Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Он основан на результате задачи 3.28. Для простоты нозьмем двумерный случай, На рисунке изображены два квадрата с экнипотснциальиыми границами, один внутри другого. Так будет выглядеть поперечное сечение конденсатора, выполненного из двух квадратных металлических ящиков равного размера. Задача состоит в определении значений функции в ряде точек, которые были бы хорошим приближением к действительному значению потенциальной функции ер (х, у) в этих точках.
Для облегчения задачи мы воспользуемся довольно грубой решеткой. Примем проиэаольно потенциал равным 100 на гра- 404 нице внутреннего квадрата и О на границе внешнего. Все точки на этих границах имеют указанные значения потенциалов, В принципе можно начать с любых зна. ченнй на внутренних точках; однако разумный их выбор экономит время.
Ряд начальных значений приведен на рисунке. Может быть, вы подберете более удачные. Очевидно, что симметрия дает преимущества: требуется определить только семь внутренних значений. Теперь вы можете продвигаться по решетке, систематически заменяя значение потенциала в каждой внутренней точке средним из ткаче. ний ее четырех соседей. Остановитесь, если вы устали или если изменения, которые получаются при таком продвижении по решетке, становятся достаточно малыми. а Гдй ( Рй д К ззяаас 5.20 1 Заманктс зкачсазс пото«авала вкутрсввая точки кз — Х (с:мма во»сака«лов в четырех сосся- 4 1 вих точкам): с - ПОО-(-о+и-а-с), Поломвтс о=о', 0=!', с=с' к )=!' к првмвтс слсяуювжс 4 начал»вы» значения: о=.60, ! =ЗО, с=.50, 0=25, е.=!О, )=-20, 0=10.
Хорони! прекратить это продвижение тогда, когда изменение, возникающее от одного перехода, ие превосходит единицы. «Релаксация» в данном случае заключается в изменение распределения значений потенциалов от одного перехода к другому и тесно связана с физическим явлением диффузии. Если вы начнете со слишком большого значения потенциала в одной точке, оно «распространится» на ближайших соседей, оттуда к следующим ближайшим соседям до тех пор, пока разница не будет настолько сглажена, насколько позволяют условия на границе. 3.30. Реизение ураенения Лапласа с сюмощью ЭВМ. После того как вы получили свое решение, вам может быть интересно сравнить сто с решением той же задачи на сетке с вдвое меньшими промежутками, полученным с помощью ЭВМ (см.
рисунок). Машина получила задание остановиться, когда при ново»( переходе величина взмененвя не превышает О,!. Это составило 4! переход по сетке, причем длн полного вычисления потребовалось Осек. Положите на рисунок кусок кальки и начертите одну или две эквипотенциальные кривые, используя простую линейную интерполяцию между точками. Как мо!кно определить нз данных рисунка емкость, приходящуюся на единицу длины конде(каторз такого поперечного сечения» 3.3!. Вопросы дяя обсуждения! физический смысл метода релаксации.
Изменение потенциала в пространстве между двумя заряженнымв цилиндрами в точности эквивалентно другому физическому явлению, а именно способности упругой мембраны принимать ту или иную форму. Г1рсдставьте себе решетку, изображенную на рисунке к задаче 3.29, с точками (включая граничные точки), соединенными резиновыми лентами с одинаковым натяжением. Теперь представьте, что внутренняя 403 ГРаНИЦа ПОДНЯтв ДО ВЫСОТЫ, СООтВЕтСтВУЮЩЕй РаЗНОСтИ ПОтЕНЦИаЛОВ ЦЭз, КаК ПОКаэано на рисунке. В предположении, что все наклоны достаточно малы, так что углы приблизительно равны таигенсам. в равновесии высота каждой узловой точки на рис, а будет равна средней из высот ее четырех соседей. Почему? Если мы имеем сплошной упругий лист, з не сетку, то поверхность подчиняется ургвнению Лапласа, и подъем внутренней чзстн заставляет поверхность принять форму, нзо. браженную иа рис.
б. Это является точным решением ф (я, у) для электростатичесного потенциала между двумя квадратными цилиндрзми и соответствует также ,Г43 '43 373 3,3 337 374 339 33сд 433 ., * 370 4?3 347 334 о 3 333 733 73 Э к залгче 3 ЗО. 40б форме мыльной пленки между двумя квадратными рамками, показанными на рис. в, Демонстрация мыльной пленки или сетки нз резиновых лент иногда помогает предвидеть характер решения задачи на граничные условия в некоторых других разделах физики. Таким образом, мы получили начальные значевня для вычисления релаксации.
Сравнение рис, б и а показывает, почему нельзя ожидать, что решение с помощью решетки даст нам возможность определить все детали. Наприьэер, этим методом трудно обнаружить резкое пзденне потенциала з непосредственной близости от внутреннего угла, где з действительности э.эектрическое поле становится бесконечно большим. С помощью зарнационного прннпипа мы можем убедиться в том, что упругие системы, листы или ленгы принимают положения, соответствующие мвнимуму их упругой энергии.
