И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 9
Текст из файла (страница 9)
5 У (11.15) Это соотношение носит название т е о р е м ы О с т р о г р а де к о г о — Г а у с с а. Интеграл в левой части соотношения вычисляется по произвольной замкнутой поверхности О, интеграл в правой части — по объему У, ограниченному этой поверхностью. Циркуляция. Обратимся снова к течению идеальной несжимаемой жидкости.
Представим себе замкнутую линин> — контур Г. Предположим, что каким-то способом мы заморозим мгновенно жидкость во всем объеме, за исключением очень тонкого замкнутого канала постоянного сечения, включающего в себя контур Г (рис. 11.8). В зависимости от характера поля вектора скорости жидкость в образовавшемся канале окажется либо неподвижной, либо будет двигаться вдоль контура (циркулировать) в одном из двух возможных направлений. В качестве меры этого движения возьмем величину, равную произведению скорости жидкости в канале на длину контура 1. Эту величину назвали ц и р к у л я ц и е й вектора т по контуру Г. Итак, циркуляция ч по Г =В1 (поскольку канал по предположению имеет постоянное сечение, модуль скорости и=сонэ().
ГЛ. Ь ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В НАКУУИЕ В момент затвердевания стенок у каждой из частиц жидкости в канале будет погашена составляющая скорости, перпендикулярная к стенке, и останется лишь составляющая скорости, касательная к контуру, т. е. ЕР С этой составляющей связан импульс с(рп модуль которого для частицы жидкости, заключенной в отрезке канала длины г(1, имеет величину рпо~ г(1 (р — плотность жидкости, а — площадь поперечного сечения канала).
Так как жидкость идеальна, действие стенок и может изменить лишь направление вектора с(рь но не его величину. Взаимодействие между частицами жидкости вызовет такое перераспределение импульса между ними, которое выровняет скорости всех частиц. При этом алгебраическая сумма тангенциальных состанляющих импульсов не может измениться. "импульс, приобретаемый одной из взаимодействующих частиц, равен импульсу, теряемому второй частицей. Это означает, что Рпо( = 'уг Роот гт1. г где о — скорость циркуляции, о, — касательная составляющая скорости жидкости в объеме и г(1 в момент времени, предшествующий затвердеванию стенок канала ').
Сократив на ра, получим, что циркуляция ч по Г=о!=~о,г(1. Аналогично Определяется циркуляция любого вектора а по произвольному замкнутому контуру Г: циркуляция а по Г=фасй =фа,г(1. Может показаться, что для отличия циркуляции от нуля векторные линии должны быть замкнутыми нли хотя бы как-то изогнутыми в направлении обхода по контуру.
Легко убедиться в ошибочности такого предположения. Рассмотрим ламинарное течение жидкости в реке. Скорость жидкости непосредственно у дна равна нулю и возрастает при приближении к поверхности воды (рис. 11.9). Линии тока (линии вектора у) прямолинейны. Несмотря на это, циркуляция вектора у по изображенному пунктиром контуру, очевидно, отлична от нуля. Вместе с тем в поле с изогнутыми линиями циркуляция может оказаться равной нулю.
з) Напомним, что кружок у знака интеграла указывает на то, что интегри- рование ссуществляетсв по замкнутому контуру. $11. ОписАние сВОйстВ ВектОРных полей Циркуляция обладает свойством аддитивности. Это означает, что сумма циркуляций по контурам Г, и Г„ограничивающим смежные поверхности 5, и 5, (рис. 1!.1О), равна циркуляции по контуру Г, ограничивающему поверхность 5, являющуюся суммой поверхностей 5, н 5,. Действительно, циркуляция С, по контуру, г 'л 'Вщ Ф В ги м т и и и си (и Рис.
! 1АЕ т Рис !1 1О фасй = — ~асй+ )Г ас(!. (11.!7) (о3щ.) Первый интеграл бере)си по участку 1 внешнего контура, второй— по общей границе поверхпостсй 5, и 5, в направлении 2 — !. Аналогично, циркуляция С, по контуру, ограничивающему поверхность 5„ равна 1 2 С,=-фас!1 = ~ ас!!+ ) асй. г, г 1 (11. 18) (11) (Оищ.) Первый интеграл берется по участку П внешнего контура, второй— по общей границе поверхностей 5, н 5, в направлении ! — 2. Циркуляция по контуру, ограничивающему суммарную поверхность 5, может быть представлена в виде 2 1 С = ф а с!1 = ) а с(! + ~ а сй.
(11.19) 2 (и) Вторые слагаемые в выражениях (11.17) и (11.18) отличаются только знаком. Поэтому сумма этих выражений оказывается равной выражению (11.19). Таким образом, С=С,+С,. (11.20) ограничивающему поверхность 5„может быть представлена как сумма интегралов: Гл.1. электРиЧескОе ПОле В вакууме Доказанное соотно1пение не зависит от формы поверхностей и справедливо при любом числе слагаемых. Следовательно, если разбить произвольную незамкнутую поверхность 5 на большое число элементарных поверхностей Л5 ') (рис. 11.11), то циркуляция по контуру, ограничивающему 5, может быть представлена как сумма элементарных циркуляций ЛС по контурам, ограничивающим Л5: С=ХЛС, (11.21) Ротор. Аддитивность циркуляции позволяет ввести понятие удельной циркуляции, т.
