А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Потенциал иа расстоянии г от точечного заряда по формуле (14.29) равен ф(г) = — з — П! . (14.30) Наиболее подходящим является путь интегрирования вдоль радиус- вектора, исходящего из точечного заряда. Тогда (г о(/г) = бг и из (14.30) следует, что (14.3 1) (14.33) г — расстояние от точечного заРЯда 4„ находагцегоса в точке (хн Ун г,), до точки (х, У, з), в котоРой вычисляется потенциал. Дотенциал поля непрерывного распределения зарядов. Предполагаем по-прежнему, что все заряды располозкены в конечной области пространства и потенциал нормирован на нуль в бесконечности. Обозначая Рекомендуется в качестве упражнения проверить, что из атой формулы получается закон Кулона: а 1 1 4 г Е = — йтас( ф = — — ягаб — = — -т- —, (14.32) 4пео г 4кев г г ' 11отенциал поля системы точечных зарядов По принципу суперпози- ции потенциал поля свете,иы точечных зарядов равен сумме потенИиалов, создаваемых в рассматриваемой пизчке каждым из зарядов.
Это очевидно: Е = Е, + Е, = — ягас( ф, — ягас( фз = -ягаб(ф, + ф ). Следовательно, с помощью формулы (14.31) для потенциала, созда- ваемого системой точечных заРЯдов йь можно написать выРажение 94 2. Постоянное электрическое поле р(х', у', е3 — объемную плотность заряда, получаем для потенциала вместо (14.33) выражение 1 ~ р(х', у', г')дх'ду'Ы (р (х, у, г) 4кео 3 ')('(х — х')з .1- (у — у')з + (з — з')з Эту формулу можно записать иначе, не указывая подробно переменных: (14.34) (1435) где б)г — элемент объема, по которому производится интегрирование.
Такая краткая форма записи часто используется в последующем изложении. (14.36) где г — расстояние между элементом площади дб и точкой, в которой вычисляется потенциал, Интеграл (14.36) распространяется на все поверхности, несущие поверхностные заряды. Бесконечность потенциала поля точечного заряда.
Из (14.31) следует, что при г- О потенциал (р(г ч О)- со. Это связано с тем, что точечный заряд формально имеет бесконечную объемную плотность, поскольку его объем равен нулю. Именно бесконечная обьемная плотность заряда и обусловливает обращение в бесконечность потен- циала Конечность потенциала при непрерывном распределении заряда с конечной плотностью,При непрерывном распределении заряда с конечной плотностью потенциал нигде не обращается в бесконечность. В этом можно убедиться при вычислении потенциала по формуле (14.34), Примем точку (х, у, х) за начало координат (х = у = к=О) и будем вести расчет в сферической системе координат.
Элемент объема в ней выражается формулой дх' ду' с(х' = г'з ьбп О' дО' Йа' дг', где г' = ~ у -~ 7 , т ° ( (~~3(д гр (О, О, О) = ~ р (г', а', 0') г' яп 0' ()О' да' дг'. 1 Г 4яер Следовательно, если р конечно, то и потенциал (р конечен, что н требовалось доказать. Дотепциал поля поверхностных зарядов. Если заряд расположен на поверхности, то распределение характеризуется поверхностной плотностью заряда о.
На элементе площади (15 (это скаляр, а не вектор элемента поверхности) находится заряд о.дб и, следовательно, потенциал в некоторой точке аналогично (14.35) дается формулой 1 14 Потенциаяьпость зяекзроствтпческого поля 95 Пример 14Л, Вычислить ягай 9(г). Имеем: дгз . дф . др — — + ~„— + з, —, дх ду дх ' — =Чз —,г= х +у +х дх дх' асад 9 = 1„ де др дх дг Аналогично вычисляем дкзгьзу, д~р/дг Штрихом обозначена производная дг 2х х Учитывая, что — = .—. = —, получаем дх 2)Г~+ г+ 1 г ' по аргументу г Непрерывность потенциала. Производная от потенциала по декартовой координате дает соответствующую компоненту напряженности электрического поля.
Ясно, что напряженность не может быть бесконечной. Следовательно, производные по координатам от потенциала должны быть конечными. А зто означает„что потенциал является непрерывной функцией. Таким образом, потенциал гр является непрерывной и конечнои функцией с конечными производными по координатам. Эти условия важны при решении дифференциальных уравнений для потенциала, 'пязеорема Ирншоу. Эта теорема утверждает, что не суи)еспыует такой конфигурации неподвижных зарядов, которая была бы устойчивой, если нет других сил, кроме сил кулоновского взаимодействия между зарядаии системы. Доказательство теоремы Ирншоу следует из формулы Гаусса.
Допустим что равновесие устойчиво. Тогда при смещении любого из зарядов системы вз его положения равновесия в любом 'направлении на него должна действовать сила, стремящаяся возвратить заряд в прежнее положение. А зто означает, что напряженность поля, создаваемого вблизи каждого из покоящихся зарядов всеми другими 'зарядами, направлена вдоль радиусов, исходящих из точхи нахождения этого заряда. Поток напряженности этого поля сквозь замкнутую поверхность вокруг заряда отличен от нуля, поскольку напряженность направлена вдоль радиусов в одном направлении (вблизи положительного заряда — к заряду, вблизи отрицательного — от заряда).
