И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 6
Текст из файла (страница 6)
поверхности при приближении к заряду становятся гуще. Для однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему равноотстоящих друг от друга плоскостей, перпендикулярных к направлению поля. 99. Диполь Электрическим диполем называется система двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов + т и --д, расстояние ! между которыми значительно меньше расстояния до тех точек, в которых определяется поле системы.
Прямая, проходящая через оба заряда, называется о с ь ю д и п о л я. Вычислим сначала потеицяал, а затем напряженность поля днполя. Это поле обладает осевой симметрией. Поэтому картина поля в любой плоскости, проходящей через ось диполя, будет одной и той же, причем вектор В лежит в этой плоскости. Положение точки относительно диполя будем характеризовать с помощью радиуса-вектора г либо с помощью полярных координат г и 6 (рис. 9.!). Введем вектор ), проведенный от отрицательного заряда к положительному.
Положение заряда +д относительно центра диполя Определяется вектором а, заряда — 9 — вектором — а, Очевидно, что ! — 2а. Расстояния до данной точки от зарядов -сд н — д обозначим соответственно через гэ и г . Ввиду малости а по сравнению с г можно зе. диполь положить приближенно, что г+ — — г — псовая=г — ае„ (9,1) г = г + а соз 6 = г + ае,. гд р=Ф (9.3) — характеристика диполя, называемая его з л е к т р и ч е с к и и м о и е н т о м. Вектор р направлен по оси диполя от отрицательного заряда к положительному (рис.
9.2). Из формулы (9.2) вытекает„что поле диполя определяется егоэлектрическим моментом р. Ниже мы увидим, что и поведение диполя во внешнем электрическом поле также определяется его электрическим моментом р. Сравнение с выражением (6,7) показывает, что потенциал поля диполя убывает с расстоянием быстрее (как 17г*), чем 3 Б -а +а Рис. 9.1. Рис. 94Ь потенциал поля точечного заряда (который изменяется по закону 1/г). Из рис. 9.1 видно, что ре„=р сои д. Поэтому выражение (9.2) можно написать следующим образом: 4пее г' 1 рсоеб (9.4) Потенциал в точке, определяемой радиусом-вектором г, равен ф (г)— 1 (4 4'1 1 4(г- — г+) 4ае, ~с+ е / 4лее г+г Произведение г+г можно заменить через г1.
Разность и — г~ согласно формулам (9.1) равна 2ае„=(е,. Следовательно, 1 41е 1 ре„ (9.2) ГЛ. 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ Вторую проекцию (обозначим ее Ба) получим, взяв отношение приращения потенциала ф, получающегося при возрастании угла б на Ю, к расстоянию г е(8, на которое перемещается при этом конец отрезка г (в этом случае фигурирующее в формуле (8.5) е(1 равно ге(8). Таким образом, дф 1 дф Ее = — — = — — —,.
гдд г дд' Подставив значение производной от функции (9.4) по 6, получим: 4з (9.6) Сумма квадратов выражений (9.5) и (9.б) дает квадрат вектора Е (см. рис. 9.1): Е = Е, + Ев = — — (4 созе б+ з1на 0) = ~ 4ле 7 ~ га У ( — ) ( —,) (1+Зсоз 8). Отсюда е - — ' г гт4.3 бра. 4леа (9.7) Положив в (9.7) 8=0, получим напряженность на оси диполя: 1 2Р Еа = — — . = 4леа га ' (9.8) Вектор Еа направлен по оси диполя, Это согласуется с осевой симметрией задачи. Из формулы (9.5) следует, что Е,)0 при 8=-0 и Е,(0 пРи Ь=п. Это означает, что в любом слУчае вектоР Ег Имеет направление, совпадающее с направлением от — д к +д (т. е. с направлением р). Поэтому формулу (9.8) можно написать в векторном виде: 1 2р Еа = — — .
4аеа га (9.9) Чтобы найти напряженность поля диполя, вычислим по формуле (8.5) проекции вектора Е на два взаимно перпендикулярных направления. Одно из них определяется движением точки, вызванным изменением расстояния г (при фиксированном 8), второе— гвижением точки, обусловленным изменением угла 8 (при фиксированном г; см. рис. 9.1). Первая проекция получается путем дифференцирования выражения (9.4) по г: Е = — — = — —. дф ! 2Реае О (9.5) дг 4леа $9.
ДИПОЛЬ Положив в (9.7) б=п/2, получим напряженность на прямой, проходящей через центр диполя и перпендикулярной к его оси: Ег = — —, р (9.10) 4ли„ги ' Согласно формуле (9.5) при б=-и/2 проекция Е„равна нулю. Следовательно, вектор Еи параллелен оси диполя. Из формулы (9.6! следует, что при б=-и/2 проекция Ев положительна. Это означает, что вектор Еа направлен в сторону возрастания угла б„ т. е, анти- параллельно вектору р. Характерным для напряженности поля диполя является то обстоятельство, что она убывает с расстоянием от диполя как 1/и', т. е.
