Ю.В. Прохоров, Л.С. Пономаренко - Лекции по теории вероятностей и математической статистике (1115359), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Функцией распределения вероятностной меры Pназывается функция F P (x, y) двух действительных переменных x, y, равнаяFP (x, y) = P {(u, v) : u < x, v < y} .Из свойств вероятностной меры вытекают следующие свойства функции распределения FP (x, y) :1) FP (x, y) не убывает по каждой из переменных;77Рис. 9.3: Распределение вероятностей на плоскости.2) FP (x, −∞) = FP (−∞, y) = 0 ∀x, y;3) FP (+∞, +∞) = 1,4) ∀h, k > 0, ∀x, yFP (x + h, y + k) − FP (x + h, y) − FP (x, y + k) + FP (x, y) > 0.
(9.8)5) Свойство непрерывности слева по совокупности переменных:F (x − h, y − k) → F (x, y) при h, k → 0 + .Выражение в левой части (9.8) есть не что иное как вероятность попадания в прямоугольник 4 = [x; x + h) × [y; y + k) (см. рис.9.2.2 )Замечание. Это выражение, если его поделить на hk , представляетсобой вторую смешанную разность для FP (x, y). Если перейти к пределу2FPпри h, k → 0+, то получим, что должно выполняться неравенство ∂∂x∂y>0 для тех точек, где эта производная существует.Определение 9.11.
Функция от двух переменных, для которой выполнены свойства 1) —5) на стр. 77, называется двухмерной функцией распределения.Теорема 9.3. Для любой функции распределения F (x, y) существуетединственная вероятностная мера PF , определенная на B2 и такая,что F (x, y) является ее функцией распределения.Доказательство аналогично тому, что проводилось в одномерном случае.Аналогичным образом можно определять вероятностные меры в евклидовых пространствах большей размерности, определяя ее сначала на78прямоугольных параллелепипедах, а затем продолжая на борелевскиеσ– алгебры. Отметим одно важное свойство вероятностных мер на борелевских множествах.Пусть (Rd , Bd , P) — вероятностное пространство, G— класс открытыхподмножеств Rd , F — класс замкнутых множеств.
Если B ∈ Bd ,P(B) = inf P(G) = supB⊂G∈G(9.9)B⊃F ∈FЗамечание. Вероятностную меру в произвольных метрических пространствах стремятся выбирать таким образом, чтобы выполнялось (9.9).9.2.3Два основных типа распределений в евклидовых пространствах1.Дискретный тип распределений.Определение 9.12. Распределение вероятностей P на (R1 , B1 ) называется дискретным, если существует последовательность x1 , x2 . . . различных между собой точек, таких, чтоXpk = 1.P(xk ) = pk > 0,kВ этом случае вся вероятность сосредоточена на счетном или конечном множестве точек.
Вероятности других событий определяются какXpk .(B)=Pxk ∈BВ качестве примеров распределений дискретного типа могут служитьбиномиальное и пуассоновское распределения.2.Непрерывный тип распределений.2 Рассмотрим сначала распределения на прямой. Для непрерывного (более точно — абсолютнонепрерывного ) распределения функция распределения задается интегралом от некоторой неотрицательной функции p(x) , называемой плотностью распределения:ZxF (x) =Z∞p(u)du,p(u)du = 1.−∞−∞2Более точное название: абсолютно непрерывные распределения по отношению кмере Лебега.79В известной монографии Г. Крамера ([6])говорится, что в приложениях можно ограничиться случаями, когда плотность непрерывна всюду,кроме конечного числа точек, или когда множество точек разрыва бесконечно, но не имеет конечной предельной точки.
