И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 11
Текст из файла (страница 11)
заряд, сосредоточенный на этом отрезке), Поле бесконечной однородно заряженной плоскости. Пусть поверхностная плотность заряда во всех точках плоскости одинакова и равна а; для определенности будем считать заряд положительным. Из соображений симметрии вытекает„ что напряженность поля в любой точке имеет направление, перпендикулярное к плоскости. Действительно, поскольку плоскость бесконечна и заряжена однородно, нет никаких оснований к тому, чтобы вектор Е отклонялся в какую-либо сторону от нормали к плоскости.
Далее очевидно, что в симметричных относительно плоскости точках напряженность поля одинакова по величине и противоположна по направлению. Представим себе мысленно цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями величины Л5, расположенными относительно плоскости симметрично (рис. 14.1). В силу симметрии Е'=Е"=Е. Применим к поверхности теорему Гаусса. Поток через боковую часть поверхности будет отсутствовать, поскольку Е„в каждой ее точке равна нулю. Для оснований Е„совпадает с Е.
Следовательно, суммарный поток через поверхность равен 2Е Ь5. Внутри поверхности заключен заряд о Л5. Согласно теореме Гаусса должно выполняться условие 2Е Ь5= ее из котарога а Е=— 2Ее (14.3) ципа суперпозиция полей. Продемонстрируем возможности теоремы Гаусса на нескольких полезных для дальнейшего примерах. Прежде чем приступить к рассмотрению этих примеров, введем понятия поверхностной и линейной плотностей заряда. Если заряд сосредоточен в тонком поверхностном слое несущега заряд тела, распределение заряда в пространстве можно охарактеризовать с помощью поверхностной плотности и, которая определяется выражением а= —.
(14,1) гл. ь электрическое пола в вакуума Полученный нами результат не зависит от длины цилиндра. Это означает, что на любых расстояниях от плоскости напряженность поля одинакова по величине. Внд линий напряженности показан на рис.
14.2. Для отрицательно заряженной плоскости результат будет таким же, лишь направление вектора Е и линий напряженности изменится на обратное, Рис. !4ЛЬ Рис. 14.1. Если взять плоскость конечных размеров, например заряженную тонкую пластинку т), то полученный выше результат будет справедливым только для точен, расстояние которых от края пластинки значительно превышает расстояние от самой пластинки (иа рис. 14.3 Е Рнс. 14.3.
Рис. 14.4. область этих точек обведена пунктирной кривой). По мере удаления от плоскости или приближения к ее краям поле будет все больше отличаться от поля бесконечной заряженной плоскости. Характер ') В случае пластинки под о и формуле (14.3) следует понимать заряд, сосредоточенный на 1 мз пластинки по всей ее толщине. У металлических тел заряд распределяется по внешней поиерхиости. Позтому под о нужно подразумевать унесенную величину плотности заряда иа ограиичизающих металлическую пластинку поверхностях. 4 ы. вычисление полЫ с помощью твоявмы гххссх бт поля на больших расстояниях легко представить, если учесть, что на расстояниях, значительно превышающих размеры пластинки, создаваемое ею поле можно рассматривать как поле точечного заряда. Поле двух разноименнозаряженных плоскостей.
Поле двух параллельных бесконечных плоскостей, заряженных разноименно с одинаковой по величине постоянной поверхностной плотностью о, можно найти как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности (рис. ! 4.4). В области между плоскостями складываемые поля имеют одинаковое направление, так что результирующая напряженность равна Е=— (14.4) ии ' Вие объема, ограниченного плоскостями, складываемые поля имеют противоположные направления, так что результирующая напряженность равна нулю.
Таким образом, поле оказывается сосредоточенным между плоскостями. Напряженность поля во всех точках втой области одинакова по величине и по направлению; следовательно, поле однородно. Линии напряженности представляют собой совокупность параллельных равноотстоящих прямых. Рис. !4.6. Рис. !4ЗЬ Полученный нами результат приближенно справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями много меньше их линейных размеров (плоский конденсатор). В этом случае заметные отклонения поля от однородности наблюдаются только вблизи краев пластин (рис.
14.5). Поле бесконечного заряженного цилиндра. Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса 14, заряженной с постоянной поверхностной плотностью о. Из соображений симметрии следует, что напряженность поля в любой точке должна быть Гл. !. электвическое пОле В ВАкууме направлена вдоль радиальной прямой, перпендикулярной к оси цилиндра, а величина напряженности может зависеть только от расстояния г от оси цилиндра.
Представим себе мысленно коаксиальную с заряженной понерхностью замкнутую цилиндрическую поверхность радиуса г и высоты lг (рис. 14.б). Для оснований цилиндра Е„=О, для боковой поверхности Е„=Е(г) (заряд предполагаем положительным). Следовательно, поток вектора Е через рассматриваемую поверхность равен Е(г) 2пгй. Если г>Р, внутрь поверхности попадает заряд д=-)л (Х вЂ” линейная плотность заряда). Применив теорему Гаусса, получим Е(г) 2пгй=- — .
