Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 93

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 93)

(з'скорителя, дающие частицы с энергией в биллионы электрон-вольт, не имеют такой большой разности потенциалов). Какая величина силы (в кр) соответствует мегавольту в квадрате? Эти соображения помогут вам понять, почему электростатические моторы не нашли широкого применения. 3. (8. Представьте себе плоскости ху, хг н уг, сделанные из металла и спаянные в местах пересечений. Единичный точечный заряд О расположен иа расстоявин й от наждой из плоскостей. Изобразите на чертеже конфигурацию «мнимых зарядов», которая нужна для удовлетворения граничных услоннй.

Каковы направление и величина силы, действу«ошей на заряд Яу 3.20. Цилиндрический конденса«пор. а) Определит емкость конденсатора, состоящего из двух коакснальных цилиндров с радиусами а и Ь и длиной Е. Предположите, что (л» Ь вЂ” а, так что поправками на концах можно пренебречь. Проверьте результат, показав, что если величина промежутка межлу цилиндрами Ь вЂ” а очень мала по сравкенню с радиусом, то ваша формула сводится к формуле для плосьопараллельного конденсатора.

б) Цнии««др с наружным диаметром, равным 5 см, подвешен в вертикальном поюженни к одному концу коромысла весов. Нижняя часть полвешенного цилиндра входит н неподвижный коакснальный цилиндр с внутренним диаметра»с 7,5 см. Вычислите величину силы, которая тянет подвешенный цилиндр вниз, при разности потенциалов между двумя цилнндрамн, равной 5 кв. О т в е т. !7! дин.

3.2!. Возможность скачка потенциала на поверхности проводника. (Действительно, нечто подобное имеет место у поверхности реального проводника; зто и удерживает влек»проны проводимости в л«еталуок)ум леу) В разделе 3.3 мы слегка коснулись вопроса — об абсолютной величине потенциала внутри прово- ~ дящего вещества.

Для наших рассуждений было Ов» Щ~ достаточно того факта, что внутри вещества не м =ш должно быть поля, т. е. что потенциал должен быть постоянным. В действительности на границе между оваднок проводником и вакуумом, нак показано на рисунке, возможен скачок потенциала. Покажите, что такой скачон йф, если его величина одинакова по всей К задаче З.21. границе, не опровергнет нашего утверждения о том, что если внутри проводящей среды нет электрического поля, то и в вакууме непосредственно около границы не может быть тангенциальной составляющей поля Е.

Для доказательства вы можете использовать равенство нулю линейного интеграла от Е по любому замкнутому пути. 402 3.22. Способ исследования сислммы, состоящей из проводящего шара и точечного заряда. Эта задача служит иллюстрацией метода «решения по граничным ус. павиям», который мы объяснили при рассмотрении точечного заряда над пло.

снастью. Действительно, результат, который вы должны получгпь, является веРоятно, наиболее знаменитым достижением этого Метода. а) Рассмотрите два точечных разноименных заряда неодинаковой величины. Предположите, что больший заряд положительный, и поместите его в начале кооРдинат. Другой заряд пол~естите ва оси х в точке х=-Ь. Найдите дае точки на оси х, в которых потенциал «Р равен нулю (кроме точек х=+ со и х.= — о»). Затем рассмотрите сферу с центром на осн х, проходящую через эти две точки. Дока»ките, что во всех точках этой сферической поверхности потенциал равен нулю.

Существу«от ли какие-нибудь другие зквнпотенциальные поверхности, имеющие форму сферы? Какую задачу о точечном заряде и проводящен сфере мы можем теперь решить? б) Мы еше не готовы к решению любой задачи о точечном заряде и проводящей сфере, так хак величина точечного заряда, величина заряда на сфере н отношение радиуса сферы и расстоянию до точечного заряда могут быть песовместииыми с имеющимся полем. Нзпример, как вы определили бы поле точа«~гого заряда д на некотором заданном расстоянии от сферы, полный заряд которой равен нулю? Это можно сделать с помощью дополнительного шага, а именно, воспользовавшись принципом суперпознции. Попытайтесь проделать это для частного случая: точечный заряд!О ед.

СГСЭо расположен на расстоянии 20 см от центра металлического шара радиусом 1О см; шар не заряжен, т. е. его полный заряд равен нулю. Какова величина электрического поля на поверхности шара в точке, наиболее близкой к точечному заряду, и в диаметрально противоположной точке? Если вы получите правильные ответы па эти вопросы и поймете, как вы их получили, то можно считать, что вы достаточно овладели методом, называемым «инверсией в сфере». О т в е т. 1/4 ед. СГСЭп/см; ?П80 ед.

СГСЭьнсм. 3.23. Параллельные круговые Чилиндрыг кмюс двумерных электростатических легки решаемых задач. Типичной двумерной задачей с граничными успениями является задача о двух параллельных круговых проводящих гг»ь»1пьдрах, например о двух металлических трубках бесконечно большой длины и с разными потенциалами. Математически эти двумерные задачи решаются гораздо проще, чем трехмерные. Действительно, ключом к решению всех задач класса «двух трубок» является поле вокруг двух параллельных линейных зарядов с одинаковой по величине и противоположной по знаку линейной плотностью.

