Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 91
Текст из файла (страница 91)
1.24. Заряженные копли жидкости. Капля воды радиусом )? несет электрический заряд !,>, распределенный по ее поверхности. Разделим эту каплю на две напли одинакового размера, поровну поделим между ними электрический заряд и разведем их на большое расстояние друг от друга. Увеличится или уменьшится при этом электрическая потенциальная энергия? На скочько? Теперь рассмотрим энергию,связанную с наличием у жидкости поверхности и ответственную за «поверхностное натяжение». Благодаря этому натяжению иапля сохраняет свою сферичесную форму.
Из-за межмолекулярных связей для образования новой поверхности требуется некоторое количество энергии, причем при данной температуре энергия, затрачиваемая на создание единицы плошади поверхности, является постоянной величиной. Для воды она составляет примерно 50 эрг/см».
Предположим, что капля, катару>о мы делим на две, имеет радиус 10 — »слг. Какова должна быть величина заряда капли для того, чтобы изменение электрической энергии возместило расход энергии, идущей на преодоление мсжмолекулярных связей? Чтобы понять, велик ли этот ааряд, найдите величину создаваемого им электрического поля на поверхности капли. (Поле, равное 100 ед.
СГСЭ«>ем„ является сравнительно большой величиной, поддерживать такое поле в воздухе достаточно трудно.) '1.25. Обдумайте и обсудите нашу «трудность точечного заряда», которая может быть выражена следующим образом: идеальный точечный заряд обладает бесконечно большой потенциальной энергией, или «собственной» энергией. Однако мы всегда пренебрегаем ею, когда подсчитываем энергию системы точечных зарядов. Действительно, любую энергию, всегда сохраняющую постоянное значение, можно безболезненно отбросить, но какой физичесний смысл содержится в понятии постоянства бесконечно большого количества энергии? Элементарная частица, размеры которой наиболее близки к размерам точечного заряда, не обладает бесконечно большой энергией. И поскольку она имеет конечные размеры, можно ожидать, что электрические поля, создаваемые другими источниками, имеют некоторое влияние на ее структуру.
Это означает, однако, чтоэлектрическая собственная энергия системы зарядов не является одинаковой в различном окружении. В каких же случаях, по вашему мнению, следует действительно учитывать это обстоятельство? ».'26. Применение принципа суперпоиции. На рисунке изображена сферическая заряженная оболочка радиусом а (с поверхностной плотностью а), из которой вырезан маленький кружок радиусом Ь»Еа. Каковы направление и величина поля в центре отверстия? Получить ответ можно двумя путями. Во.первых, для получения суммы вкладов всех элементов заряда в поле центральной точки можно взять интеграл по оставшемуся распределению зарядов.
Во-вторых, вспомнив принцип суперпозиции, вы можете поставить удаленный кружок, являющийск практически маленьким диском, на место и проверить, какой это даст эффект. Обратите внимание на связь этого результата с вышеприведенным рассмотрением силы, действующей на поверхностный заряд, — может быть, это будет третьим способом получения ответа. 1.27.
Простое применение принципа суперпозиции и соображений симметрии позволит вам уста- "'д" »='-''" » " ф навить следующий любопытный факт, Пусть поверхность полукруглой чаши заряжена с однородной плотностью. Ыы утверждаем, что в каждой точке воображаемой поверхности, которая стянула бы чашу как ножа на барабане, электрическое поле перпендикулярно к этой поверхности.
1.28. Человек, придумывающий задачи, которые можно решить, используя принципы симметрии и суперпозиции, узнает больше, чем человек, решзюший их. Попробуйте придумать такую задачу. 1.29. Сила, дейспюующая на сосшавной заряженный висли Два параллельных заряженных листа с плотностями ол и пл ед. СГСЭч/слз соответственно расположены на расстоянии з друг от друга. Лист А расположен слева от листа В, если смотреть на них сбоку.
Обозначим через Е, электрическое поле слева от листа А, через Е, поле между листами и через Ез поле справа от листа В. Это поле создается не только самими листами, но и другими источниками, которые могут располагаться поблизости. Допустим, по другие источники расположены на достаточно большом расстоянии и создзют однородное поле во всей рассматриваемой области. Теперь предположим, что два листа механически соединены друг с другом таким образом, что мы можем измерять полную силу, действующую на оба листа сразу. Покажите, что эта сила, приходящаяся иа единицу ялощадн каждого листа, дается выражением Е = (ол+ оп) 7Е»+Ез) 2 Это — частный случай неоднородного распределения зарядов в »пластине». 1.30.
Общий вывод выражения для силы, дейсювуюи1ей на заряженный слой. Результат, приведенный в задаче !.29 и в разделе 2.7, можно доказать в общем виде. Пусть распределение заряда в плоской пластине можно описать с помощью объемной плотности заряда р (х) между х=О н х=Ь (толщина пластины).
Тогда полная поверхностная плотность заряда, в данном случае заряженного листа, равна ь и = ~ р (х) дх. о Если Е„ является компонентой электрического поля, перпендикулярной к пластине, то полная сила, действующая на пластину (т. е. х-компонента; другие компоненты нас не интересуют), равна ь Воспояьзовавшись теоремой Гаусса, связывающей р и Е„, покажите, что = — (Ес »вЂ” Е») 8и 397 н что поэтому 1 Р „= — !Е! и+ Е«х) а. В! — поле при х=б, Е,— поле при х=Ь.
