И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 4
Текст из файла (страница 4)
5.1), мы обнаружим, что на пробный заряд действует сила (5.1) (см. (2.2) и (4.1)). Здесь е„— орт радиуса-вектора г. Из формулы (5.1) следует, что сила, действующая на пробный заряд, зависит не только От величин, определяющих поле (от д и г), но и от величины пробного заряда д„р. Если брать разные по величине пробные заряды д'„р, д,"„и т. д., то и силы Г', Г",..., которые они испытывают в данной точке поля, будут различными.
Однако из (5.1) видно, что отношение Г/«7„» для всех пробных зарядов будет одним и тем же и зависит лишь от величин д и г, определя!Ощих поле в данной точке. Поэтому естественно принять это отношение в качестве величины, характеризующей электрическое поле: Г Е= —.
Чп» * Эту векторную величину называют н а и р я ж е н н о с т ь ю э л ек т р и ч е с к о г о и о л я в данной точке (т. е. в той точке, в которой пробный заряд дпр испытывает действие силы Г]. ГЛ. !. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ В соответствии с формулой (5.2) напряженность электрического поля численно равна силе, действующей па единичный точечный заряд, находящийся в данной точке поля. Направление вектора Е совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд.
Отметим, что формула (5.2) остается справедливой и в том случае, когда в качестве пробного взят отрицательный заряд (д„з(0). В этом случае векторы Е и Г имеют противоположные направления. К понятию о напряженности электрического поля мы пришли, исследуя поле неподвижного точечного заряда. Однако определение (5.2) распространяется и на случай поля, создаваемого лзобой совокупностью неподвижных зарядов. В этом случае, впрочем, необходимо следующее уточнение. Может случиться, что расположение зарядов, обусловливающих исследуемое поле, изменяется под воздействием пробного заряда. Это произойдет, например, когда заряды, создающие поле, расположены на проводнике и могут свободно перемещаться в его пределах.
Поэтому, чтобы не внести заметных изменений в исследуемое поле, величину пробного заряда нужно брать достаточно малой. Из формул (5.2) и (5.1) следует, что напряженность поля точечного заряда пропорциональна величине заряда г) и обратно пропорциональна квадрату расстояния г от заряда до данной точки поля: Е= — —,е,. ! д (5.3) 4яеа Направлен вектор Е вдоль радиальной прямой, проходящей через заряд н данную точку поля, от заряда, если ои положителен, и к заряду, если он отрицателен. В гауссоноя системе формула для иапряжевности поля таяечиого заряда в вакууме имеет вид Е = — е,.
г' (и 4) За единицу напряженности электрического поля принимается напряженность в такой точке, в которой на заряд, равный единице (1 Кл в СИ, 1 СГСЭ-единице заряда в гауссовой системе), действует сила, величина которой также равна единице (1 Н в СИ, 1 дин в гауссовой системе). В гауссовой системе эта единица специального названия не имеет. В СИ единица напряженности электрического поля имеет название вольт на метр и обозначается В/и (см. формулу (8.5)). В соответствии с (о.з) заряд в ! Кл создает в вакууме иа расстаяиии ! и иапряжеииасть ! ! 4л(!)(4л,о, Юа)1 !а — — 9.10' В~м. $5.
электРическОе поле. ИдпРяженность пОля 19 Та же напряженность в гауссовой системе рзвна Е 310з Е= — = — „=3 1О'СГСЭ.ед, гз 1Ооа Сопоставляя оба результата, находим, что 1 СГСЭ.ед. напряженности поля=3 104 В/м, Согласно (5.2) сила, действующая на пробный заряд, равна Г =аааЕ.
Очевидно, что на всякий точечный заряд д ') н точне поля с напря- женностью Е будет действовать сила Г =- вЕ. (5.5) Если заряд а положителен, направление силы совпадает с направлением всктора Е. В случае отрицательного в направления векторов Г и Е противоположны. В 3 2 было указано, что сила, с которой система зарядов действует на некоторый не входящни в систему заряд, равна векторной сумме сил, с которыми действует на данный заряд каждый нз зарядов системы в отдельности (см. формулу (2.4)). Отсюда вытекает, что напряженность поля системы зарядов равна векторной сулаие напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности: Е = ~~)' Е1.
(5.7) Последнее утверждение носит название п р и н ц и п а с у п е рпозиции (наложення) электрических полей. Прилщнп суперпозиции позволяет вычислить напряженность поля любой системы зарядов. Разбив протяженные заряды на достаточно малые доли да, любую систему зарядов можно свести к совокупности точечных зарядов. Вклад каждого из таких зарядов в результирующее поле вычисляется по формуле (5.3). Электрическое поле можно описать, указав дня каждой точки величину и направление вектора Е. Совокупность этих векторов образует поле вектора напряженности электрического полн (ср.
с полем вектора скорости, т. ), 2 72). Поле вектора скорости можно представить очень наглядно с помощью линий тока. Аналогично электрическое поле можно описать с помощью линий напряженности, которые мы будем называть сокращенно линиями Е (их называют также силовыми линиями). Линии напряженности проводят таким образом, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора Е.
Густота линий выбирается так, чтобы ') В формуле (3.3) о означает заряд, обусловливающий поле. В формуле(3 6) через о обозначен заряд, испытывающий в точке с напряженностью Е действие силы р. ГЛ. Е ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 2а количество линий, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной к линиям площадки, было равно числовому значению вектора Е. Тогда по картине линий напряженности можно судить о направлении и величине вектора Е в разных точках пространства (рис. 5.2). Линии Е поля точечного заряда представляют собой совокупность радиальных прямых, направленных от заряда, если он по- ложителен, и к заряду, если он отри- Е е цателен (рис.
