Ю.В. Прохоров, Л.С. Пономаренко - Лекции по теории вероятностей и математической статистике (1115359)
Текст из файла
Лекции по теории вероятностей иматематической статистике.Ю. В. ПрохоровЛ. С. Пономаренко2004 г.2ОглавлениеВведениеv1 Вероятностное пространство1.1 Конечное вероятностное пространство . . . . . .1.2 Классическая вероятность . . . . . . . . . . . . .1.2.1 Генуэзская лотерея . .
. . . . . . . . . . .1.2.2 Игральные кости . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3 Случайные перестановки . . . . . . . . . .1.2.4 Игра в бридж . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.5 Абсолютно случайные последовательности22335789..........................................2 Случайные величины и случайные события112.1 Случайные величины . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Операции над случайными событиями . . . . . . . . . . . . 122.3 Операции над индикаторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Свойства вероятности и математического ожидания153.1 Свойства вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Свойства математического ожидания случайных величин .
183.3 Вероятность появления хотя бы одного из n событий . . . . 204 Независимость случайных событий и случайных величин4.1 Условная вероятность. Независимость двух случайных событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .4.2 Независимость случайных величин. Взаимная независимость нескольких случайных событий . . . . . . . . . . . .4.3 Свойства независимых случайных величин и взаимно независимых случайных событий . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4 Критерий независимости случайных величин .
. . . . . . .4.5 Мультипликативное свойство математического ожиданиянезависимых случайных величин . . . . . . . . . . . . . . .i2424252729305 Суммирование независимых случайных величин5.1 Производящая функция целочисленной случайной величины5.2 Производящая функция моментов . . . . . . . . . . . . . . .5.3 Свойства числовых характеристик распределений сумм независимых случайных величин . . . . . . . .
. . . . . . . . . .6 Неравенства Чебышева. Отклонения сумм независимыхслучайных величин6.1 Схемы Бернулли и Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2 Неравенства Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3 Отклонения сумм независимых случайных величин . . . . .7 Закон больших чисел7.1 Закон больших чисел в форме Чебышева . . . . . . . .7.2 Теорема Бернулли. Отклонение частоты наступлениябытия от его вероятности . . .
. . . . . . . . . . . . . .7.3 Вероятностное доказательство теоремы Вейерштрасса323334364040414347. . . 47со. . . 49. . . 518 Неравенства для максимума сумм независимых случайных величин548.1 Неравенство А. Н. Колмогорова. . . . . . . . . . . . . . . .
. 558.2 Неравенство Поля Леви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 Математические основы теории вероятностей9.1 Общее определение вероятностного пространства . . . . .9.1.1 Порожденные алгебры и σ - алгебры . . . . . . . .9.1.2 Борелевские σ - алгебры множеств . . . . . . . . .9.1.3 Вероятностные меры или распределения вероятностей .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2 Вероятностные меры в евклидовых пространствах . . . .9.2.1 Вероятностные распределения на прямой . . . . .9.2.2 Вероятностные распределения на плоскости и в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2.3Два основных типа распределений в евклидовыхпространствах .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3 Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3.1 σ- алгебра, порожденная случайной величиной . .9.3.2 Распределения случайных величин . . . . . . . . .9.4 Математические ожидания случайных величин (Общийслучай) .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.4.1 Основные свойства математического ожидания . .ii62. 62. 66. 68. 69. 74. 74. 77....79808484. 85. 869.59.6Независимые случайные величины . . . . . . . . . . . . . . 90Мультипликативное свойство математического ожидания . 9210 Усиленный закон больших чисел10.1 Лемма Бореля – Кантелли . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .10.2 Сходимость с вероятностью 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .10.3 Усиленный закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . .9494969711 Предельные теоремы и метод характеристических функций10011.1 Обозначения и формулировки предельных теорем . . . . . 10011.2 Характеристические функции. Определение и свойства . . 10311.3 Формулы обращения для характеристических функций . . 10611.4 Свойство непрерывности соответствия характеристическихфункций и функций распределения .
. . . . . . . . . . . . . 10711.5 Примеры слабой сходимости последовательностей характеристических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11411.6 Доказательство центральной предельной теоремы . . . . . 11611.7 Теорема Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11812 Задачи математической статистики. Основные понятия12.1 Сходимость по вероятности . .
