И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Оба рассмотренных примера характерны тем, что диэлектрик был однородным и изотропным, а ограничивающие его поверхности совпадали с эквипотенциальными поверхностями поля сторонних зарядов. Полученный нами в этих случаях результат является общим. Если однородный и изотропный диэлектрик полностью заполняет объем, ограниченный эквипотенциальными поверхностями поля сторонних зарядов, то вектор электрического смешения совпадает с вектором напряженности полл сторонних зарядов, умноженным на е„ и, следовательно, напряженность поля внутри диэлектрика в е раэ меныие, чем напряженность поля сторонних зарядов. Е' ' 'Е, 'Ее ! Р/ Р и Рис.
20.3. Рис. 20.4. Если упомянутые условия не соблюдаются, векторы 0 и е,Е не совпадают, На рис. 20.3 показано поле в пластине диэлектрика, перекошенной относительно плоскостей, несущих сторонние заряды. Вектор Е' перпендикулярен к граням пластины, поэтому Е и Е, неколлннеарны, Вектор Р направлен так же, как Е, следовательно, 0 н Е„Е, не совпадают по направлению. Можно показать, что онп не совпадают и по величине. В рассмотренных выше примерах нз-за специально выбранной формы диэлектрика поле Е' было отлично от нуля только внутри диэлектрика.
В общем случае Е' может быть отлично от нуля и за пределамп диэлектрика. Поместим в первоначально однородное поле стержень из диэлектрика (рнс. 20.4). Вследствие поляризации на $21, УСЛОВИЯ НА ГРЛНИЦЕ ДВУХ ДИЭЛЕКТРИКОВ 77 концах стержня образуются связанные заряды противоположных знаков. Их поле вце стержня эквивалентно полю диполя (линии Е' показаны на рисунке пунктиром).
Легко сообразить, что результирующее поле Е вблизи концов стержня больше поля Е,. $21. Условия на границе двух диэлектриков Вблизи поверхности раздела двух диэлектриков векторы Е и 0 должны удовлетворять определенным граничным условиям, которые вытекают из соотношений (рЕ) =-О, р)>.= р (21.1) (см.
(12.3) и (!9.8)). Рассмотрим границу между двумя диэлектриками с проницаемостями ес и в, (рис. 21.1). Выберем на этой поверхности произвольно направленную ось х. Возьмем небольшой прямоугольный контур длины а и ширины Ь, который частично проходит в первом диэлектрике, частично — во втором. Ось к проходит через середины сторон Ь. Рис. 21.2. Рис. 2!.1.
Пусть в диэлектриках создана поле, напряженность которого в первом диэлектрике равна Е„а во втором Еи. Вследствие того, что !рЕ1=-0, циркуляция вектора Е по выбранному нами контуру должна быть равна нулю (см. Формулу (!2.1)). При малых размерах контура и указанном на рис. 21.1 направлении обхода циркуляция вектора Е может быть представлена в виде фЕ, Ж=-Е,„а — Е,„а+ (Еь> 2Ь, (21.2) где <Е,> — среднее значение Е, на перпендикулярных к границе участках контура. Приравняв это выражение нулю, придем к соотношению (Е,„— Ес„) и= Жь> 2Ь.
В пределе, при стремящейся к нулю ширине контура Ь, получается равенство Е1„=Е,„. (21. 3) Значения проекций векторов Е; и Е, на ось х берутся в непосредственной близости к границе диэлектриков. 78 гл. и. электРическОе пОле В диэлектяиклх Соотношение (21.3) выполняется при произвольном выборе оси х, нужно лишь, чтобы эта ось лежала в плоскости раздела диэлектриков. Из (21.3) следует, что при таком выборе оси х, при котором Е,„=О, проекция Е,„также будет равна нулю.
Зто означает, что векторы Е, и Е, в двух близких точках, взятых по разные стороны границы, лежат в одной плоскости с нормалью к поверхности раздела. Представим каждый из векторов Е, п Е, в виде суммы нормальной и тангенциальной составляющих: Ее = Еы+ Еее1 Ее = — Еее+ Еее В соответствии с (21.3) Е„= Е,.
(21.4) Здесь Ем — проекция вектора Е; на орт т, направленный вдоль линии пересечения плоскости раздела диэлектриков с плоскостью, в которой лежат векторы Е, и Е,. Заменив согласно (19.б) проекции вектора Е проекциями вектора Р, деленными на е,е, получим соотношение сл„в„ ееее ерее ' из которого следует, что 0~, ее в~, (21.5) Теперь возьмем на границе диэлектриков воображаемую цилиндрическую поверхность высоты й (рис. 21.2). Основание 5, расположено в первом диэлектрике, основание 5, — во втором. Оба основания одинаковы по величине (5,=5,=5) и настолы<о малы, что в пределах каждого из них поле можно считать однородным.