6.3). Линии одним концом опираются на заряд, другим уходят в бесконечность. В самом деле, полное число линий, пересекающих сферическую Р ' "Р " Р Д"У" будет равно произведению густоты линий на поверхность сферы 4лг'. Густота Рис. В.2. линий по условию численно равна Е = =(1/4пе,) (4/г'). Следовательно, количество линий численно равно (1/4ле,). (д/г') 4лгЗ= — д/е,.
Полученный результат означает, что число линий на любом расстоянии от заряда будет одним и тем м<е. Отсюда и вытекает, что линии нигде, кроме заряда, не начинаются и не заканчиваются; они, начавшись па заряде, Рис. 6.3. уходят в бесконечность (заряд положителен), либо, приходя из бесконечности, заканчиваются на заряде (заряд отрицателен).
Это свойство линий Е является общим для всех электростатических полей, т. е. полей, создаваемых любой системой неподвижных зарядов: линии напряженности могут начинаться или заканчиваться лишь на зарядах либо уходить в бесконечность. й 6. Потенциал Рассмотрим поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом д. В любой точке этого поля на точечный заряд д' действует сила Е =4— —, Е„=Р(г) е,. ! дд' (б.1) 4лии ги зе. потенциил Здесь Р(г) — модуль силы Г, е,— орт радиуса-вектора г, определяющего положение заряда о' относительно заряда д. Сила (6.1) является центральной (см. т. 1, $ 2!].
Центральное поле сил консервативно. Следовательно, работа, которая совершается силами поля иад зарядом д' прн перемещении его из одной тачки в другую, не зависит от пути. Эта работа равна А„= ~ Р(г)е,о(1, (6.2) 1 где е(1 — элементарное перемещение заряда д'. Из рис. 6.1 видно, что скалярное произведение ее(! равно приращению модуля радиуса- вектора г, т. е. е(г.
Поэтому формулу Е (6.2) можно представить в виде А„= ~ Р(г) о)г ! (ср. с формулой (21.6) 1-го тома). Подстановка выражения для Р(г) дает: ео Ам= — ) — = — ~ — — — ! . (6.6) и ' 44' Г Ие ! Г дч' ЕЕ' 1 4лее 3 ео 4лео ~ ео ео / ' е, Рис. б.1. Работа сил консервативного поля люжет быть представлена как убыль потенциальной энергии: А ее=буре !Рро.
(6.4) Сопоставление формул (6.3) и (6.4) приводит к следующему выражению для потенциальной энергии заряда д' в поле заряда д: йт = — — +сопи(. 1 Чч' и 4лее е Значение константы в выражении потенциальной энергии обычно выбирается таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность (т. е. при г=со) потенциальная энергия обращалась в нуль. При этом условии получается, что !р = — —. ее' и 4лее е Воспользуемся зарядом о' в качестве пробного заряда для исследования поля. Согласно (6.5) потенциальная энергия, которой обладает пробный заряд, зависит не только от его величины д', но и от величин а и г, определяющих поле.
Следовательно, эта энергия гл. ь электрическое пола в влкрумв может быть использована для описания поля, подобно тому, как была использована для этой цели сила, действующая на пробный заряд. Разные пробные заряды д'„„д"„р и т. д. будут обладать в одной и той же точке поля различной эйергией Кл', Ф"я" и т. д. Однако отношение Ю !д„о будет для всех зарядов одним и тем же (см. формулу (6,5)). Величина (6.6) называется п о т е н ц и а л о м и о л я в данной точке и используется, наряду с напряженностью поля Е, для описания электрических полей.
Из (6.6) следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладал бы в данной точке поля единичный положительный заряд. Подставив в (6.6) значение потенциальной энергии (6.6), получим для потенциала точечного заряда следующее выражение: ! о ср -'= 4пе„г ' (6.7) П гауссовоа свстеме погенняал поля точечного заряда в вакууме определяется Формулой 9 Ф= г Ф А„= ~А;. ь= 1 Согласно (6.3) каждая из работ Л; равна где г;,— расстояние от заряда ст; до начального положения заряда д', г;,— расстояние от и; до конечного положения заряда су . Следовательно, 4яее Гга 4ЛЕО ГМ ~=1 с кп Рассмотрим иоле, создаваемое системой М точечных зарядов дь цм..., дтт. Расстояния от каждого из зарядов до данной точки поля обозначим г„га,..., гл,.
Работа, совершаемая силами этого поля над зарядом д', будет равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности: $6. потеншчлл Сопоставив это выражение с соотношением (6А), получим для потенциальной энергии заряда д' в поле системы зарядов выражение и ля го, ~ г~ из которого следует, что и 1 (6.8) Сопоставление полученной формулы с выражением (6.7) приводит к выводу, что птпенциол поля, создаоаепого сиспммой зарядоо, раасн алгебраической су.име попгенйиолоеч создапаеиыя каждым из зарядоо о оп1дельноспги, В то время как напряженности поля складываются ирн наложении полей векторно, потенциалы складываются алгебраически.
По этой причине вычисление потенциалов оказывается обычно гораздо проще, чем вычисление напряженностей электрического поля. Из формулы (6.6) вытекает, что заряд д, находящийся в точке поля с потенциалом гр, обладает потенциальной энергией В'е = угР, (6.9) Следовательно, работа сил поля над зарядом ) может быть выражена через разность потенциалов: А =Кт — %гп =ч(чч — г"). (6.!О) Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведенлю величины заряда иа разность потенциалов в началшюй и конечной точках (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
