Ю.В. Прохоров, Л.С. Пономаренко - Лекции по теории вероятностей и математической статистике (1115359), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Мультипликативность: если случайные величины X и Y независимы, тоf (t; X + Y ) = f (t; X) · f (t; Y )–характеристическая функция суммы равна произведению характеристических функций слагаемых.104Доказательство: действительно, пользуясь известными формуламитригонометрии и независимостью случайных величин, получаемf (t; X + Y ) = E cos t(X + Y ) + iE sin t(X + Y ) == E cos tXE cos tY − E sin tXE sin tY ++iE sin tXE cos tY + iE cos tXE sin tY = f (t; X)f (t; Y ).2. Для любой характеристической функции|f (t; X)| ≤ 1, f (0; X) = 1.Задача 11.1. Покажите, что если характеристическая функцияf (2π; X) = 1,то она является периодической и соответствует целочисленной случайной величине.3. При линейном преобразовании случайной величины X характеристическая функция изменяется следующим образом:f (t; aX + b) = eitb f (at; X).Пример 11.6.
Пусть X ∼ N (0, 1),Y = σX + a. Тогда Y ∼ N (a, σ 2 )и характеристическая функция случайной величины Y равнаt2f (t; Y ) = eita e− 2 .4. Взаимная однозначность соответствия между функциямираспределения и характеристическими функциями. Если случайная величина X имеет функцию распределения F (x), тоZ+∞eitx P F (dx),f (t; X) =−∞где интеграл Лебега-Стилтьеса берется по мере PF , порожденной начисловой прямой функцией распределения F (x). Следовательно, всякая функция распределения однозначно определяет характеристическуюфункцию. Но верно и обратное утверждение: функция распределенияоднозначно восстанавливается по характеристической функции.
Доказывается это утверждение с помощью формул обращения.10511.3Формулы обращения для характеристических функцийПрежде чем привести примеры различных формул обращения, вспомним некоторые свойства функций распределения. Мы определили ранеефункцию распределения случайной величины X как непрерывную слеванеубывающую функцию соотношениемF (x) = P(X < x).Такое определение приводится, например, в учебниках Б.В.Гнеденко,А.А.Боровкова. В книгах В.Феллера, А.Н.Ширяева, Б.А.Севастьяновафункция распределения определяется несколько иначе:F (x) = P(X ≤ x).Отличие только в том, что эта функция непрерывна справа.Всякая монотонно неубывающая ограниченная функция имеет не более чем счетное множество точек разрыва.
Действительно, для функциираспределения разрывов, по величине превосходящих 1/2, не более одного, разрывов, превышающих или равных 1/3, не более двух и т.д. Такимобразом все точки разрыва можно перенумеровать, и, значит, их не болеечем счетное число.Точек же непрерывности – континуум, причем множество точек непрерывности всякой функции распределения всюду плотно на числовой прямой.Если F1 (x) и F2 (x) – две функции распределения, то множество общихточек непрерывности также всюду плотно.Приведем в качестве одной из формул обращения следующую теорему.Теорема 11.3. Если F (x) и f (t) – функция распределения и характеристическая функция случайной величины X, x1 < x2 –точки непрерывности F (x), то1F (x2 ) − F (x1 ) = limT →∞ 2πZTe−itx2 − e−itx1f (t)dt.−it−TЗамечание 1.
Если в этой формуле устремить x1 → −∞ по точкамнепрерывности, то получим F (x2 ). Поскольку x2 – произвольная точканепрерывности, то функцию распределения можно однозначно восстановить по характеристической функции.106Существуют и другие варианты формул обращения. Так если характеристическая функция абсолютно интегрируема, то у функции распределения существует ограниченная производная F 0 (x) = p(x) иZ∞1e−itx f (t)dt.(11.1)p(x) =2π−∞Формулу (11.1) называют формулой обращения для плотности.Замечание 2.
ФормулыZ∞f (t) =eitx p(x)dx,−∞1p(x) =2πZ∞e−itx f (t)dt−∞очень похожи, за исключением знака в показателях экспонент и множителя перед вторым интегралом. Первую из них называют преобразованием Фурье функции p(x), вторую – обратным преобразованием Фурье.Подробно с этой темой вы ознакомитесь в курсе функционального анализа.Приведем еще один вариант формулы обращения для целочисленнойслучайной величины X :Zπ1e−itm f (t)dtP{ω : X(ω) = m} =2π−πИтак, между функциями распределения и характеристическими функциями существует взаимно однозначное соответствие.
В этом состоялосвойство 4 характеристических функций.11.4Свойство непрерывности соответствияхарактеристических функций и функций распределенияДля того, чтобы сформулировать точно это свойство, введем обозначения.Пусть {Xn }∞1 — последовательность случайных величин. ОбозначимFn (x) и f (t; Xn ) – соответственно функцию распределения и характеристическую функцию случайной величины Xn ( n = 1, 2, . . .).107Определение 11.3. Последовательность случайных величин Xn схоdдится по распределению к некоторой случайной величине X (Xn −→ X)с функцией распределения F (x), если Fn (x) → F (x) в каждой точкенепрерывности F (x).
