Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 92
Текст из файла (страница 92)
(Следовательно, их можно соединить проводом и перераспределевия заряда не произойдет. Эта задача может служить специальным примером общего закона, с которым мы встречались в гл. 3: заряд на проноднпке распределяется таким образам, чтобы полная потенциальная энергия системы была минимальной.) 2.20. Палые сеайетеа поля задачи 2.1. Поле, рассмотренное в задаче 2.1, имеет компонентыЕ„=О ху, Е =-Зхе — Зуз, Е;=О. Для выяснения его формы запишите потенциал гр, полученный в задаче 2.1, в цилиндрических координатах г, О, где ге=-хе+у', а О=-асс!2 (у/х). Начертите несколько эквипотенцлальных поверхностей и силовых линий этого поля и сравните его с полем рис.
2.2. 2.21. Рассмотрите сферическую область, внутри которой находится точечный заряд д, не совпадающий с центром сферы, Верно ли, что потенциал в центре равен среднему от потенциала поверхности сферы? Не противоречит ли зто утверждению относительно гармонических функций, приведенному в разделе 2.13? 2.22. Решение одной задачи лозеоляет найти приближенное решение другой. Мы нашли, что потенциал в центре диска радиусом а, равномерно заряженного с поверхностной плотностью а, равен 2паа.
Зная это, предпо-. ложим, что мы хотим определить, с точностью до нескольких процентов, потенциал в центре равномерно зарлженного квадрата со стороной Ь. Можно ли зто сделать, не решая задачу потеяциала для квадрата? Найдите пределы возможной ошибки нашего определения, 2.23, Точное решение предыдущей задачи.
Нетрудно вы. чисЛить точное значение потенциала в центре равномерно заряженного квадрата, рассмотренного в задаче 2.22. Хоро. ший способ проведения интегрирования показан на рисунке. Нандите сначала вклад в потенциал в точке С от узкой К задаче з зз. полосни шириной йх, идущей от у= — х до у=х. После этого легко проинтегрировать по х от О до Ь)2 и получить вклад этой четверти квад. рата. В бесконечности потенциал, конечно, принят равным нулю.
О т в е т. фа =- 4аЬ )п (! + У 2), 2.24. Покажем, тю го1 А действительно является вектором. Как доказать, что величина, определенная в уравнении (2.76) как !!ш ' , действительно Г! и.- о аг ? является компонентой вектора? Задачу можно решить следующим образом: вэьв последовательно единичные векторы х, у и и в качестве направлений для п, мы определим для данного вектора Г в некоторой точке пространства три числа. 399 Их можно принять за компоненты вектора. Относясь к этому определению скептически, мы заключаем полученные три компоненты в кавычки, обозначая их «Ак», «Аи» и «А,». Выберем теперь какое-нибудь другое направление для п и определим предел отношения циркуляции к плошади участка, ориентированного ,таким образом. Получим ли мы для этого отношения величину, равную й (х«Ах»+ +у«Ау» + й«А«»)? Если да, то можно отбросить кавычки н заявить, что нами действительно получен вектор.
Подумайте, сможете ли вы доиазать это, рассматривая цнркулицию вокруг каждой из четырех сторон маленького тетраэдра, подобием» изображенному на рве. 2,18. Что можно сказать о сумме четырех цирк)ляцнй? Чему равна сумма векторов площадей? 2.2б. «Нв вгв та золото, что блестит». Мы знаем, что дивергенция векторной функции Р представляет собой скаляр. Предволожнм, что мы хотим опредеш7ть вектор, отличный от ротора, следующим образом: -д?к - дуч - ду* 0 =-х — +у — '+я —. дк ду ' дг Можем мы утверждать, что эта величина является вектором? (Проверьте, как он ведет себя, когда аы поворачиваете систему координат, по отношению к которой берутся компоненты. Для этого достаточно рассмотреть поворот на 90' вокруг оси г.
Тогда соотношения между новыми и старыми координатами будут следуюшимиг х'=у, у'= — х; Рл= рч и т, д.) 2.28. Задача о роторе поля скорости. Расстаяв»7е между прямыми параллелы ными сторонами ирригационного канала равно 26 м. На поверхности воды в канале скорость течения максимальна в середине и уменьшается до нуля к краям. Предположим, что течение таково, что поверхностная скорость приблизительно равна =-,(1-у«гь ), где у — расстояние от центра, а о — скорость, направленная всюду вниз по течению.
(В настоящем канале течение может быть совершенно другим.) Деревянная щепиа, плывущая по воле на расстоянии половины пути между'осью канала и одной из сторон, вращается по мере продвижения вниз по течению. Объясните это. Какая связь между этой задачей и задачей 2.1ба? На какое расстояние течение унесет щепку за время ее поворота на Збб'? К задача 2.27. 2.2?. Частный случай: в» в сферических координатал. Эта задача познакомит вас с оператором Лапласа в сферических координатах для частного случая сферически симметричных функций.
