И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Знак минус получился потому, что «Ось» а н момент Ф имеют противоположные направления (см. рис. 9.4). $10. Поле системы зарядов на больших расстояниях Возьмем систему Ту' зарядов рп !)„..., !7„, размещенных в объеме с линейными размерами порядка 1, и исследуем поле, создаваемое этой системой на расстояниях г, больших по сравнению с1(~)!), Выберем начало координат О внутри объема, занимаемого системой„ и определим положения зарядов с помощью радиусов-векторов г„ (рис.
10.1; чтобы не загромождать рисунок, мы показали только радиус. г вектор »-го заряда). Потенциал в точке„ определяемой радиусом-вектором г, равен о ! и р(г) 4 ~ А~~ (10 1) 4ее»!, 1« — г»1 ' (ср. с (9.1)). Подстановка этого выражения в формулу (10.1) дает (10.2) «, г 1 — г!««1« Воспользовавшись формулой 1 — ж 1+я, ! †« справедливой при х((1, преобразуем выражение (10.2) следующим образом: и Первый член полученного выражения представляет собой потенциал поля точечного заряда величины !7=~ ~~~! (ср. с.
(6.7)). Второй член имеет такой же вид, как выражение, определяющее потенциал поля диполя, причем роль электрического момента диполя играет величина и Р=,~! 7!г!. (1 0.4) !=! ,' «у 1 1 Рес. 10.1 Вследствие малости г! по сравнению с г можно положить, что !г — г«1 =г — г!е,=г(1 — г!е„(г) 6!о. поле системы злэядов Эта величина называется д и п о л ь ны и эл ек т р и ч ес к и м м о м е н том системы зарядов. Легко проверить, что в случае диполя формула (10.4) переходит в уже знакомое нам выражение: р=$/1. Если суммарный заряд системы равен нулю (чар!/,=О), значение дипольного момента не зависит от выбора начала координат. Чтобы убедиться в этом, возьмем два произвольных начала координат О и О' (рис. 10.2). Между радиусами-векторами 1-го заряда, проведенными из этих точек, имеется соотношение г';= Ь+г, (10.5) (что такое вектор Ь, ясно из рисунка).
С учетом (10.5) дипольный момент в системе с началом О' равен р'=ч;$/;г)=ч~~~$/,(Ь+г$)=Ь ~я',$1$+х',$/,г,. Первое слагаемое равно нулю (так как ~$/;=О), второе представляет собой р — дипольный момент в системе координат с началом в точке О. Таким образом, мы получили, что р'=р. р1э' — )..э+у $ ! $ ! д$ ! $ $ -К6--1--4й' й' — - -$$ $ ! ~$ ° $ ! $ $ ь.-----./$ Фф а) /$' Рис. !О.З. Рвс. 10лд Выражение (10.3) по существу представляет собой первые члены азложения функции (10.1) в ряд цо степеням величин г,/г. Если $/$ФО, основной вклад в потенциал вносит первый член формулы (10.3) (второй член убывает как 1/г-' и потому много меньше первого). Для электрически нейтральной системы(~;д,=0) первый член равен нулю, и потенциал определяется в основйом вторым членом формулы (10,3). Так, в частности, обстоит дело в случае поля диполя, Для изображенной на рис. 10.3, а системы зарядов, называемой к в а д р у п о л е м, и ч ~,'$/и и р равны нулю, так что формула (10.3) дает нулевое значение потенциала.
В действительности же поле квадруполя хотя и много слабее, чем поле днполя (с такими же $/ н /), но отлично от нуля. Потенциал поля, создаваемого квадруполем, определяется в основном третьим членом разложения, который пропорционален 1/г'. Для получения этого члена нужно учесть величины порядка (г,/г)'., которыми мы пренебрегали при выводе формулы (10.3).
Для показанной на рис. 10.3, б системы зарядов, ГЛ. Ь ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ Зб называемой о к туп о л ем, равен нулю и третий член разложения. Потенциал поля такой системы определяется четвертым членом разложения, который пропорционален 1/г'. Отметим, что стоящая в числителе первого члена формулы (!0.3) величина, равная ~;дп называется м о н о и о л е м или м у л ьтиполем нулевого порядка, диполь называется мультиполем первого порядка, квадруполь— мультиполем второго порядка и т. д. Итак, в общем случае поле системы зарядов на больших расстояниях можно представить как наложение полей, создаваемых мультиполями разных порядков — монополем, диполем, квадруполем, октуполем и т.