По теореме Гаусса поток сквозь замкнутую поверхность создается зарядом, находящимся в ограничиваемом его объеме. Это противоречит исходному предположению о том, что он создается зарядами, находящимися вне объема. Тем самым отвергается допущение об устойчивости конфигурации неподвижных зарядов, и теорема Ирншоу доказана. Устойчивые конфигурации неподвижных зарядов могут существовать лишь тогда, когда кроме сил взаимодействия между ними имеются какие-то посторонние силы, удерживающие заряды в положениях равновесия. Устойчивые состояния движущихся зарядов возможны, как, например, движение двух разноименных зарядов по эллипсам вокруг центра масс (если, конечно, пренебречь излучением).
96 2. Постоянное электрическое поле йгас(цз(г) = — (з„х Ч- (гУ+ з,з) = —. Вяз .. даз г й дг г В частности, при зр(г) = г йгаз(г = г/г, а при зр(г) = 1/г йгаг((1/г) = — г/гз. Пример 14.2. Вычислить циркуляцию вектора т х г по окружноснш Ь радиусом ге, расположенной в плоскости, перпендикулярной постоянному вектору т, как непосредственно, так и с помощью теоремы Стокса. Центр окружности совпадает с началом координат Вектор т х гс направлен в каждой точке по касательной к окружности. Следовательно, ~ т х г й! = ать ( 41 = 2катсз. (14,38) Направление обхода выбрано таким, что векторы т х г и сй в каждой точке коллннеариы. При обратном направлении обхода изменится знак интеграла. С помощью теоремы Стокса залача решается по-другому: у ю х г. 41 = 1 гог (вз х г) з(Б, 3 где Я вЂ” поверкность, ограниченная окружностью В.
при т = сопке гог(ез х г) = =2гв н ) гог(т х г) ВВ = 2) ю дб = 2ю) ВЯ = 2кюгьз, 5 3 з (14.39) что, как н должно быть, совпадает с (14.38). Нетрудно видеть, что поверхность Я может быть любой поверхностью, ограниченной окружностью, а не только плоской. Имеем 1" гог (т х г) ° с(Я = 2 ) вз. 68 = 2т. ) Ж (14,40) зз з, Зз Примем во внимание, что ~ай=о, 5' (14.41) где Я' — замкнутая поверхность, состоящая из поверхности Я, в (14АО) и по- верхности Я круга в (14.39), т. е.
Я' = Я, + Я. Из (14.41) получим ) дй = — акгь (1442) гле п — единичный вектор, перпендикулярный плоскости круга. В (14.42) учтено, что в (14.41) элемент дб направлен по внешней нормали к замкнутой поверх- ности. Подставляя (14.42) в (14.40), получаем формулу, идентичную (14,39), Пример 14.3. У)айти потенциал и напряженность поля, создаваемого в окружающем нространстве равномерно заряженной нитью конечной длины 2Е..
Линейная нлотносгяь заряда нити равна т. Поместим начала декартовой системы координат в середине нити (точка 0) н ось В направим вдоль нити (рис. 41). Вследствие аксиальной симметрии потенциал зависит только от г п координаты з. б 14. Потенциельность электростатического ноля 97 з '!з г,х) 1 ~ тдх' ф Ф О (!444) т ( л — ! сг ( г' + г (14.45) 4 А. Н. Матвеев На рнс. 41 изображена плоскость, проходящая через точку (г, г) и ось Е. Находящийся на элементе длины йз' нити заряд т з(з' создает в точке (г, з) потенциал 1 тдл' бф =— и ть-'тз'' Следовательно, потенциал, создаваемый всей зарюкенной нитью, равен = — — 1и (14.43) уз+а ч'г Компоненть! напряженности электрического поля даются формулами; дф т (' 1 Е,= — — = дг йхсе Я з+( удз 1 )/ з + ( + Е)з )' дф йг дг 4кя )/ ( Е)з с+Е ~; — „..— „) При Е со получаем Е„= О, Е, = т/(2яяег).
Потенциал при Е-» со стремится к бесковечности: ф = — — [(и г — 1п(2Е)1-г со. 2псе Зто является следствием того, что заряд не сосредоточен в конечной области пространства и поэтому применять формулу (!4.43) для вычисления потенциала в случае Е-ь со нельзя. При очень болыцнх расстояниях от центра нити (й = )гг'+ хз ~ Е) из (14,43) находим т2Е 1 а ф = 4ккей 4ясе Д где Д 2тŠ— полный заряд нити, Таким образом, на больших по сравнению с линейными размерами ннтн расстояниях поле близко к кулонов- скому.
41 Линейный заряд конечной длины Использование уравнения Пуассона длп решения задачи не предпелпгает определенной нормировал потенциала н отсутствия зарядов на бесконечности. Потенциал яяляетсп непрерывной н молочной функцией, с конечными проивводиынн по коардннатан. Какие методы определения напряженности поля по заданному распределению зарлдов вы знаегег Че» определяется в «акгдон конкретном случае выбор метода решения задачи> Какими преинущестеани по сравнению с другини методами обладает нахождение напряженности полл путем рещение уравнений Паппаса м Пуассанаг Какини свойствами обладает потенциал, кок рещение соответствующих дифференциальных уравнений! Какие формулировки потенциальности зпектростатического поля вы знаете! В чем преимущество дифференциальной форнулировки? Какие физические обстоятельства обусловливают возможность иорнировки ска лярнога потенциала! Какие норнировки наиболее употребительны и когда они целесообразны! 98 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