. . . . . . . . . . . . . . . .12.2 Асимптотическая нормальность . . . . . . . . . . . . . . .12.3 Некоторые важные преобразования случайных величин .12.4 Эмпирическая функция распределения . . . . . . . . . . .127. 129. 131. 133. 13613 Проверка гипотезы о виде распределения14013.1 Критерий согласия А. Н. Колмогорова. . . . . .
. . . . . . . 14013.2 КритерийсогласияПирсона"хи–квадрат"14214 Проверка параметрических гипотез. Фундаментальная лемма Неймана – Пирсона14714.1 Квантили и процентные точки нормального распределения 14714.2 Постановка задачи. Ошибки первого и второго рода. . . . . 14914.3 Лемма Неймана – Пирсона . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 15114.4 Проверка гипотез о параметрах нормального распределения15314.5 Проверка гипотез о параметре биномиального распределения15715 Доверительные интервалы15815.1 Постановка задачи и основные определения . . . . . . . . . 158iii15.2 Доверительный интервал для математического ожиданиянормального распределения при известной дисперсии . . .15.3 Построение доверительного интервала для дисперсии нормального распределения . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .15.3.1 Совместное распределение статистик X и S 2 . . . .15.4 Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормальной выборки при неизвестной дисперсии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .15.4.1 Распределение Стьюдента. . . . . . . . . . . . . . . .15.5 Асимптотический доверительный интервал для параметраp биномиального распределения . . . . . . . . . . . . . . . .16 Точечные оценки для неизвестных параметров16.1 Сравнение свойств несмещенных оценок . . . . .16.2 Семейства распределений . . . .
. . . . . . . . . .16.3 Метод максимального правдоподобия. . . . . . .16.4 Неравенство Рао - Крамера . . . . . . . . . . . . .............Приложение 1. Основные распределения и их свойства............159161162165165167169169171172172178Приложение 2. Экзаменационные вопросы по курсу "Теориявероятностей и математическая статистика"185ivВведениеНастоящее учебное пособие основано на материале лекций, которые много лет читались студентам второго курса факультета вычислительной математики и кибернетики.Вашему вниманию предлагается самый краткий вариант.
Вотдельные годы он дополнялся и другими вопросами, и представление о полной программе этого двухсеместрового курсаможно получить из приведенного в приложении 2 списка экзаменационных вопросов.Особое внимание обращается на оценки вероятностей либов виде приближенных формул, либо в виде неравенств.
Этовполне соответствует классической традиции, когда в названии книг не было слов "теория вероятностей", а употреблялись выражения "исчисление вероятностей". В качестве примеров можно привести учебники Пуанкаре, Маркова.Ряд теорем приводится без доказательства. Мы считаем,что студентам нужно уметь пользоваться этими теоремами.Источники, в которых при желании можно найти эти доказательства, обычно указываются.При изложении вопросов математической статистики произведен очень жесткий отбор материала. Часто из учебниковбольшого объема математическая статистика представляется как цепочка определений, лемм и теорем без примененийэтих теорем к обработке статистического материала. Примером удачного соединения теории и практики может служитькнига Г. Крамера "Математические методы статистики"([6]).vМы надеемся в будущем дополнить эту книгу новыми главами, которые могут быть полезны не только студентам, интересующимся теорией вероятностей, но и начинающим преподавателям этой дисциплины.Мы начинаем изложение со случая конечных вероятностных пространств, поскольку к началу третьего семестра студенты не имеют еще достаточных знаний по математическомуанализу.
С другой стороны, это позволяет иметь дело толькос конечными суммами, все функции от элементарных исходов являются случайными величинами, математические ожидания и дисперсии существуют и можно продвинуться с этими средствами достаточно далеко, например, доказать законбольших чисел и даже центральную предельную теорему.Мы будем благодарны всем читателям, которые пожелаютсообщить нам свои замечания.viЛаплас: "...теория вероятностей есть в сущности нечто иное, как здравый смысл, сведенный к исчислению."1Глава 1Вероятностное пространство"Теория вероятностей — математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо способом с первыми",— такоеопределение приводится в математической энциклопедии.Знакомство с этой математической наукой начнем с основного понятия теории вероятностей — понятия вероятностного пространства.Вероятностным пространством называется тройка элементов(Ω, A, P) ,в которой Ω – множество элементарных исходов ω, A – некоторый классподмножеств Ω, называемых случайными событиями, P – распределениевероятностей или вероятность случайных событий.Разберем все эти понятия сначала для конечного вероятностного пространства.1.1Конечное вероятностное пространствоПусть Ω– некоторое конечное множество, состоящее из s элементовω1 , .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
