А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пример 15.3. Найти наярялсенность зяектрического ноля, создаваемого поверхностным зарядом сферы радиусом й. Полный заряд сферы Д, иоверхностная плотность заряда о = Д/(4яйз). Потенциал, создаваемый элементом заряженной поверхности (рис. 46) в точке, характеризуемой г, равен 1 айзз(пйг(Ода дзр =— 4ялс Р (15.27) где Яз ял О 40 да — элемент поверхности сферы в сферических координатах, полярная ось которых совпадает с вектором г; угол а — аксиальный угол. Из рисунка видно, что р=  — г. После возведения обеих частей равенства в квадрат, находим р' = А' + г — 2йг соз О. Взяв дифференциалы от обеих частей этого равенства, имеем 2р др = 2йг яп О ОО, откуда следует, что й' яп О 60 = (рй/г) др. Тогда (см, (15.27)3 1 ой др = — — бр да.
4яаа г 2 42(Л) = — да„ о ~ ) гз)г 4яае .) .) )/гз+ 62 К вычвсленяю ввлряжеияостя электрического полл лвнейного заряда конечной дланя 45 К вычислению яапряженяоств элевтрвческого поля заряженного дяска 46 К вычнсленяю напряженности полл ловерхнсстного зараза сферы 104 2. Постоянное электрическое поле Интегрируя (15.28) по всей поверхности сферы, находим айз 1 Π— — — (г> 8), о и — в! — — — — (г сд), 4хео Я Отсюда получаем напряженность электрического поля дн — — (г > и), 1 Д Е,= — — = 4яе гз дг о (г с зт) т.е. вне равномерно заряженной сферы напряженность поля такая же, как если бы весь заряд был сосредоточен в ге центре, а виутри обьема, ограниченного сферой, поле отсутствует й 16.
Электростатическое поле прп наличии проводников Рассматривается влияние проводников на электрическое поле. Описываются основные физические явления, обусловленные распределением зарядов на поверхности проводника (спекание зарядов с острия и т. д.). Обсуждаются количественные характеристики электрических свойств уединенных проводников и систем проводников. Излагается суть мезнода изображений.
ифференциальная форма закона Ома, ПРоводниками называются д материальные тела, в которых при наличии электрического поля возникает движение зарядов, т.е. электрический ток. Закон, связываю- щий силу тока, протекающего по проводнику, с разностью потенциалов, приложенной к его концам, был открыт экспериментально в 1827 г, Г. С. Омом (1787-1854) н имеет внд 1= У/К, (1б. 1) где й — величина, называемая сопротивлением проводника. Закон Ома в дифференциальной форме получается в результате записи соотззогиения (16Л) для плотности тока, Рассмотрим бесконечно малый элемент проводника (рис.
47; Ж вЂ” длина; Л5 — поперечное сечение проводника, к концам которого приложена Разность потенциалов Лгр). Пусть у — удельная электрическая проводимость вещества, которая является величиной, обратной удельному электрическому сопротивлению. Электрическое сопротивление элемента проводника и сила тока, текущего по нему, равны эх= — —, (а) 1,=),А5, (б) 1 Ы у Л5' (1б.2) з 16.
Электростатическое поле при наличии проводников 105 47 И выводу дифференциальной формы закона Оыа (16.5) где индекс с означает, что берется составляющая плотности тока вдоль элемента проводника. Закон Ома для этого элемента проводника записывается так: 1 ЛЕ Ь<р = /, 65 — —. (16.3) Принимая во внимание, что (Лйэ/Л)) = = Е, — компонента напряженности электрического поля в направлении рассматриваемого элемента, из (16.3) получаем у, = уЕт Это соотношение справедливо при любой ориентировке элемента проводника и поэтому может быть записано в векторной форме: Равенство (16.5) является дифференциальной формой закона Ома. Классификация материалов по проволимости Удельная электрическая проводимость у зависит от свойств материала. По ее значению материалы делят на три класса: диэлектрики, полупроводники и проводники.
