Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Модуль А векторного потенциала в этой точке равен А =м вгпа гл Ф'из+К з 3 (11) Так как вектор А совпадает с касательной к горизонтальной'окружности вокруг оси г, то его компоненты равны Ар — — А( ~ р"ха+уз / гз ' Л,=О. (12) Рис. 10.5. По определению, вектор магнитного момента и направление тона связаны правилом буравчика с правой резьбой, как показано на рисунке. Рнс.
1О.б. Магнитный диполь расположен в начале координат. В любой точке, далекой от петли, А представляет собой вектор, параллельныб плоскости лу и касателысыд к окружноств с центром на оси г. Вычислим В для точки в плоскости хг, определяя компоненты го1 А и затем (а не прежде!) подставляя у=О; найдем дАе дА г д гпх ' Згпхг В =(ЧХА) — — — —— ду дг дг (хи+у»+г')Ми ге дА „дА „д — ту Зтуг В =(7ХА) — —" — —" —— Р дг дх дг (хи+ус+ге)е1е ге дА„дА„à — 2х'+уе+ге (1 ) В,=(11д(А),= —" — — "=и ~ + д "(.н( е~ е)е!и х' — 2уе+ г' 1 т (Зге — ге) (х'+у'+г')нГе ге В хг плоскости у=О, з(пй=х!» и созО=гl». Компоненты поля в любой точке этой плоскости, следовательно, равны Зт Мп 0 сон 0 х ге В„=О, (14) т (3 со»и 0 — 1) В =- и ги Вернемся к разделу 9.3, где формулами (9.14) были даны компоненты в плоскости хг поля Е электрического диполя р, ориентированного так же, кзк наш магнитный диполып.
Выражения являются одинаковыми. Таким образом, мы нашли, что магнитное поле, создаваемое небольшой петлей с током, имеет в удаленных точках В такую же форму, как электрическое поле, создаваемое двумя раз- 1 деленными зарядами. Нам известен вид поля электрического диполя. 1 ф~ На рнс. 10.7 сделана попытка изоее и* иг Сааг --' ного поля В, создаваемого нашей петлей с током, имеющей дипольный момент ш.
Магнитное поле вблизи петли С ТОКОМ СОВЕРШЕННО НЕ ПОХОжс Рнс. ~а.т. Наката»не силоиме линии полн магнитного диполн, т. е. малой на электрическое поле вблизи па- петли с током. ры разведенных зарядов разного знака, что показано на рнс. 10.8. Заметьте, что между зарядами электрическое поле направлено вниз, в то время как внутри кольца с током магнитное поле направлено вверх, но дальние поля совершенно одинаковы.
Такой вид магнитного поля петли подтверждает, что наше магнитноеполе всюду, даже внутри источника, удовлетворяет уравнению р В=О. Силовые линии магнитного поля не имеют конца. Под «близким» и «далеким» мы понимаем, конечно, расстоя-' ния, измеренные в масштабе размеров петли с током или расстоя- ния между зарядами. Представив себе, что кольцо уменьшилось, а ток увеличился, но дипольный момент т=/а/с остался неизменным, Рис. 10.8. а) электричесное поле пары равных и противоположных по знаку зарядов.
На большом расстоянии от зарядов она совпадает с полем электрического диполя, б) ма~нитное пале кольца с токам. На большом расстоянии от кольца пале совпадает с полем магнитного дипалв. мы приблизимся к понятию магнитного диполя бесконечно малого размера, двойника такого же злектрического диполя, описанного в гл. 9. 10.4. Сила, действующая на диполь во внешнем поле Рассмотрим маленькую круговую петлю с током радиусом г, расположенную в магнитном поле, созданном какими-то другими системами с током, например соленоидом.
На рис. 10.9 изображено поле В, направленное приблизительно вдоль оси г. Это поле неоднородно, оно уменьшается по мере продвижения вдоль оси г, что видно по расхождению силовых линий поля. збо Предположим для простоты, что поле симметрично относительно оси г. Тогда оно напоминает поле вблизи верхнего конца соленоида на рис. 10.1. В поле, изображенное на рис, 10.9, не входит магнитное поле самого кольца с током.Мы хо- тим определить силу, деиствующую на кольцо с током, созданную другим полем, которое мы назовем, ввиду отсутствия лучшего названия, внешним Рис. 10.0с кольцо с током в неоднородном магнитном поле (поле самого польце не показано1. Сялв.
действующая иа кольцо в целом, обусловлена радиальной компонентой поля Вг. па, как следует предполагать в симметрич1 1 но расходящемся поле, то полная сила, направленная вниз, будет равна Е йзЗЕ 2пгг'Вг г=" С (15) В, можно теперь связать непосредственно с градиентом В,. Так как д!ч В=О во всех точках, то полный поток магнитного поля из любого объема равен нулю. Рассмотрим небольшой цилиндр радиусом г и высотой Ье (рис. 10.10). Наружный поток через боковую поверхность равен наружный поток через верхнюю и нижнюю Рис. 10.10.
Уравнение Л 61, связывающее В„и дВь!аз, написано на основании теоремм Гаусса. 2лт(/йе)В„а полный плоскости равен пга [ — В, (е)+ В, (г+ Ье)]. расстояния Ле эта О=при(дВ,/де)Ле+ С точностью до первого порядка малости величина равна пуа(дВ,/де)Ле. Считая полный поток равным нулю: +2пгВ„г)зе, получим соотношение г дВя В = — — — '. г= 2 дл (16) 361 полем. Полная сила, действующая на кольцо с током, обусловленная его собственным полем, равна, конечно, нулю, поэтому в данном случае мы не будем обращать внимания на собственное поле У кольца.
