И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 8
Текст из файла (страница 8)
А«ля изображенной на рис. 11.2 площадки все три пересечения являются положительными: ЛУ=+3 (ЛФ«в этом случае также положителен, поскольку а» О). Если направление нормали на рис. 11.2 изменить на обратное, пересечения станут отрицательными (ЛУ= — 3), поток ЛФ, также будет отрицательным Просуммировав выражение (11.8) по конечной воображаемой поверхности 5, получим соотношение Ф. (=) ХЛУ=У,— У, (!1.9) где под У, подразумевается полное число положительных пересе. чений линий поля с поверхностью 5, а под У вЂ” полное число от.
рпцательных пересечений. $ 11. ОПИСАНИЕ СВОЙСТВ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ зз Может вызвать недоумение то обстоятельство, что, поскольку поток, как правило, выражается нецелым числом, сопоставляемое потоку число пересечений линий поля с поверхностью также будет нецелым. Однако смущаться этим не следует. Линии поля представляют собой чисто условный образ, никакого физическогосмысла они не имеют. Рис. 1!.3. Рис.
11ОЬ Возьмем воображаему1о поверхность в виде полоски бумаги, нижняя часть которой закручена относительно верхней на угол п (рис. 11.3). Выбор направления нормали для всей поверхности должен быть сделан одинаковым образом. Поэтому, если в верхней части полоски положительную нормаль направить вправо, то в нижней части нормаль будет направлена влево. Соответственно пересечения изображенных на рис.
11.3 линий поля с верхней половиной поверхности нужно считать положительными, а с нижней половиной — отрицательными. Для замкнутой поверхности (рис. 11.4) положительной считается внешняя нормаль. Поэтому пересечения, соответствующие выходу линий наружу (в этом случае угол а острый), нужно брать со знаком плюс, а пересечения, возникающие при входе линий внутрь (в этом случае угол и тупой), надо брать со знаком минус. Из рис. 11.4 видно, что в случае, когда линии поля проходят внутри замкнутой поверхности непрерывно, каждая линия, пересекая поверхность, входит внутрь и выходит наружу одинаковое число раз.
В итоге поток соответствующего Вектора через эту поверхность оказывается равным нулю. Легко сообразить, что в случае, если линии поля обрываются внутри поверхности, поток вектора через замкнутую поверхность будет численно равен разности числа линий, начинающихся внутри поверхности (Ж„„), и числа линий, оканчивающихся внутри поверхности (1У,„,„„): Ф„(=) й)„,„— й1,„,„„. (11.10) Знак потока зависит от того, какое из этих чисел больше. При Л'„,„=Д1,„,„, поток равен нулю. Гл. е электрическое пОле В вакууме 40 Дивергенция. Пусть нам дано поле вектора скорости несжимаемой неразрывной жидкости. Возьмем в окрестности тачки Р воображаемую замкнутую поверхность Я (рис.
11.5). Если в объеме У, ограниченном поверхностью, жидкость не возникает и ие исчезает, то поток, вытекающий наружу через поверхность, будет, очевидно, равен нулю. Отличие потока жидкости Ф, от нуля будет указывать на то, что внутри поверхности имеются и с т о ч н и к и пли с т о к и жидкости, т. е. точки, в которых жидкость поступает в объем (источники) либо удаляется из объема (стоки). Величина ь В Рнс.
Гьй. Рнс. 11.4. готока определяет суммарную алгебраическую мощность источников истоков '). При преобладании источников над стоками поток будет положительным, при преобладании стоков — отрицательным. Отношение потока Ф к объему У, из которого он вытекает: Ф,/У, (11.11) дает среднюю удельную мощность источников, заключенных в объеме У. В пределе при стремлении У к нулю, т. е. при стягивании объема У к точке Р, выражение (11.11) даст удельную мощность источников в точке Р, которую называют д и в е р г ен ц и е й (или р а с х о жд е н и ем) вектора У (обозначается с))ч У). Итак г)(у у = 1пп —. Ф„ у- е" Аналогично определяется дивергенция любого вектора а: б(у а 1пп — '= 1пп — лу) аЖ Ф„.
1 е (11.12) оу у а" Интеграл берется по произвольной замкнутой поверхности 5, окружакицей точку Р '); У вЂ” объем, ограниченный втой поверхностью. ') Под мощностью источника (стока) понимаетсн саьем жидкости, ныделаеыый (поглощаемый) и единицу времени. Сток можно рассматривать как источник с отрипательной мощностью. а) Кружок у анака интеграла укааыаает на то, что интегрнроаание произ. водится по замкнутой поверхности. $1!.