Все эквипотенциальные поверхности в таком ноле представляют собой круговые цн. гунненныи гере»» У»елейный заряд линдры) И все силовые линии поля являются схюетнктип-Л сннюннктьюд также кругами. Подумайте, смохгете ли вы доказать это. Самым легким Решением было бы к»»д»«е 3.23. решение с помогаью потенциала, но не следует забывать, что в двумерной сисшмс нельзя считать потенцнат равным нулю в бесконечности. Пусть потенциал будет равен нулю на линии посередине между двумя линейными зарядами, т. е. в начале координат системы, изображенной на чертеже с поперечными сечениями зарядов. Потенциал в любой точке равен сумме потенциалов, вычисленных для каждого линейного заряда в отдельности.

Это обстоятельство быстро приведет вас к открытию, что потенциал просто яропорционален 1п (гь(г») и является, следовательно, постоянным на кривой, начерченной движущейся точкой, для которой отношение расстояний до двух точек является постоявной величиной. Начертите несколько эквипотенцнальных поверхностей. 3.24. Изучение лала квадрулаел. Электрическое поле, изображенное на рис. 2.2, имеет важное практическое применение для фокусировки пучиов заряженных частиц. Оно называется квадрупольным полем. Как выглядит энвипотенциальная поверхность и каково ее уравнение? Опишите, как можно получить хорошее приближение к такому полю, конечно, в ограниченной области, применяя проводники с различными потенциаламн. 3.23. Пример на коэффиниенты емкости.

На рисунке показано поперечное сечение плоеного металлического ящика, в котором расположены пластины 1 и 2, площадью А каждая. Различные расстояния, отделяющие одну пластину от другой и от верхней и нижней граней ящика, обозначенные на рисунке буква»о»о г, в и (, можно считать небольшими по сравнению с шириной и длиной у пластин, так что при определении л зарядов ва пластинах можно впал. не пренебречь краевыми полями. В таком приближении требуется найти коэффициенты емкости Сы, С„и Сгм Вы можете также определить непосредственно коэффициент Сот, для того чтобы убедиться, что он будет ранен С,», согласно общей теореме, рассмотренной н задаче 3.27.

3.23. Каэффиииенты емкости; аби(ие свойства. Можно ли так расположить проводники илн врндать им такую форму, чтобы один или несколько «взаимных» коэффициентов емкости С?н были положительными? Это означало бы, что поло. жительный потенциал на проводнике / при заземлении всех других проводников, включая проводник й, создает чистый положительный заряд на проводнике й, Подумайте, можете ли вы а) собрать соответствующую схему или б) привести доказательство, что это ненозможно.

Возможно ли, чтобы один из коэффициентов «само»-емкости С был отрицательным? 3.27. Докаэаймльстео равенства С„=Сон основанное на сохранении энергии, Ни»не приведены некоторые соображения, которые помогут вам доказать, что коэффициенты С„и С„всегда равны. Известно, что для переноса элемеата заряда йс) из точки с нулевым потенциалом на проводник с потенциалом ф необходимо затратить энергию ор й(ь постанляемую каким-нибудь внешним источником. Рассмотрим систему иэ двух проводников, заряженных до потенциалов фш и ор»« соответственно («к» означает «конечный»). Это условие может быть осуществлено различными способами, если начинать с состояния, в котором все заряды и потенциалы равны нулю. Два иэ этих возможных способов особенно интересны. а) Сохраняйте нулевое значение гр„ увеличивая постепенно ф„ от нуля до фгел затем Увеличивайте ф, от нУлЯ До фок, поДДсРживаа постоЯнным значение й о равное «рг„.

б) Выполните ту же программу, поменяв местами потенциалы, т. с. сначала увеличивайте ф, от нуля до еро« и т. д. Вычислите полную работу, проделанную внешними источниками, для каждого из случаев а) н б), Згтем завершите доказательство. 3.28. Усреднение гпрмонинескай функции по шеста симметрично распплажекным точкам. Пусть гр (х, у, г) представляют собой функцию, которую можно разложить в степенной ряд около точки (х„, уо, го). Напишите разложения в ряд Тэйлора для величины ор в каждой из этих шести то плено (хо -. '— 6, Уо го) (хо в 6 Уо го) (хо Уо+ 6 го) (хо Уо- 6, го), (хо, Уо, г«Ф 6), (хо, Уо, го-б), которые симметрично окружают точку (хо, уо, г,) на расстоянии 6.

Покалгите, что если ~р удовлетворяет уравнению Лапласа, то среднее из этих шести значений равно ч» (хо, у„г,) с точностью до третьего порядка по 6. 3,29. Пример приближеннага решения уравнения Лапласа методом релаксации, Здесь показано, как приближенно решить уравнение Лапласа для данных граничных значений, применяя только арифме»ику. Это — метод релансации, упомянутый н разделе 3.8.

Характеристики

Список файлов книги