И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(11.25) х Л ду дх ) х (, дг дх ) х 'Л дх ду ) Ниже мы укажем более изящный способ записи этого вь.ражеппя. Теорема Стокса. Зная ротор вектора а в каждой точке некоторой (ие обязательно плоской) поверхности Я, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру Г, ограничивающему 5 (контур также может быть неплоским). Для этого разобьем поверхность иа очень малые элементы Ь5. Ввиду их малости зти элементы можно считать плоскими. Поэтому в соответствии с (1!.23) цирк)ляция вектора а по контуру, огранпчивающел|у ЬЯ, может быть х) Неточиость, которую мы при етом лолускаем, исчезает при стягииеиии коитура к точке Р, осуилестихяемом при переходе и пределу.
1~к опискине своиств вектояных полы представлена в виде ЛС=(го1 а), М=го1 а ЛЯ, (11.29) где и — положительная нормаль к элементу поверхности ЛЯ. В соответствии с формулой (11.21), просуммировав выражение (11.29) по всем Л5, получим циркуляцию вектора а по контуру Г, ограничивающему 5: С='У',ЛСж ч',го1 а ЛЯ. Осуществив предельный переход, при котором все ЛЯ стремятся к нулю (число их при этом неограниченно растет), придем к формуле ф а д1 = ~ го1 а Ж (11.30) г Соотношение (11.30) носит название т е о р е м ы С т о к с а, Смысл ее состоит в том, что циркуляция вектора а по произвольному контуру Г равна потоку вектора го1 а через произвольную поверхность Я, ограниченную данным контуром.
Оператор набла. Написание формул векторного анализа значительно упрощается и облегчается, если ввести векторньш дифференциальный оператор, обозначаемый символом 7 (иабла) н носящий название оператора набла или оператора Г а м и л ь т о н а. Под этим оператором подразумевается вектор с компонентами д/дх, д/ду и д/дг. Следовательно, 7=е, и+е„— +е,з,, а д а (11.31) Сам по себе этот вектор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую ои символически умножается. Так, если умножить вектор 7 иа скаляр <р, то получится вектор 7т=е д +е„д +е— (11.32) который представляет собой градиент функции 7 (см.
(11.1)). Если вектор 7 умножить скалярно на вектор а, получится скаляр да д"в 7а= 7„а„.+7 а +7,а,= — "+ — + —, (11 33) который есть не что иное, как дивергенция вектора а (см. (11.14)). Наконец, если умножить 7 иа а векторно, получится вектор с компонентами: (7а1„=7„а,— 7„ав — — да,/ду — да„/дг и т. д., которые совпадают с компонентами го1 а (см. (11.25) — (11.27)).
Следовательно, воспользовавшись записью векторного произведения Гл. е электРическОе поле В ЭАкуУме 50 с помощью определителя, можно иаписать «„е» «, д д д дх д« дг «Х «« «» го! а = [Ча] = (11.34) (Ь вЂ” оператор Лапласа); го! Кгай Ф = [Ч, ЧФ] = [77] Ф = О (11.38) (напомним, что векторное произведение вектора па самого себя равно нулю). Применим операции дивергенции и ротора к функции го! а; й!Его!а=Ч[Ча]=0 (11.39) (смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, Таким образом, существует два способа обозначений градиента, дивергенции и ротора: 7Ф вЂ” = огай Ф, Ча = й!ч а, [Ча] =го!а. Обозначения с помощью Ч обладают рядом преимуществ.
Поэтому мы в дальнейшем будем применять такиеобозначеиия. Следует приучить себя отождествлять символ ЧФ со словами «градиент фи» (т. е. говорить ие «иабла фи», а «градиент фи»), символ Ча — со словами «дивергеиция а» и, наконец, символ (Ча) — со словами «ротор а».
Пользуясь вектором Ч, нужно помнить, что ои является дифференциальным оператором, действующим иа все функции, стоящие справа от него. Поэтому при преобразовании выражений, в которые входит 7, нужно учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференциального исчисления. Например, производная произведения функций 1р и ф равна (ФФ) =Ф ф+Фф ° В соответствии с этим огай (ФФ) = 7 (ФФ) = ФЧФ+ФЧФ = Фйтай 1р+1р пгай»р. (!1.35) Аналогично й!У (1Ра) = 7 (1Ра) = а 71Р+ Ф 7 а = а Ягай 1Р+ 1Р й!ч а. (11.36) Градиент некоторой функции 1р представляет собой векторную функцию. Поэтому к нему могут быть применены операции дивергеиции и ротора: й(У ягай «р = 7 (Ч Ф) = (7 7) 1р = (Ч„'+ Ч„'+ Ч,') 1р = а'р а р мр а «+д»+а, — Ф (11.31) а ~а.
циокэляция н еотог электвостатического поля 512. Циркуляция н ротор электростатического поля В $ 6 мы выяснили, что силы, действующие на заряд д в электростатическом поле, являются консервативными. Следовательно, работа этих сил на любом замкнутом пути Г равна нулю: А = ~ дЕ г1! =- О. Сократив на д, получим соотношение ф Е а(! = 0 (12.1) (ср. с (8.7)). Интеграл, стоящий в левой части формулы (12.1), представляет собой циркуляцию вектора Е по контуру Г (см.
(11.16)). Таким образом, характерным для электростатического поля является то обстоятельство, что циркуляция вектора напряженности этого поля по любому замкнутому контуру равна нулю. Возьмем произвольную поверхность Я, опирающуюся иа контур Г, для которого вычисляется циркуляция (рис. 12.1).