Эту сходимость функций распределения называютслабой сходимостью и обозначаютFn (x) ⇒ F (x).Сформулируем теорему о непрерывном соответствии между характеристическими функциями и функциями распределения.Теорема 11.4. Для сходимости Fn (x) ⇒ F (x) необходимо и достаточно, чтобы f (t; Xn ) → f (t; X) равномерно по t в каждом конечноминтервале.Такой вид сходимости характеристических функций также называютслабой сходимостью и обозначаютf (t; Xn ) ⇒ f (t; X).Задача 11.2.
Привести пример последовательности характеристическихфункций, которые сходятся равномерно на каждом конечном интервале,но не сходятся равномерно на всей прямой.Мы не будем приводить доказательство теоремы 11.4 в общем случае, а ограничимся частным случаем, а именно докажем, что из слабойсходимости характеристических функций нормированных сумм к характеристической функции стандартного нормального распределения2 /2f (t; Sn∗ ) ⇒ e−t∗(EeitSn ⇒ EeitZ )(11.2)следует сходимость математических ожиданийEH(Sn∗ ) → EH(Z)(11.3)для достаточно широкого класса функций.
С помощью (11.3) можно будет доказать, что для произвольных −∞ < c < d < ∞ выполняетсяEI[c,d] (Sn∗ ) → EI[c,d] (Z),что и означает утверждение центральной предельной теоремы.Пусть выполняется (11.2).108Рассмотрим для любого натурального n и произвольных комплексных чисел c1 , c2 , . . . cn и действительных t1 < t2 < . .
. < tn функциюQ(x) =nXck eitk x .(11.4)k=1Из (11.2) следует, что для функций указанного видаEQ(Sn∗ ) → EQ(Z).Возникает вопрос, насколько богат "запас"функций действительнойпеременной, которые можно приближать функциями вида (11.4) илифункциями более общего видаQ(x) =nX(αk cos(tk x) + iβk sin(tk x)) ,(11.5)k=1где αk , βk , 1 ≤ k ≤ n – произвольные комплексные числа.Пример 11.7. Рассмотрим функцию, |x| ≤ a1 − |x|aH(x) =0, |x| > a.В книге В.Феллера показывается, что1H(x) =πZ∞itxe1 − cos atdt =at2−∞Z∞cos tx1 − cos atdt.at2−∞Пример 11.8. Рассмотрим периодическую с периодом 2 функцию14 cos πx cos 3πx cos 5πxH(x) = + 2+++ ... ,2 π123252которая при x ∈ [−1, 1] совпадает с функцией предыдущего примера,если a = 1.
Эта функция также представляет собой предел функцийвида (11.5).Пример 11.9. Следующая функция такого же вида "похожа"на индикатор отрезка [−l, l], если 0 < δ < l мало:1H(x) =πZ∞eitx−∞109sin lt sin δtdt.tδtПример 11.10. (Распределение Коши.) Этот пример отличается от предыдущих тем, что приведенная ниже функция не является функцией вида(11.5):Z∞λ−λ|x|dt.H(x) = e=eitxπ(λ2 + t2 )−∞Тем не менее общее есть: в примерах 11.7, 11.9, 11.10 функции можнопредставить в видеZ∞H(x) =eitx h(t)dt,(11.6)−∞где h(t) — непрерывная ограниченная функция, интегрируемая на всейпрямой.Обозначим H — класс функций вида (11.6).Лемма 11.1.
Пусть функция H(x) равна 0 вне конечного интервала,непрерывна и имеет две непрерывные производные на всей прямой. Тогда H(x) ∈ H.Замечание. Функция примера 3 входит в этот класс, хотя и не удовлетворяет условиям леммы, то есть условие является достаточным, ноне является необходимым.На самом деле, утверждения, которые последуют дальше, верны идля более широкого класса функций ( от условия равенства 0 вне конечного интервала можно отказаться, но тогда для доказательства нашихтеорем понадобилась бы теорема Фубини для интеграла Лебега, котораяв этом курсе не рассматривалась).Лемма 11.2. Пусть H(x) ∈ H. Тогда для произвольной случайной величины YZ∞EH(Y ) =f (t; Y )h(t)dt .−∞Доказательство.
Доказательство проведем для дискретной случайнойвеличины, принимающей конечное число различных между собой значений y1 , y2 , . . . , ys с вероятностями p1 , p2 , . . . , ps : ∞!ZZ∞ XsssXX eityj h(t)dt pj =eityj pj h(t)dt =EH(Y ) =H(yj )pj =j=1j=1−∞−∞110j=1Z∞=f (t; Y )h(t)dt.−∞Заметим, что в рассмотренном случае правомерность замены порядков суммирования и интегрирования сомнений не вызывала. В общемслучае надо использовать теорему Фубини для интеграла Лебега.Повторим рассуждения для случайной величины Z ∼ N (0, 1) с плот2ностью ϕ(x) = √12π e−x /2 :Z∞EH(Z) =Z∞H(x)ϕ(x)dx =−∞Z∞=Z∞h(t) −∞Z∞−∞eitx h(t)dt ϕ(x)dx =−∞itxZ∞e ϕ(x)dx dt =−∞2 /2h(t)e−tdt .−∞В этом случае замена порядков интегрирования, хотя и верна, но ужене столь очевидна. Впрочем, для интегралов Римана теорема Фубини вкурсе математического анализа была, и вы можете убедиться в правильности проведенных выкладок.Теорема 11.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