е. рассматривать отношение циркуляции С к величине поверхности 5, «обтекаемой» цирг куляцией. При конечных размерах поверхности 5 отношение С/5 дает среднее значение удельной циркуляции. Это значение характеризует свойства поля, усредненные по поверхности 5. Чтобы получить характеристи(к ку поля в точке Р, нужно уменьшать размеры поверхности, стягивая ее в точку Р.
При этом отношение С/5 стремится к некоторому преРкс. 11.!!. ДЕЛУ, котоРый характеризует свойства поля в точке Р, Итак, возьмем воображаемый контур Г, лежащий в плоскости, проходящей через точку Р, и рассмотрим выражение 1пп — ', (11.22) з- а ~ где С, — циркуляция вектора а по контуру Г, 5 — плошадь, охватываемая контуром. Вычисленный для произвольно ориентированной плоскости предел (!1.22) не может служить исчерпывающей характеристикой поля в точке Р, поскольку величина этого предела зависит ие только от свойств поля в точке Р, но также и от ориентации контура в пространстве. Эта ориентация может быть задана направлением положительной нормали п к плоскости контура (положительной считается нормаль, связанная с направлением обхода контура при интегрировании правилом правого винта).
Определяя предел (11.22) в одной и той же точке Р для разных направлений и, мы будем получать различные значения, причем для противоположных направлений эти значения отличаются только знаком (изменение направления п на противоположное эквивалентно изменению направления обхода по контуру во время интегрирования, что вызовет лишь изменение знака у циркуляции).
Для какого-то на. т) На рисунке элементарные попер»носта изображены хлв простоты в вале пркмоугалькнков. В лебстввтельнастн нх форма может быть совершенно произ. вольной. $ П. ОПИСАНИЕ СВОЯСТВ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕН Рис. !!.!3 где а„ и а„ вЂ” средние значения а, на участках Я и ! соответствен- но, а„ и а„, — средние значения а„ на участках 4 и 2. правления нормали величина (11.22) в данной точке окажется максимальной.
Таким образом, величина (11.22) ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Максимальное значение величины (11.22) определяет модуль этого вектора, а направление положительной нормали п, при котором достигается максимум, дает направление вектора, Этот вектор называется р о т о р о м (или в и хр е и) вектора а. Обозначается он символом го1 а. Используя это обозначение, можно записать выражение (11.22) в виде (го! а)„= !пп — ' = 1пп — ф а !(!.
(1 1.23) 5 0 5 0 г Наглядное представление о роторе вектора ч можно получить, представив себе небольшую легкую крыльчатку, помещенную а данную точку текущей жидкости (рис. 11.12). В тех местах, где ротор отличен от нуля, крыльчатка будет вращаться, причем с тем большей скоростью, чем больше по величине проекция ро- — ~п Р!'у ) тора на ось крыльчатки. Выражение (1!.23) опреде- з лает вектор го! а.
Это опреде- з ление является самым общим, не зависящим от вида коорди- у атной системы. ля того чтобы найти выражения для проекций вектора го! а на оси декартовой системы координат, нужно определить значения величины (11.23) для таких ориентаций площадки Я, при которых нормаль и к площадке совпадает с одной нз осей х, у, г. Если, например, направить и по оси х, то (11.23) превратится в (го1 а)„. Контур Г расположен в этом случае в плоскости, параллельной координатной плоскости уз. Возьмем этот контур в виде прямоугольника со сторонами Ьу и Лг (рис. 11.13; ось х имеет нз этом рисунке направление на нас; указанное на рисунке направление обхода связано с направлением оси х правилом правого винта).
Участок 1 контура противоположен по направлению оси г. Поэтому а! на этом участке совпадает с — а,. Рассуждая аналогично, найдем, что а, на участках 2, 3 и 4 равна соответственно а„, а, и — а„. Следовательно, циркуляцию можно представить в виде (а,— ам) йз — (а„,— а„,) йу, (11.24) Гл. к электрическое пОле В Влкуума 48 Разность а„— а„представляет собой приращение среднего значения а, на отрезке Ьг при смещении этого отрезка в направлении оси у на Ьу.
Ввиду малости Ьу и Ьг это приращение можно представить в виде (да,lду) Ьу, где значение да„'ду берется в точке Р '). Аналогично разность а„х — ах, можно представить в виде (дах!дг) Ьг. Подставив эти выракженйя в (11.24) и вынеся общий множитель за скобки, получим для циркуляции выражение где ЬЯ вЂ” площадь контура. Разделив циркуляцию на ЬЯ, найдем выражение для проекции го1 а на ось х: (го1 а) „= — — —" ° (11.25) Путем аналогичных рассуждений можно найти, что (11.
26) дах да„ (го!а) = —" — —. дх ду ' Легко убедиться в том, что любое из выражений (1!.25) — (! 1.27) может быть получено из предыдущего (для (1!.25) предыдущим следуст считать (11.27)) путем так называемой циклической перестииоики координат, т. е. замены координат, осуществляемой по схеме Итак, ротор вектора а определяется в декартовой системе координат следующим выражением: /дох доул lдах дохл гдох дах'Л го!а=е !л — — — х!+е ( —" — — ')+е !л —" — —.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