Интеграл понимаетсяв этих случаях как интеграл Римана.Подобным же образом можно определить непрерывный тип распределения в двухмерном случае:Zx ZyF (x, y) =p(u, v)dudv,−∞ −∞p(u, v) > 0,R Rp(u, v)dudv = 1. Функцию p(x, y) также называют плот-R2ностью распределения вероятностей.9.3Случайные величиныПусть (Ω, A, P) — фиксированное вероятностное пространство.Определение 9.13. Случайной величиной, заданной на вероятностномпространстве (Ω, A, P) , называется функция X(ω) такая, что для любыхa и b (a 6 b){ω : a 6 X(ω) < b} ∈ A.(9.10)Задача 9.6. Покажите, что условие (9.10) в определении случайной величины эквивалентно каждому из следующих условий:1) ∀x ∈ R1 {ω : X(ω) < x} ∈ A;2) ∀B ∈ B1 полный прообраз B при отображении X является элементом A : {ω : X(ω) ∈ B} ∈ A.3В теории функций понятие случайной величины эквивалентно понятию измеримой функции.Пара (Ω, A) называется измеримым пространством.
Рассмотрим ещеодно измеримое пространство (R1 , B1 ).Определение 9.14. Функция X : (Ω, A) → (R1 , B1 ) называется A измеримой, если ∀B ∈ B1 X −1 (B) ∈ A.Теорема 9.4. Пусть последовательность случайных величин X1 , X2 . . .определена на (Ω, A, P) и для ∀ω ∃ lim Xn (ω) = X(ω). Тогда X(ω) такn→∞же является случайной величиной.Полным прообразом B при отображении X называют множество X −1 (B) = {ω :X(ω) ∈ B}380Другими словами, класс случайных величин, определенных на фиксированном вероятностном пространстве, замкнут относительно операции предельного перехода.Доказательство. Покажем сначала, что для ∀c ∈ R справедливо равенство∞ [∞ \[1(9.11){ω : X(ω) < c} ={ω : Xn (ω) < c − }.kk=1 m=1 n>m1).
Пусть ω0 ∈ {ω : X(ω) < c}. Тогда X(ω0 ) < c и, следовательно,существует такое натуральное число k, что X(ω0 ) < c− k1 . Из определенияпредела вытекает, что найдется номер m, начиная с которого∀n > m Xn (ω) < c − k1 . Это означает, чтоω0 ∈∞ [∞ \[1{ω : Xn (ω) < c − },kk=1 m=1 n>mт.е.{ω : X(ω) < c} ⊂∞ \∞ [[1{ω : Xn (ω) < c − }.kk=1 m=1 n>m(9.12)2). Аналогичным образом доказывается обратное вложение{ω : X(ω) < c} ⊃∞ \∞ [[1{ω : Xn (ω) < c − }.kk=1 m=1 n>m(9.13)Из (9.12),(9.13) вытекает справедливость равенства (9.11).
Посколькуиз определения случайной величины для Xn (ω) следует выполнение1{ω : Xn (ω) < c − } ∈ Akдля всех n, k, то событие в правой части (9.11) принадлежит σ – алгебреA, а значит, и {ω : X(ω) < c} ∈ A, т.е. предел последовательностислучайных величин является случайной величиной.Определение 9.15. Случайная величина X(ω) называется элементарной, если она принимает конечное или счетное число попарно различныхзначений x1 , x2 . . . .Рассмотрим событияAj = {ω : X(ω) = xj } ∈ A.81Элементарную случайную величину X(ω) можно представить в видеX(ω) =Xxj IAj (ω).(9.14)jПоскольку события A1 , A2 .
. . образуют разбиение Ω, то в сумме (9.14)для любого элементарного исхода только одно слагаемое отлично от 0,и, следовательно, ряд сходится в каждой точке.Теорема 9.5. Функция X(ω) является случайной величиной ⇔ существует последовательность элементарных случайных величинX1 (ω), X2 (ω), . . . , равномерно сходящаяся к X(ω).Доказательство. Достаточность следует из предыдущей теоремы, поэтому докажем только необходимость.