Пусть У будет функцией только г; У= У (г). 400 с!то тогда представляет собоЙ функция б!ч(йгаа У), нлв Ч. (ЧУ) обозначили Ч»уу В разделе 2.3 было показано, что в этом случ , которую мы чае ч равен г ду(дг; сл авательно, мы должны рассмотреть дивергенцию этой векторной функции. Основные этапы вывода ч (ч)Г) ПРНВЕДЕНЫ На РИСУНКЕ. а) у(зучайте этот вывод до тех пор, пока вы его не поймете настолько, чтобы иметь возмо»кность объяснить кому-нибудь другому. Обратите внимание на те места, где опущены члены второго порядка в Чг.
б) Покажите, что Результат манена записать следующем образом: 1 дз ч')г =- — — (г)г (г)) дгз в) Если все, что нам известно о некоторой функции у (г) — зто то ,п,з чз)г (г)=0, то что мы можем сказать о Гй г) Покажите, что потенциал Юкавы У (г)=(1(г) е ы, где )' — величина постоянная, удовлетворяет уравнению у»У — 3<У=-О. 2.28. 1)отенциол Юкавы и силовое поле. Частица притягивается к определенной точке с направленной по Радиусу силой, величина которой зависит только от радиального расстояния г; Г= г! (г).
Покажнш, что в таком поле линейный интеграл по замкнутому пути равен нулю и, значит, РХà — — О. При этом Г можно представить в виде градиента некоторой потенциальной функции У (г). (Это напоминает нам, что вывод электростатического поля из потенциала обусловлен не обратной пропорциональностью поля от элемента заряда квадрату расстояния, а только тем, что поле этого элемента заряда является центральным полем и привцапом суперпозиция.) Потецпиал Юкавы, упомянутый в задаче 2.27, является частным случаем поля, величина которого нс обратно пропорциональна квадрату расстояния.
Этот потенциал имеет большое значение в ядерной физике и физике элементарных частиц. Какое силовое поле соответствует потенциалу Юкавы 1г †-Се ш)г, где С и Х вЂ” константы? При Х-<О мы снова получим хорошо известный потенциал электростатического поля 1)г. Покажите, что при д>0 сила на любом расстоянии для даннога значения С меньше, чем при 3=0. Величина 1<1 имеет размерность длины н часто называется <радиусом действия» силы.
Каким уравнением следует заменить уравнение Пуассона для источников, создающих такие поля? 2.29. Доиазательство того, что электростатическое поле не может удержать заряженную частицу в состоянии устойчивого равновесия, сущсственво зависи~ от природы кулоновской силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Предполагая, что сила, действующая между зарядами, изменяется как г-", попытайтесь создать такое расположение зарядов, которое удержит положительный заряд в састоянви устойчивого равновесия.
Проделайте то же для силы -г-'ь. 2.30. Энергия, запасенная в поле двух равных концентрированных зарядов. Рассмотрите электрическое пале двух протонов, расположенных на расстоянии Ь ел< друг от друга. Согласно уравнению (2.36) (которое мы сформулировали, но не доказали) потенциальная энергия системы должна выражаться уравнением (Г =.— ) Еа г(о= — ~ (Е,+Е»)' <(о=— 1 Г „1 Г 8п,) 8п,) Г ! Г, ! Г = — ~ Ег<(о !- — ~ Е до+ — ~ Е Е <(о, 8п,~ 8п,~ ' 4п,) где Е,— поле одной частицы, а Е,— поле другой. Первый из трех интегралов справа можно назвать «собственной электрической энергией» протона; являясь внутренним свойством частицы, она зависит от размеров и структуры протона.
При подсчете потенциальной энергии системы зарядов мы всегда отбрасываем эту энергию, предполагая, что она остается пастаяннои; это относится и ко второму интегралу. В третий интеграл входит расстояние между аарядами. Выбрав какую-нибудь подходящую систему координат, покажите, не вычисляя интеграла, чта он имеет вид Се»)Ь, где С является численной постоянной, а именно определенным интегралом, содержащим только безразмерные величины. Если уравнение 401 (2.36) справедливо, чему должна быть равна постоянная С? Мы знаем, что оно справедливо в подробно разобранном нами частном случае поверхностного заряда нв сфере.
Подумайте, не сможете ли вы использовать это для доказательства правильности уравнения (2.36), привлекая принцип суперпозиции. Если так, то вы, кроме этого, определите величину вашего определенного интеграла. (Если вам нравится вычислять определенные интегралы, вы можете попытаться вычислить его или свести к одному из табличных определенных интегралов. Это, однако, не легко,) К главе 3 3.18. Общие соображения насчет электростатических сил, а) Покажите, по квадрат разности потенциалов (ф« — ф,)' имеет размерность силы.
Следовательно, порядок величины электростатических снл, действующих между телами, можно оценить по разности потенциалов. Размеры системы войдут только в виде отношений; кроме того, могут появиться некоторые постоянные, например 4п, Каков порядок силы, которую могкно ожидать при разности потенциалов в ! ед. СГСЗ~ между какими-нибудь телами) б) Практически достижимые разности потенциалов ограничены особенностями строения диэлектриков, Самая большая разность потенциалов, близкая к )О' в, получена человеком с помощью электростатического генератора Ван-деГраафа, работающего под высоким давлением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