В случае с листом или мыльной пленкой это означает, что площадь поверхности является минимальной. Форма в данном случае представтяет собой просто поверхность минимальной площади, стянутую заданными границами. Какая величина в электрической системе аналогична полной силе, действующей вниз на внутреннюю рамку, в упругой системе? Подумайте о значении нашего метода релаксации для задач механики.
Представьте себе шесты, располоисенные в каждом из узлов решетки, причем каждый узел сетки скреплен со своим шестом ва какой-то произвольной высоте. Какой процесс мы осуществляем в методе релаксации? 3.32. Пример для приближенного решения уравнения в7апласа с заданными граничньэми условиями вариационным мепюдом. Квадратные трубы задачи 3.2Я представляют собой хороший объект для вариационного метода.
Предположим, что нам надо вычислить емкость на единицу длины такого конленсатора. Эта задача эквивалентна вычислению запасенной энеРгии на единицу длины дли заданной разности потенциалов, следовательно, з О = — Сфз, = — „) ~ ргр Г.Л . 8п „ Задачи заключается в оценке этого интеграла, в который входит действительная (реальная) и неизвестная нам потенциальная функция ф, посредством замены этой функции некоторой пробной функцией ф(х, у). Функция ф должна удовлетворять поставленным граничным условиям, т. е, ее значение должно уменьшаться до гр, ь Иыпьная плинка гг) К заказе З.зк в малом квадрате и до нуля в большом квадрате. В остальном мы можем выбирать ее произвольно.
Надо только выбрать такую функцию, при которой возможно интегрирование и которая качественно ведет себя так, как должно нести себя настоящее решение. В качестве первого шага возьмем простую линейную функцию в каждой из четырех частей, на которые внутреннее пространство разделено диагоналями. Согласно данным на чертеже, где сторона внутреннего квадрата равна 2а, а сторона внешнего квадрата равна 2Ь, возьмем в правой части квадрата Ь вЂ” х ф= чга— 'Ь вЂ” а 407 и т.
д. График функции »Р представляет собой усеченную пирамиду. Теперь, не. смотря на то, что Че»(=0 почти всюду, ф не удовлетворяет уравнению Лапласа. Почему? Вычислите интеграл для (? и таким образом получите оценку емкости. Что будет меньше: реальная емкость или ваша оценка?В каком случае ваша оценка будет ближе к истине — при а(сЬ или при й' (Ь вЂ” а)((Ь? Если необходимо лучшее приближение, можете ли вы предложить батсе удач. ную пробную функцию? К главе 4 4,20. Предположим, чта закон Ома недействителен по причине, рассмотренной в разделе 4.5, Увеличим электрическое поле на 10% . На какую величину возрастет плотность тока? 4.21.
Вклад одиночного иона в электри. ческую проводимость можно выразить величиной, называемой подвижностью иона. По (в=й определению оиа имеет размерность скорости, деленной на величину электрического поля. Подвижность равна средней скорости движения ионов в единичном лоле. В обозначениях, принятых в разделе 4А, подвижность, которую мы будем обозаачать через р, у равна р= — и)Е. Как зависит, по вашему мие- 4» иию, подвижность положительного иона в К задаче З.зз. газе от плотности газа при постоянной тем- пературе? Имеется обширная литература го експериментам с подвижностью ионов. Обычно подвижность измеряется в см)сек на в)см, или смз(в сек.
В очень чистом гелии при давлении в ! атм наблюдаемая подвижность ионов Не+ равна 5,1 смз?в сек, а подвижность отрицательных ионов, т. е. электронов, в тех же условиях равна 500 сме/в сек. Вычислите значеяия т«и т, соответствующие этим цифрам. Если сравнить т со временем «свободного пробегз», то для какой из частиц длина свободного пробега больше — для электрона или для положительного иона? Какая часть проводимости иоиизованного гелия создается положительными ионами? (В большинстве газов свободные электроны быстро захватываются атомами.
В результате образуююя тяжелые отрицательные ионы, которые обладают почти такай же малой подвижностью, как и положительные ионы. В некоюрых газах, к которым принадлежит гелий, отрицательные ионы не образуются. Такие газы являются идеальными для опытов по опредетению истинной подвижности электрона.) 4.22. Ион, движущийся в газе из нейтральных атаман, ведет себя под влиянием электрического поля подобно шару в пинболе *).
Проведите аналогию. В чем различие и сходство? Установите эквивалент закона Ома для модели шара в пииболе. Представьте, что вы должны сконструировать демонстрационную модель для научного музеи. Как должна быть сделана доска для пинбола, чтобы обеспечить наиболее реалистическое двумерное представление ионаой проводимости? Рассмотрите такие вопросы: расположение стержней, их упругость. Как имитировать тепловое движение, как представить положительные и отрицательные ионы? 4.23. Изучение импульса тока, обусловленного прохождением одиночнои заряженной чоспшцы. Основные положения, существенные дяя понимания многих устройспм дяя обнаружения частиц в современной физике (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