Доказательство будет конструктивным. Приведем два примера таких последовательностей.1). ПустьXk· I{k/n6X(ω)<(k+1)/n} ,Xn (ω) =nk∈Zпри этом полагаем, что I∅ = 0.2).X ln .I nXn∗ (ω) =n {l/2 6X(ω)<(l+1)/2 }2l∈Z(9.15)Задача 9.7. Покажите, что каждая из этих последовательностей равномерно сходится к случайной величине X(ω), причем последовательностьXn∗ не убывает.Теорема 9.6.
Пусть f (x1 , . . . , xd ) — непрерывная функция на Rd иX1 (ω), . . . , Xd (ω)— случайные величины на (Ω, A, P) .Тогда Y (ω) = f (X1 (ω), . . . , Xd (ω)) также является случайной величиной на данном вероятностном пространстве.Доказательство. Достаточно доказать, что существует последовательность случайных величин, в каждой точке ω сходящаяся к Y (ω).
Мыукажем последовательность элементарных случайных величин, сходящуюся к Y (ω). Из предыдущей теоремы следует, что для каждой изXi (ω) (1 6 i 6 d) существует последовательность элементарных случайных величин, которая сходится к ней равномерно на Ω. Пусть при82n→∞X1,n (ω) сходится равномерно кX2,n (ω) сходится равномерно к...···Xd,n (ω) сходится равномерно кПокажем, что последовательность элементарныхX1 (ω)X2 (ω)...Xd (ω)случайных величинYn (ω) = f (X1,n (ω), . .
. , Xd,n (ω))сходится к Y (ω). Выберем произвольное малое δ > 0.Поскольку равномерно сходящихся последовательностей {Xin (ω)} конечное число, то для ∀δ > 0 существует такое N = N (δ), что одновременно для всех i и ω выполняются неравенстваδ|Xi,n (ω) − Xi (ω)| < √ ,dесли n > N. Для таких nq(X1,n (ω) − X1 (ω))2 + . . . (Xd,n (ω) − Xd (ω))2 < δРассмотрим фиксированное ω0 ∈ Ω. Функция f (x1 , . . . , xd ) непрерывна вточке x0 = (X1 (ω0 ), . .
. Xd (ω0 )). Следовательно, для ∀ε > 0∃δ0 = δ(ε, ω0 ) > 0 такое, что еслиq(X1,n (ω0 ) − X1 (ω0 ))2 + . . . (Xd,n (ω0 ) − Xd (ω0 ))2 < δ0 ,(9.16)то|f (X1 (ω0 ), . . . , Xd (ω0 )) − f (X1,n (ω0 ), . . . , Xd,n (ω0 ))| < ε.Выберем теперь N0 = N (δ0 ), тогда при n > N0 , выполняется (9.16), азначит,|Yn (ω0 ) − Y (ω0 )| < ε,но это и означает, что последовательность Yn (ω0 ) сходится к Y (ω0 ). Поскольку сходимость выполняется для ∀ω0 , то в силу теоремы 9.4Y (ω) = f (X1 (ω), . . .
, Xd (ω)) является случайной величиной.Замечание. Заметим, что последовательность Yn (ω) не обязательносходится к Y (ω) равномерно. Приведите пример, когда это не так.Как следствие из этой теоремы получаем, что сумма, разность, произведение и другие непрерывные функции от случайных величин являются случайными величинами. Предельным переходом, используя теорему9.4, можно класс функций f (x1 , . . . , xd ) значительно расширить.Задача 9.8. Покажите, что Y (ω) = f (X1 , .
. . , Xd ) является случайнойвеличиной для любой борелевской функции от d переменных.839.3.1σ- алгебра, порожденная случайной величинойПусть X(ω) — случайная величина на (Ω, A, P) . Остановимся подробнеена понятии полного прообраза некоторого борелевского множества B приотображении X.pПример 9.7. Пусть Ω = R2 , ω = (x1 , x2 ), X(ω) = x21 + x22 . Тогдаполными прообразами борелевских множествB1 = (−∞; b); B2 = [a; b), B3 = {b} (0 < a < b)будут соответственно круг, кольцо, окружность.Пример 9.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