д. й !1. Описание свойств векторных полей Чтобы продвинуться дальше в изучении электрического поля, необходимо ознакомиться с математическим аппаратом, применяемым для описания свойств векторных полей. Этот аппарат называется векторным анализом. В данном параграфе мы рассмотрим основные понятия и некоторые формулы векторного анализа, а также докажем две главные теоремы векторного анализа: теорему Остроградского — Гаусса и теорему Стокса. Наибольшую наглядность величины, используемые в векторном анализе, имеют в случае поля вектора скорости текущей жидкости.
Поэтому мы будем вводить эти величины, рассматривая течение идеальной несжимаемой жидкости, а затем распространять полученные результаты на векторные поля любой природы. С одним из понятий векторного анализа мы уже знакомы. Зто— г р а д н е н т, используемый для характеристики скалярных полей. Если каждой точке Р с координатами х, у, г сопоставляется значение скалярной величины <р=~р(х, у, г), говорят, что задано скалярное поле Р. Градиентом величины ~р называется вектор ЯгабЧ= д„ех+ д ег+ д (11.1) Приращение функции ~р при смещении на отрезок И1=е„дх+ +е„йу+е,йг равно йр= — йх+- Иу+ — йг дв дв д(р дх ду да что можно представить в виде йР=РР И1. (11.2) Теперь перейдем к установлению характеристик векторных полей. 1!1. ОПИСХНИЕ СВОЙСТВ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ Разделив этот объем на промежуток нремени Лг', найдем поток через поверхность Л5: ЛФ= Ы~Л(= Л5 о соз а.
Перейдя к дифференциалам, получим, что г(Ф= — о соз а б5. (1 1.3) Формулу (11.3) можно написать еще двумя способами. Во-первых, если учесть, что о соз а дает проекцию вектора скорости на нормаль п к площадке д5, можно представить (11.3) в виде Ъ УФ= о„с(5. (11.4) ' Ьь". Во-вторых, можно ввести вектор б5, модуль кото- а рого равен величине площадки с(5, а направление совпадает с направлением нормали к площадке и: Ж=с(5 п. Поскольку выбор направления вектора и условен рис. 11,1. (его можно направить как в одну сторону от площадки, так и в другую), Ю является ие истинным вектором, а псевдовектором. Угол а в формуле (11.3) есть угол между векторами ч и г(8. Следовательно, эту формулу можно написать в виде НФ=ч Д5.
(11. 3) Просуммировав потоки через все элементарные площадки, на которые мы разбили поверхность 5, получим поток жидкости через 5: Ф„= ) ч ~Б = ~ о„б5. 5 5 (11.6) Аналогичное выражение, написанное для произвольного векторного поля а, т. е. величина Ф,=) аб5=) а„б5, 5 5 (11.7) Поток вектора. Пусть течение жидкости охарактеризовано полем вектора скорости. Объем жидкости, протекающей в единицу времени через некоторую воображаемую поверхность 5, называется потоком жидкости через эту поверхность. Чтобы найти поток, разобьем поверхность на элементарные участки величины Л5. !15 рис. 11.1 видно, что за время Л1 через участок Л5 пройдет объем жидкости, равный Л!7=Л5 соза о Л1.
зз ГЛ. Ь ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ называется потоком вектора а через поверхн о с т ь 5. В соответствии с этим определением поток жидкости может быть назван потоком вектора у через соответствующую поверхность (см. (11.6)). Поток вектора есть алгебраическая величина, причем знак его зависит от выбора направления нормали к элементарным площадкам, на которые разбивается поверхность 5 при вычислении потока. Изменение направления нормали на противоположное изменяет знак у а„, а следовательно, и знак величины (11.7). В случае замкнутых поверхностей принято вычислять поток, «вытекающий» из охватываемой поверхностью области наружу. Соответственно в качестве и в дальнейшем будет всегда подразумеваться обращенная наружу (т. е. внешняя) нормаль.
Потоку вектора можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. Для этого представим векторное поле системой линий а, построенных так, чтобы густота линий в каждом месте была численно равна модулю вектора а в той же точке поля (ср. с правилом построения линий вектора Е, изложенным в конце 25). Найдем число ЛУ пересечений линий поля с воображаемой площадкой Л5. Из рис. 11.2 видно, что это число равно густоте линий (т. е. а), умноженной на Л5А=-Л5 соз а: ЛУ(=) а Л5 соз а=а,Л5. Речь идет лишь о числовом равенстве между ЛУ и а„Л5. Поэтому знак равенства заключен в скобки.
Согласно (11.7) выражение а„Л5 представляет собой ЛФ,— поток вектора а через площадку Л5. Таким образом, ( ) ЛФ« (1 1.8) Для того чтобы знак ЛУ совпал со знаком ЛФ„нужно пересечения, при которых угол с«между положительным направлением линии поля и нормалью к площадке является острым, считать положительными. В случае же, если угол е» тупой, пересечение нужно считать отрицательным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