1.31. Сигароподобное распределение статических зарядов расположено в начале координат. Ось «сигары> направлена вдоль оси а, полный заряд равен д. Поле в точке Р на оси г вне «сигары» обозначим через Е. Если бы заряд 4 был сосредоточен в начале координат, то поле в точке Р было бы равно Е'. Какое из полей больше, Е или Е'? 1.32. Вы знаете, чта электрическое поле на расстоянии, равном г от источника сферическн симметричного распределения зарядов будет таким же, как если бы все заряды, расположенные внутри сферы радиусом г, были бы сконцентрированы в источнике.
а) Зависит ли этот факт от закона Кулона, в котором сила поля обратно пропорциональна квадрату расстояния, или только от сферической симметрия? Вудет ли это справедливо для силы, обратно пропорциональной кубу расстояния? б) При некотором сферически симметричном распределении полного заряда О он весь расположен на расстоянии, пе большем гз от центра распределения. Предположим, чта сила, денствующая между двумя зарядами, обратно пропорциональна кубу расстояния между ними, а не квад)»ату, как в законе Кулона, Сравните поле Е на расстоянии г (где г)гз) с полем Е, которое было бы на этом расстоянии г, если бы весь заряд 4) был сконцентрирован в истачнвке. Каково соотношение между полями Е и Е'? Каное из них больше? Попытайтесь ответить на вопрос с помощью качественных соображений, а не математическим путем.
1,33. Представим себе мир, в котором существуют три типа зарядов вместо двух, причем одноименные заряды отталкиваются друг от друга, а разноименные заряды притягиваются совершенно симметричным образом. Обозначим типы зарядов А, В и С. Закон обратной пропорциональности силы квадрату расстояния и принцип суперпозиции справедливы так же, как в нашем мире. Предположим, что сила отталкивания между зарядами одного типа ровно в два раза больше силы при. тяжения между зарядами разных типов. Следовательно, равные единичные заряды вида А, разнесенные на 1 см, отталкиваются друг от друга с силой в 1 дин, тогда как единичные заряды А и В притягиваются друг х другу с силой в »/» дины.
Покажите, что это обстоятельство допускает, в общем случае, существование нейтральных тел, т. е. тел, которые содержат заряды, но в целом силы не испытывают и не вызывают сил вблизи заряда любого вида. Каким образом можно обнаружить разницу между этим миром и нашим? Можно ли распростравить представление об электрическом поле на этот мир? 1.34. Эксперимент с полем линейного заряда. В электронном микроскопе пучок электронов большой энергии, первоначально ускоренных разностью потенциалов в )гз ед. СГСЭю проходит мимо тонкого заряжен? йвнмврив ного провода, расположенного под прямым углам элвнмрвни ), к первоначальному направлению пучка.
Этот провод несет отрицательный заряд величиной )» ед. СГСЭ, на ! см длины, Пале провода сравнительно невелико и мало влияет на траекторию электроч "внвйв"Рвлмв"нви нов. ПоэтомУ вы можете опРеделить силУ, дейст. яюсвплввн вующую ва данный электрон, как функцию от К задаче !.34. времени, предполагая в первом приближении, что электрон следует по первоначальной прямой траектории с постоянной скоростью. Используйте затем этот результат для вычисления поперечной компоненты момента количества движения, приобретенного электроном при движении мимо проволоки, и углового отклонения и его действительной траектории от первоначальной.
Вы придете к совершенно замечательному результату, заключающемуся в том, чта угловое отклонение не зависит от того, на каком расстоянии от провода проходит траектория электронов. Таким образом, электрическое поле провода влияет на траекторию электронов подобно слабой призме, отклоняющей световые лучи. Такое устройство применя- лось лля демонстрации электронно-оптической аналогии бипризмы Френеля, знаменитого интерференциоиного опыта классической оптики. (Мойепз(е61 апб )?ййег, Ее!(зс!гг)!1 !Ог Рйуз)й 145, 377 (1956).) К главе 2 2.18. По поверхности полого кругового цилиндра радиусом а и длиной Ь, с открытыми концами, равиомерно распределен полный заряд О.
Чему равна разность потенциалов л~ежду точкой на оси у одного конца и серединой оси? Начсртите несколько силовых линий поля такого цилиндра. 2.19. Описываемая система яаеяелкя более общей, чем з задаче 2.!О. Иллюстрируется еижный общий принцип распределения зарядов. Два металлических шара с радиусами )?г и )?е расположены на большом расстоянии друг от друга по срав. нению с величинами их радиусов. Дано общее количество зарлда О, который мы должны разделить между шарами.
Как это делать, чтобы результирующее распределение зарядов обладало минимальной гютенциальной энергией? Для ответа нычислите сначала потенциальную энергию системы дла произвольного разделения зарлдов, д иа одном шаре и 1) — у на другом. Затем ищите минимум энергии как функцию д. Можно считать, что заряд распределяется равномерно по сфере каждого шара, другой шар яаходятся далеко, его влиянием можно пренебречь. Найдя оптимальное распределение зарядов, покажите, что при таком распределении разность потенциалов между двумя шарами равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