Применим к этой поверхности теорему Гаусса (см, (19.10)). Если сторонних зарядов на границе между диэлектриками нет, правая часть в (19.10) равна нулю. Следовательно, Ф𠆆О. Поток через основание 5, равен Р,„5, где Р,„ — проекция вектора Р в первом диэлектрике на нормаль и,. Аналогично поток через основание 5, равен Р,„5, где Р,„ — проекция вектора Р во втором диэлектрике на нормаль и,.
Поток через боковую поверхность можно представить в виде <Р„>5е,„, где <Р„> — значение Р„, усредненное по всей боковой поверхности, 5е,„— величина этой поверхности. Таким образом, можно написать Ф~ — — Р,„5+ Р,„5+ <Р„> 5е,„= О. (21.6) Если устремить высоту цилиндра й к нулю, 5„.„также будет стремиться к нулю. Поэтому в пределе получится соотношение Рте= — Рми 9ОЕ УСЛОВИЯ НА ГРАНИЦЕ ДВУХ ДИЭЛЕКТРИКОВ 79 Здесь О,„— проекция на и; вектора 0 в 1-м диэлектрике в непосредственной близости к его граю<це с другим диэлектриком. Знаки проекций оказались разными вследствие того, что нормали п, и по к основаниям цилиндра имеют противоположные направления.
Если проектировать О, и О, на одну и ту же нормаль, получится условие 0,„=-0о„. (21. 7) Заменив согласно (!9.6) проекции 0 соответствующими проекциями вектора Е, умноженными на е,е, получим соотношение Вое,ЕГо =ЕоеоЕо~, из которого следует, что (2!.8) Полученные нами результаты означают, что при переходе через границу раздела двух диэлектриков нормальная составляющая вектора 0 и тангенциальная составляющая вектора Е изменяются непрерывно. Таигенциальиая же составляющая вектора 0 и нормальная составляющая вектора Е прп переходе через границу раздела претерпевают разрыв. Соотношения (2!.4), (2!.5), (21.7) и (2!.8) определяют условия, которым должны удовлетворять векторы Е и 0 на границе двух диэлектриков (в том случае, если иа этой границе нет сторонних зарядов).
Мы получили эти соотношения для электростатического поля. Однако они справедливы и для полей, изменяющихся со Временем (см. $112). Найденные нами условия справедливы и для границы диэлектрика с вакуумом. В этом случае одну из диэлектрических проннцаемостей нужно положить равной единице. Заметим, что условие (2!.7) можно получить, исходя из того факта„что линии смещения проходят через границу раздела двух диэлектриков, не прерываясь (рис.
2! .3). В соответствии с правилом проведения линий число линий, приходящих к площадке ЛЗ из первого диэлектрика, равно 0,ЛО,=О,Лэ соз ао Аналогично число линий, выходящих из площадки ЛЗ во второй диэлектрик, равно 0оЛЗо=0,ЛЗ соз а,. Если линии не терпят на границе разрыва, оба эти числа долхгны быть одинаковыми: 0ВЛЗ соз а,=0,ЛЗ соз а,.
Сократив на ЛЗ и приняв во внимание, что произведение 0 соз а дает величину нормальной составляющей вектора О, придем к условию (21.7). На границе диэлектриков линии смещения терпят излом (преломляются), вследствие чего угол а между нормалью к поверхности 80 ГЛ. П.
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ раздела и линией 0 изменяется. Из рис. 21.4 следует, что в„ и„ Тассе'1~се =в 'О ° ел е» откуда с учетом формул (21.5) и (21.7) получается закон преломле- йзс Рис. 21 4; Рис. 21.3. ния линий электрического смещения: 1я сее ее (21.9) 1а.ссе е, При переходе в диэлектрик с меньшей а угол, образуемый линиями смещения с нормалью, уменьшается, следовательно, линии располагаются реже; при переходе в диэлектрик с большей а линии смещения, напротив, сгущаются. $22.
Силы, действующие иа заряд в диэлектрике Если в электрическое поле в вакууме внести заряженное тело столь малых размеров, что внешнее поле в пределах тела можно считать однородным, то на тело будет действовать сила Г=е)Е. (22. 1) Чтобы заряженное тело поместить в поле, созданное в диэлектрике, в последнем нужно сделать полость.
В жидком или газообразном диэлектрике такую полость образует само тело, вытесняя диэлектрик из занимаемого им объема. Поле внутри полости Е„„будет отлично от поля Е в сплошном диэлектрике. Таким образом, силу, действующую на помещенное в полость заряженное тело, нельзя вычислять как произведение заряда д на напряженность поля Е, существовавшую в диэлектрике до внесения в него тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