Внимательно рассмотрев рис. !0.9, вы придете к выводу, что на кольцо с током действует какая-то сила. Она возникает вследствие того, что внешнее поле В имеет вокруг всего кольца компоненту В„направленную наружу. Благодаря наличшо этой компоненты поля, при указанном направлении тока; на каждый элемент петли с(1 будет действовать сила величиной !В,д//с, направленная вниз. Если В, имеет одну и ту же величину во всех точках коль- Для проверки знака заметьте, что согласно уравнению (16) В, положительно, когда В, уменьшается в положительном направлении оси г; обращение к рисунку подтверждает это. Силу, действующую на диполь, можно теперь выразить через градиент компоненты В, внешнего поля: 2пг! г диг яг'! двг (17) 2 дг с дг Множитель пг'11с представляет собой модуль магнитного дипольного момента гп нашего кольца с током.
Таким образом, силу, действующую на кольцо, можно очень просто выразить через дипольный момент: Р=т — '. двг дг ' (18) Р„=ш афтаб В„, (19) и аналогично для компонент Рг и Р„ В уравнениях (18) и (19) сила выражается в динах, градиент магнитного поля в гс1см, а магнитный дипольный момент ш дается уравнением (9) т =1а1с, где 1 выражается в ед. СГСЭг1сек, а — в см' и с — в см1сек. Существует несколько равноценных способов получения единиц для т.
Мы примем единицу эрс1ес, следующую из 362 Можно доказать, хотя мы этого н не сделали, что для малых петель любой формы сила зависит только от произведения тока на площадь, т. е. от дипольного момента. Форма петли значения не имеет. Конечно, мы рассматриваем достаточно малые петли, когда только первый порядок изменения внешнего поля на участке петли является существенным.
Магнитный дипольный момент ш нашего кольца на рнс. 10.9 направлен вверх, а сила, действующая на него, направлена вниз. Очевидно, что если бы мы изменили направление тока в кольце, изменив тем самым направление ш,то направление силы также изменилось бы. Отсюда можно сделать следующие выводы. Дипольный момент параллелен внешнему полю: сила действует в направлении увели!ения поля. Дипольный момент антипараллелен внешнему полю: сила действует в направлении уменьшения поля. Однородное внешнее поле: сила равна нулю. Совершенно очевидно, что это не самый общий случай.
Момент может быть направлен под любым углом к полю В и различные компоненты В могут различным образом изменяться в пространстве. Нетрудно, однако, вывести формулу для силы Г в общем случае. Оиа будет совпадать с общей формулой (9.22) для силы, действую. щей на электрический диполь в неоднородном электрическом поле. Таким образом, х-компонента силы, действующей на любой магнитный диполь гп, дается выражением уравнения (18): дин ~ ~дин см ~ [зрг~ Теперь мы начинаем понимать, что происходит в опытах, описанных в начале этой главы.
Вещество, находящееся в положении образца на рис. 10.2, втягивается в соленоид, если оно содержит магнитные диполи, параллельные полю В внутри катушки. Если же диполи вещества направлены в противоположную сторону, т. е. антипараллельны полю, то вещество выталкивается из соленоида. Сила зависит от градиента осевого поля и равна нулю в центре соленоида. Если полная величина дипольного момента образца пропорциональна полю В, то сила будет пропорциональна произведению поля В на дВ/дг, т.
е. пропорциональна квадрату тока в соленоиде. Это и наблюдается в случае диамагнитных и парамагнитных веществ. Может показаться, что ферромагнитные образцы должны были бы иметь магнитные моменты, почти не зависящие от величины поля, но мы отложим этот вопрос до специального обсуждения. Каким образом магнитное поле, наложенное на вещество, создает в нем магнитные дипольные моменты, пропорциональные этому полю? И почему в одних веществах эти дипольные моменты параллельны полю, а в других направлены в противоположную сторону? Если мы сможем ответить на эти вопросы, то мы приблизимся к пониманию физики диамагнетизма и парамагнетизма. 10.5. Электрические токи в атомах Мы знаем, что атом состоит из положительного ядра, окруженного отрицательными электронами.
Для полного описания атома необходимы понятия квантовой физики, которую вы будете изучать в этом курсе позднее. К счастью, простая и наглядная модель атома хорошо объясняет диамагнетизм. Это — планетарная модель с электронами, движущимися по орбитам вокруг ядра, подобная модели атома водорода, созданной Бором в первой квантовой теории. Начнем с электрона, движущегося с постоянной скоростью по круговому пути. Поскольку мы не собираемся здесь объяснять структуру атома, то и не будем вдаваться в причины, по которым электрон движется именно по этой определенной орбите. Спросим только, каких магнитных эффектов можно ожидать, если он движется по такой орбитер На рис. 10.
11 мы видим электрон, изображенный в виде частицы, несущей концентрированный электрический заряд — е, и движущийся со скоростью о по круговому пути с радиусом г. В центре расположено положительно заряженное ядро, делающее систему электрически нейтральной. Благодаря своей сравнительно большой массе ядро движется настолько медленно, что магнитными эффектами, связанными с этим движением, можно пренебречь. 363 В любой момент времени электрон и положительный заряд можно считать электрическим днполем, но в среднем'по времени момент этого днполя равен нулю, так что он не создает постоянного электрического поля на расстоянии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