Резкой границы между ними нет. Принимается следующее деление этих материалов по проводимости: а) диэлектрики — вещества с малой электрической проводимостью. Идеальный диэлектрик характеризуется отсутствием проводимости. Однако это может осуществиться лишь при 0 К. При температуре, отличной от 0 К, все материалы обладают определенной проводимостью и, следова'тельно, идеальных диэлектриков нет; диэлектриком принято называть материал, удельная электрическая проводимость которого у < 10 л См/м; б) полупроводники имеют удельную электрическую проводимость более 10 ' См/м, но менее 10э См/м; в) проводники характеризуются удельной электрической проводимостью, большей 10' См/м. В основном — это металлы. Наи- ° В электростатике полл внутри проводника нвт, а обьонныв заряды отсутствунзт.
Вблизи поввркно. сти проводника налрлжвнность злоктрнчоского полл направлена по нарна ли к ловвркности м пропорциональна поввркностиой плотности заряда. На выпуклой поввркности проводника поввраностнал плотность зарядов и иаприжаниость полл увв. лнчнванэтсл с уввлмчаниаи кривизны поввркности, т.
в, с унаныивннвм радиуса кривизны. На вогнутой поввркностн провод. имка ловоркностнал плотность заряда унвнынавтса. Закон Она в диффврвнцнальной форне справедлив нв только при пастовнной элоктролроводинос ти, но н при изнвнлющвйсл, нвзааисино от причин и карактврв вв нзмононил. О Сладствясн какого свойства Эпактростаткчаского паля является отсутствка токгакцкалыю» состааляющай ка.
лрюканкостк поля вблизи лоэарккостк проводника! 1Пб 2. Постоянное электрическое поле более хорошими проводниками среди них являются медь и серебро, у которых удельная электрическая проводимость имеет порядок 10" См/м. О)тсутствие электрического поля внутри проводника. В электростатике рассматривается случай неподвижных зарядов, когда 1=0.
Равенство (16.5) в этом случае дает Е= О, (16.6) т.е. внутри проводника при электростатическом равновесии электрическое ноле отсутствуепь Отсутствие в проводнике объемных зарядов. Из уравнения (16.7) Й(т Е = р/ев при Е= О следует, что р О, (16.8) т.е. внутри проводника отсутствуют объемные заряды. Это означает, что заряд проводника концентрируется на его поверхности в слое атомарной толщины.
Конечно, внутри проводника имеюгпся как положительные, так и отрицательные заряды, по оки взаимно компенсируются и в целом внутренние области проводника нейтральны 1см. (16.8)). Установление нейтральности происходит чрезвычайно быстро. Предположим, что в некотором объеме внутри проводника в момент времени г = 0 плотность свободных зарядов отлична от нуля (р(О) ~ О). Уравнение непрерывности (5.24) с учетом (16.5) принимает вцд др, др — + Йт (уЕ) = — + у б)т Е = О, дс дг где у = сопз1 (для однородного проводника). С.учетом (16.7) отсюда получаем уравнение для изменения р во времени: др у дг г, решение которого имеет внд р(г) р(0) е т.е.
плотность уменьшается экспоненциально. По общему правилу можно считать, что образовавшийся объемный заряд «рассасывается» в течение промежутка времени т = въ/у, называемого временем релаксации. Для металлов оно чрезвычайно мало. Например, для меди (у = 6 ° 10' См/м) т т 10 'ъ с. Такой промежуток времени чрезвычайно мал даже в масштабах внугриатомных процессов. Поэтому в нестационарных ситуациях, когда поля изменяются со временем, при не слишком больших частотах с большой точностью можно считать, что в проводнике свобод«ые заряды распределены по поверхности, а объемные заряды отсугпствуют.
Данное заключение остается справедливым также 1 16. Электростатическое поле врн валнчвн проводников 107 и ри учете зависимости проводимости т от частоты, хотя при этом получается увеличение времени релаксации на несколько порядков. Установление нейтральности связано с токами, которые, однако, не создают заряда в тех областях, где они протекают. Чтобы это понять, рассмотрим простой пример. Имеется шар радиусом ас, вещество которого характеризуется диэлектрической проницаемостью в и удельной проводимоспю у. В начальный момент с = О шаровая область радиусом ас < аз заряжена равномерно с плотностью заряда ро. Сферический слой между радиусами ас и ас нейтрален.
Рассмотрим процесс нейтрализации заряда в объеме шара. Изменение плотности заряда в различных точках шара дается формулой р.еч' ( ), О (г>а,), где т = е/у. Полный заряд шара До = о/ояазсро остается постоянным, но заряд шаровой области радиусом а, уменьшается по закону дс(с) 4Сзлазрое '~'=две '~'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