быстрее, чем напряженность поля точечного заряда (убывающая как 1/г'). На рис. 9.3 показаны линии Е поля диполя. Согласно формуле (9.4) при б=п/2 потенциал обращается в нуль для всех г. Таким образом, все точки плоскости, перпендикулярной к оси диполя и проходящей через его середину, имеют нулевой потенциал. Это Рис. 9.3. Рис. 9.4. можно было предвидеть заранее, поскольку расстояния от зарядов +9 и — д до любой гочки этой плоскости одинаковы. Теперь рассмотрим поведение диполя во внешнем электрическом поле.
Если диполь поместить в однородное электрическое поле, образующие диполь заряды +и и — д окажутся под действием равных по величине, но противоположных по направлению сил Г, и Е, (рис. 9.4). Эти силы образуют пару, плечо которой равно / гйп а, т. е. зависит от ориентации диполя относительно поля. Модуль каждой из сил равен дЕ. Умножив его на плечо, получим величину момента пары сил, действующих на диполь: л/=с/Е! 91п а=рЕ з!п а (9.11) ГЛ. Ь ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛа В ВЛКРРМЕ %' =(яр.— )л-=ч(ф.— р-). (9,13) Здесь !р+ и гр — значения потенциала внешнего поля в тех точках, где помещаются заряды +д и — !1. Потенциал однородного поля убывает линейно в направлении вектора Е. Приняв это направление за ось х (рис.
9.5), можко 1 1 Л ! ! лсвз!я Рис. 9.5. Рис. 9.б. написать, что Е-=Е„= — сЬРЯх. Из рис. 9.5 видно, что разность <!ч — !р равна приращению потенциала на отрезке тзх=1 соз ос тдв гр+ — тр =т-1соза= — Е!сова. ол Подставив это значение в формулу (9.13), получим, что 'итр —— — г(Е1 соз ос= — рЕ соз а. (9.14) В этой формуле а есть угол между векторами р и Е, поэтому ее можно написать в виде 1ттр —— — рЕ.
(9.15) Заметим, что это выражение не учитывает энергию взаимодействия зарядов +д и — д, образующих диполь. Мы получили формулу (9.!5), считая для простоты поле однородным. Однако эта формула справедлива и для неоднородного поля. Рассмотрим диполь, находящийся в неоднородном поле, обладающем симметрией относительно оси х '). Пусть центр дпполя т) Чзстомы случаем такого поля является поле точечного заряда, если в кз.
честве оси к взять прямую, проходящую через ззряд. (р — электрический момент диполя). Легко сообразить, что формула (9.11) может быть написана в векторном виде: й(=(рВ). (9. 12) Момент снл (9.12) стремится повернуть диполь так, чтобы его электрический момент р установился по направлению поля. Найдем потенциальную энергию, которой обладает диполь во внешнем электрическом поле. Согласно формуле (6.9) эта энергия равна зз.
диполь лежит на этой оси, причем электрический момент диполя образует с осью угол а, отлйчный от и/2 (рис. 9.6). В этом случае силы, действующие на заряды диполя, не одинаковы по величине. Поэтому, кроме вращательного момента, на диполь будет действовать сила, стремящаяся переместить его в направлении оси х.Чтобы получить значение этой силы, воспользуемся формулой (8.1), согласно ко- торой Р„= — дйур/дх, Р„= — дМГр/дУ, Р,= — друр/дг. В соответствии с (9.14) %'р (х, у, г) = — РЕ (х, у, г) соз а (ориентацию диполя относительно вектора Е считаем неизменной: а=сонэ().
Для точек оси х производные Е по у и г равны нулю, Соответственно д%'р/ду=дйгр/дг=О. Таким образом, отлична от нуля лишь компойента силы Р„. Она равна дФ'р дЕ Р = — — Р= Ра — созга. (9.16) дх дк Этот результат можно получить, приняв во внимание, что напряженность поля в точках, где помещаются заряды +д и — д (см.
рис. 9.6), отличается на величину (дЕ/дх)1соз а. Соответственно раз- уд ность сил, действующих на заряды, равна г/(дЕ/дх) /соз а, что совпадает с (9.!6). При а с.п/2 определяемая фор- Г мулой (9.16) величина Р„положи! тельна. Это означает, что под дейд станем силы диполь втягивается в область более сильного поля (см. рис. 9.6). При а)п/2 диполь выталкивается из поля. В случае, изображенном на рис. 9.7, для точек на осп у отлична от нуля лишь проязводная дЕ/ду. Поэтому сила, действующая на диполь, определяется компонентой а игр ан Р„= — — Р= р — (сова=1). Производная дЕ/ду отрипательна. Следовательно, сила имеет направление, показанное на рисунке.
Таким образом, и в этом случае диполь втягивается в поле. Отметим, что подобно тому, как — дйГр/дх дает проекцию на ось х силы, действующей на систему, пройзводная от выражения Ряс. 9.7 3 и. в. савельев, и 3 ГЛ. !. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 34 (9.14) по а, взятая с обратным знаком, дает проекцию вращательного момента на «ось» ве И„= — рЕЕ(п«».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