Согласно теореме Стокса (см. (11.42)) интеграл от ротора Е, взятый по этой поверхности, равен циркуляции вектора Е по контуру Г: ~ [ т Е) Ю = ф Е а(!. Б в (12.2) а] См. 42 тома 1, построенного на перемножаемых векторах '); если два из этих торов совпадают, объем параллелепипеда равен нулю); го(го(а= — [д, [уа11 =- у (уа) — 5у) а =пгадт[!ча — Ла (!!.40) (мы воспользовались формулой [а[ЬсИ= Ь(ас) — с(аЬ)). Соотношение (11.39) означает, что поле ротора не имеет источников. Следовательно, линии вектора [17а! не имеют ни начала, ни конца. Именно по этой причине поток ротора через любую поверх.
ность 5, опирающуюся на данный контур Г, оказывается одним и тем же (см. формулу (11.30)). В заключение отметим, что с использованием оператора у формулам (11.15) и (! 1.30) можно придать вид фа Ж= ~ 7а т((т (теорема Остроградского — Гаусса), (!1.41) э У фа т(1 = ~ !уа1 33 (теорема Стокса). (11. 42) ГЛ.!.
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ Поскольку циркуляция равна нулю, мы приходим к выводу, что ~ [7Е1Ж = О. Полученное условие должно выполняться для любой поверхности Я, опирающейся на произвольный контур Г. Это возможно лишь в том случае, если ротор вектора Е в каждой точке поля равен нулю: [7Е1= О. (!2.3) По аналогии с крыльчаткой, изображенной на рис. ! 1.12, предс>авим себе электрическую «крыльчатку» в виде легкой втулки со спицами, на концах которых помещаются одинаковые по величине положи !ельные заряды 3) (рис.
12.2; Все устройство должно быть малых размеров). В тех местах электрического поля, где ротор Е отличен от нуля, такая крыльчатка вращалась бы с тем ббльшнм 1 1 1 3 1 1 ~1 1 1 К Рис. !2.2. Рис. !2.4. Рис. !2.3. ускорением, чем больше п роекция ротора на ось крыльчаткн. В случае электростатического поля такое воображаемое устройство не пришло бы во вращсвпе при любой ориентации его оси. Итак, отличительной особенностью электростатического поля является то, что оцо безвихревое.
В предыдущем параграфе мы выяснили, что ротор градиента скалярной функции равен нулю (см. формулу (11.38)). Поэтому равенство нулю ротора Е в каждой точке поля делает возможным представление Е в виде градиента скалярной функции ч3, называемой потенциалом.
Такое представление уже было рассмотрено в 2 8 (см. формулу (8.2); знак минус в этой формуле взят из физических соображений). Из необходимости соблюдения условия (12.1) можно сразу заключить, что существование электростатического поля вида, показанного на рис. 12.3, невозможно. Действительно, для такого поля циркуляция по контуру, изображенному пунктиром, была бы отлична от нуля, что противоречит условию (12.1). Точно так же невозможно, чтобы поле, отличное от нуля в ограниченном объеме, было во всем этом объеме однородным (рис.!2.4). В этом случае циркуляция по контуру, показанному пунктиром, была бы отлична от нуля.
гл. ь элвктеическов поле в вхкэгме туры этих зарядов и считают их распределенными в пространстве непрерывным образом с конечной всюду плотностью. О б ъ е м н з я ил от но с т ь з а р яда р определяется по аналогии с плотностью массы как отношение заряда Нд к физически бесконечно малому объему Ю, в котором заключен этот заряд: (1 3.3) В данном случае под физически бесконечно малым объемом нужно понимать такой объем, который с одной стороны, достаточно мал для того, чтобы плотность в пределах его можно было считать одинаковой, а с другой стороны, достаточно велик для того, чтобы не могла проявиться дискретность заряда.
Зная плотность заряда в каждой точке пространства, можно найти суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности 3. Для этого нужно вычислить интеграл от р по объему, ограниченному поверхностью: Ч~= ~ Р "г ° Таким образом, формуле (13.2) можно придать вид Ф =е (13.4) 3 Заменив в соответствии с (11.41) поверхностный интеграл объемным, получим рЕ г('г'= — ') ргйг. Соотношение, к которому мы пришли, должно выполняться для любого произвольно выбранного объема У. Зто возможно лишь в том случае, если значения подынтегральных функций в каждой точке пространства одинаковы.
Следовательно, дивергенция вектора Е связана с плотностью заряда в той же точке равенством рЕ = — р. (13.5) Это равенство выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме. В случае текущей жидкости пч дает удельную мощность источников жидкости в данной точке. По аналогии говорят, что заряды являются источниками электрического поля. й 14. Вычисление полей с помощью теоремы Гаусса Теорема Гаусса позволяет в ряде случаев найти напряженность поля гораздо более простыми средствами, чем с использованием формулы (5.3) для напряженности поля точечного заряда и прин- з ы, вычисления полей с помощью тковвмы гххссх зз Здесь е(д — заряд, заключенный в слое площади е(5. Под е15 подразумевается физически бесконечно малый участок поверхности. Если заряд распределен по объему илн поверхности цилиндрического тела (равномерио в каждом сечении), используется л инейная плотность заряда 1=в Ыд ке (14.2) (Л вЂ” длина физически бесконечно малого отрезка цилиндра, А~ — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