ОПИСАНИЕ СВОЙСТВ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 41 Поскольку совершается переход 7-+Р, прн котором Я стремится к нулю, можно предполагать, что выражение (11.12) не может завясеть от формы поверхности. Это предположение подтверждается строгим расчетом. Окружим точку Р сферической поверхностью крайне малого радиуса и (рнс.
11.6). Ввиду малости г объем У, ограниченный сферой, также будет весьма мал. Поэтому с большой степенью точностн можно ачнтать, что значение д!» а в пределах объема р' является и) д3 Рис. ! 1.а. постоянным«). В атом случае можно в соответствии с (1!.12) написать, что Ф,ю б!» а.У, где Ф вЂ” поток вектора а через поверхность, ограничивающую объем »'. Согласно (11.10) Ф равен Л1„„— числу линий а, начннаюшнхся внутри Р', если б!» а в точке Р положительна, нля У,„,„, — числу линий а, оканчивающихся внутри»', если б!» а в точке Р отрнцательна.
Из сказанного вытекает, что в ближайшей окрестности точки с положительной дивергенцией начинаются линии вектора а. Из этой тачки «расходятся» линии поля; эта точка является «источником» поля (рнс. 11.6, а). В окрестности же точки с отрицательной дивергенцией заканчиваются линии вектора а. К этой точке «сходятся» линии паля; эта точка является «стоком» поля (рнс. 11.6, б). Чем больше абсолютное значение д!» а, тем большее число линий начинается ялн заканчивается в окрестности данной точки.
Из определения (11.12) следует, что дивергенция есть скалярная функция координат, определяющих положення точек в пространстве (кратко — функция точки). Определение (11.12) является самым обшям, не завнсяшям от вида координатной системы. Найдем выраженне для днвергенцнн в декартовой системе координат. Рассмотрим в окрестностн точки Р (х, у, г) малый объем в виде х) Предполагаесси, что зиачеиие о!» а измеияетск при переходе от одиой точ. ки поля к другой иепрерывио, Ее» скачков. ГЛ. Е ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ параллелепипеда с ребрами, перпендикулярными к координатным осям (рис.
11.7). Поток вектора через поверхность параллелепипеда образуется из потоков, текущих через каждую из шести граней в отдельности. Найдем поток через пару граней, перпендикулярных к оси х (на рис. 11.7 эти грани обозначены косой штриховкой и помечены цифрами 1 и 2). Внешняя нормаль п, к грани 2 совпадает с направлением оси х. Следовательно, для точек этой грани а„.=а„. Внешняя нормаль п! к грани 1 имеет направление, противоположное оси х. Поэтому для точек этой грани а„ = — а,. Поток через грань 2 можно записать в виде аз!ау Аг, а где а„, — значение а„, усредненное по Рис. !1.7. грани 2. Поток через грань 1 равен — а„ау аг, где а„т — среднее значение а„для грани 1.
Суммарный поток через грани 1 и 2 определяется выражением (а„,— а„,) Ьу аг. (!1.13) Разность а„,— а„т представляет собой приращение среднего (по грани) значения а„при смещении вдоль оси х на д!х. Ввиду малости параллелепипеда (напомним, что мы будем его размеры стремить к нулю) это приращение можно представить в виде (да,Удх)с!х, где значение да„lдх берется в точке Р ').
Тогда (11.13) переходит в — 'Лх1!уьг = ~" ЛУ'. дх дх Путем аналогичных рассуждений можно получить для потоков через пары граней, перпендикулярных к осям у и г, выражения дпз дп, ду —" аУ и — а1!. дг Таким образом, полный поток через всю замкнутую поверхность определяется выражением !) Неточность, которую мм при втом допускаем, исчезает при ствгивзиии обьема к точке Р, осуществлпемом прв преаельиом переходе.
5 П. ОПИСАНИЕ СВОЙСТВ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ Разделив это Выражение на Аг', найдем дивергенцию вектора а в точке Р(х, у, г): Йч а = — "+ — + — '. да„ дВВ да дх ду дг (11.14) Теорема Остроградского — Гаусса. Зная дивергенцию вектора а в каждой точке пространства, можно вычислить поток этого вектора через любую замкнутую поверхность конечных размеров. Сделаем это сначала для потока вектора ч (потока жидкости). Произведение б!ч ч на Ю дает мощность источников жидкости„заключенных в объеме Ог'.
Сумма таких произведений, т. е. ~ б(ч ч бУ, дает суммарную алгебраическую мощность источников, заключенных в Объеме г', по которому осуществляется интегрирование. Вследствие иесжимаемости жидкости суммарная мощность источников должна равняться потоку жидкости, вытекающему наружу через поверхность 5, ограничивающую объем У. Таким образом, мы пркходпм к соотношению ф ч дЯ = ~ Й ч ч пг'. Аналогичное соотношение выполняется для векторного поля любой природы: ф а бй = ) б 1ч а О)г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