АА Отсюда Е(г) = ~ — (г~ Я). (14.5) Если г(!с, рассматриваемая замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, вследствие чего Е(г)=0. Таким Образом, внутри равномерно заряженной цилиндрической поверхности бесконечной длины поле отсутствует. Напряженность поля вне поверхности определяется линейной плотностью заряда Л н расстоянием г от оси цилиндра. Поле отрицательно заряженного цилиндра отличается от поля цилиндра, заряженного положительно, только направлением вектора В.
Из формулы (14.5) следует, что, уменьшая радиус цилиндра !т' (прн неизменной линейной плотности заряда Х), можно получить вблизи поверхности цилиндра поле ь>а~Рта+ с очень большой напряженностью. Подставив в (!4.5) Х = 2п1та и положив г=- й!, получим для напряженности поля в непосредс!венной близости к поверхности цилиндра значение Е (1(') = — . (14.6) С помощью принципа суперпозиции легко найти поле двух коаксиальных цилиндрических поверхностей, заряженных с одинаковой по величине, но отличающейся знаком линейной плотностью А (рис. 14.7).
Внутри меньшего н вне большего цилиндров поле отсутствует. В зазоре между цилиндрами величина напряженности поля определяется формулой (14.5). Это справедливо и для цилиндрических поверхностей конечной длины, если зазор между поверхностя- 4!4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОЛЕЙ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ ГХУССА 59 ми много меньше их длины (цилиндрический конденсатор). Заметные отступления от поля поверхностей бесконечной длины будут наблюдаться только вблизи краев цилиндров.
Поле заряженной сферической поверхности. Поле, создаваемое сферической поверхностью радиуса /7, заряженной с постоянной поверхностной плотностью о, будет, очевидно, центрально-симметричным. Это означает, что направление вектора Е в любой точке проходит через центр сферы, а величина напряженности является функцией расстояния г от центра сферы.
Вообразим концентрическую с заряженной сферой поверхность радиуса г. Для всех точек этой поверхности Е„=Е(т). Если г)/7, внутрь поверхности попадает весь заряд г/, распределенный по сфере. Следовательно, Е(г) 4лг'= 4 оо откуда Е(г) =4 о ( ~/7). (14.7) 4поо го Сферическая поверхность радиуса г, меньшего, чем /7, не будет содержать зарядов, вследствие чего для т(/7 получается Е(г) — О, Таким образом, внутри сферической поверхности, заряженной с постоянной поверхностной плотностью о, поле отсутствуег. Вие этой поверхности поле тождественно с полем точечного заряда той же величины, помещенного в центр сферы.
Используя принцип суперпозиции, легко показать, что поле двух концентрических сферических поверхностей (сферический конденсатор), несущих одинаковые по величине и противоположные по знаку заряды +г/ и — о/, сосредоточено в зазоре между поверхностями, причем величина напряженности поля в этом зазоре определяется формулой (14.7). Поле объемно-заряженного шара. Пусть шар радиуса Я заряжен с постоянной объемной плотностью р. Поле в этом случае обладает центральной симметрией. Легко сообразить, что для поля вне шара получается тот же результат (см. формулу (14.7)), что и в случае поверхностно-заряженной сферы.
Однако для точек внутри шара результат будет иным. Сферическая поверхность радиуса т (г(/7) заключает в себе заряд, равный р.о/олго. Поэтому теорема Гаусса для такой поверхности запишется следующим образом: о 1 4 Е (г) 4лг'=- — р — лг'. оо 3 Отсюда, заменив р через о//(о/,л/7о), получаем 4ло Я" (14.8) Таким Образом, внутри шара напряженность поля растет линейно с расстоянием г От центра шара. Впе шара напряженность убывает по такому же закону, как и у поля точечного заряда.
ГЛАВА П ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ $15. Полярные и неполяриые молекулы Д и э л е к т р и к а м и (или изоляторами) называются вещества, не способные проводить электрический ток. Идеальных изоляторов в природе не существует. Все вещества хотя бы в ничтожной степени проводят электрический ток. Однако вещества, называемые диэлектриками, проводят ток в 10" †!Оел раз хуже, чем вещества, называемые проводниками. Если диэлектрик внести в электрическое поле, то это поле и сам диэлектрик претерпевают существенные изменения.
Чтобы понять, почему это происходит, нужно учесть, что и составе атомов и молекул имеются положительно заряженные ядра и отрицательно заряженные электроны. Всякая молекула представляет собой систему с суммарным зарядом„ равным нулю. Линейные размеры этой системы очень малы (порядка нескольких ангстрем ')). В $10 мы установили, что поле, создаваемое подобной системой, определяется величиной и ориентацией дипольного электрического момента Р=ла'1А (15.1) (суммирование производится как по электронам, так и по ядрам).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
