространства, удобнее считать потенциал равным нулю на бесконечном удалении от зарядов.
Такая нормировка часто применяется в этой книге. яыражение работы через потенциал Если заряд перемещается межлу точками 1 и 2, то удельная работа равна (г) (г) <г) А'= ) Е ()1 = — ) 8гад<р ° ()г= — 1 <)<р= <р(1) — <р(2), (! 4.28) (1) (1) ()) где использована формула (1425) и <)1 = ()г. Из (14.28) видно, что работа действительно зависит от конечной и начальной точек траектории и не зависит от формы траектории. Из этой же формулы спедует, что разность потенциалов между двумя точками имеет ясный физический смысл и может быть измерена экспериментально.
Таким образом, физический смысл имеет пе сам потенциал, а разпость потенциалов между различными точками. $14. Потенанапьвость злектростатического поля 93 Дотенциал поля точечного заряда. Будем нормировать потенциал на нуль в бесконечности. Считая, что в формуле (14,28) точка 2 находится в бесконечности, полагаем ф(2) = ф(со) = 0 и получаем следующее выражение для потенциала в точке 1: Ь ф(1)ы (Е.41 и) (14.29) Путь нз точки ! в бесконечность может быть любым. Однако его надо выбрать так, чтобы максимально упростить вычисления. Поле точечного заряда 4 сферически симметрично.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
