Ю.В. Прохоров, Л.С. Пономаренко - Лекции по теории вероятностей и математической статистике (1115359), страница 26
Текст из файла (страница 26)
, ξn — независимые случайные величины с распределением N (0; 1). Плотность распределения X равна− n+12x21+.nn(n > 2).DX =n−2Γ( n+1)2√p(x; n) =nπΓ( n2 )E X = 0 (n > 1),182• Распределение КошиK(a, b) с параметрами −∞ < a < +∞, b >0.Случайная величина X ∼ K(a, b), если плотность распределениязадается формулойp(x; a, b) =π(b2b.+ (x − a)2 )Математическое ожидание и дисперсия не существуют, f (t) = eita−b|t| .Параметры a и b являются параметрами сдвига и масштаба соответственно. Если a = 0, b = 1, то распределение Коши совпадает сраспределением Стьюдента с одной степенью свободы.• Распределение ФишераF (m, n) с параметрами n, m ∈ N.Случайная величина X ∼ F (m, n), если она совпадает по распределению с величиной1ξm1 ,ηnξ ∼ χ2 (m), η ∼ χ2 (n),причем ξ и η — независимые случайные величины.• Многомерное нормальное распределениеN (a, Σ),a = (a1 , .
. . , an )T — действительный n–мерный вектор, Σ— действительная неотрицательно определенная симметричная матрица порядка n × n с элементами σij .Случайный вектор X = (X1 , . . . , Xn )T имеет невырожденное (собственное) n-мерное распределение N (a, Σ), если det Σ > 0 и плотность распределения имеет вид11T −1√exp − (x − a) Σ (x − a) .p(x) =2(2π)n/2 det ΣХарактеристическая функция этого распределения равна1 Ti(t,X)f (t) = E e= exp i(t, a) − t Σt ,2эта формула имеет смысл и в том случае, когда плотность распределения не существует (det Σ = 0.) Тогда распределение называют несобственным нормальным распределением. Несобственноенормальное распределение сосредоточено на некотором линейномподпространстве размерности m = rgΣ < n.183Пусть Y —проекция случайного вектора на это подпространство иm > 0.
Тогда Y имеет невырожденное m– мерное нормальное распределение.Компоненты Xk случайного вектора X — это проекции на координатные оси,Xk ∼ N (ak , σkk ),cov (Xk , Xl ) = σkl .В частном случае при n = 2 и a = 0 :1exp −p(x1 , x2 ) = p2(1 − %2 )2π 1 − %21x21x1 x2 x22−2%+σ12σ1 σ2 σ22В этом случае пишут (X1 , X2 ) ∼ N (a1 , a2 , σ12 , σ22 , %), σ1 > 0, σ2 >0, |%| < 1.E Xk = ak ,2D Xk = σk ,184% = cor(X1 , X2 ).Приложение 2.Экзаменационные вопросы покурсу "Теория вероятностей иматематическая статистика"1. Вероятностное пространство.
Счетная аддитивность, монотонностьвероятностной меры. Вероятность объединения событий. Лемма Бореля – Кантелли.2. Независимость событий, случайных величин.3. Случайные величины и их распределения вероятностей.4. Биномиальное распределение. Пуассоновская аппроксимация ( предельная теорема и неравенство ).5.
Биномиальное распределение. Интегральная теорема Муавра – Лапласа ( вывод ее из локальной теоремы Муавра – Лапласа или изцентральной предельной теоремы ).6. Неравенство Чебышева и его уточнения. Закон больших чисел. Теорема Бернулли.7. Вероятностное доказательство теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной на отрезке функции полиномами.8. Классическое и геометрическое определение вероятности. Свойствавероятностей.9.
Формула композиции распределений и ее применение. Распределение суммы независимых нормально распределенных случайныхвеличин. Распределение суммы независимых случайных величин,равномерно распределенных на отрезке [0; 1].18510. Неравенства для распределений максимума сумм независимых случайных величин.11. Задача о разорении игрока.12.
Математические ожидания и их свойства.13. Характеристические функции: формула обращения, теорема единственности ( план доказательства ), теорема непрерывности ( бездоказательства).14. Центральная предельная теорема для одинаково распределенныхслучайных величин. Теорема Ляпунова ( без доказательства ).15. Задача выбора одной из двух простых гипотез. Оценка снизу необходимого числа независимых наблюдений с помощью неравенстваЙенсена.16.
Задача выбора одной из двух простых гипотез. Лемма Неймана– Пирсона и ее применение к проверке гипотез о математическоможидании нормального распределения.17. Задача выбора одной из двух простых гипотез. Лемма Неймана –Пирсона и ее применение к проверке гипотез о вероятности успехав схеме Бернулли.18. Несмещенные оценки.
Неравенство Рао – Крамера. Эффективныеоценки.19. Эффективные оценки: метод максимального правдоподобия, оценки с дисперсией, меньшей, чем граница Рао – Крамера.20. Асимптотическое распределение выборочной медианы в выборкеиз нормального распределения. Выборочная медиана как оценканеизвестного математического ожидания в этом случае.21.
Определение доверительного интервала. Доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания нормального распределения ( при известной и неизвестной дисперсии ).22. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли.23. Различные виды сходимости последовательностей случайных величин.18624. Теорема о предельном распределении статистики критерия согласия Пирсона хи - квадрат.25. Усиленный закон больших чисел.26. Сходимость рядов из независимых случайных величин.27. Эргодическая теорема для однородных цепей Маркова с конечнымчислом состояний.28. Сложение независимых случайных величин по mod 1. Сложение целочисленных случайных величин по mod 1. Сходимость к равномерному распределению на соответствующей группе.187Литература[1] А. А. Боровков, Теория вероятностей, Москва, 1986 г.[2] Б.
В. Гнеденко, Курс теории вероятностей, 1986 г.[3] С. М. Ермаков, Метод Монте – Карло и смежные вопросы, Москва,изд -во "Наука", 1971г.[4] Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведев, Математическая статистика.Москва, 1984 г.[5] А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, Москва, изд-во "Наука", 1968г.[6] Г.
Крамер, Математические методы статистики. Москва, 1975 г.[7] Марков, Теория вероятностей.[8] Б. А. Севастьянов, Курс теории вероятностей и математической статистики, Москва, 1982 г.[9] В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т.1,2.Москва, 1984 г.[10] А. Н. Ширяев, Вероятность, Москва, 1989 г.(1980 г.)[11] П. Л. Чебышев, Курс лекций по теории вероятностей, изд - во АНСССР, 1936г.188.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
