Ю.В. Прохоров, Л.С. Пономаренко - Лекции по теории вероятностей и математической статистике (1115359), страница 10
Текст из файла (страница 10)
. . , ωs },класс A — множество всех подмножеств Ω, а функция P определяласькакXp(ω),P(A) =ω∈Aгде p(ω) > 0 для всех ω и P(Ω) = 1.62Для таких вероятностных пространств случайные величины — этолюбые функции, зависящие от элементарного исхода, в этом случае свойства математических ожиданий выводились без особого труда. Доказательства и формулировки остальных теорем (неравенства Чебышева,Колмогорова, Леви, предельные теоремы) приведены в форме, справедливой в общем случае.Перейдем к общему определению вероятностного пространства.По-прежнему Ω — это множество элементарных исходов ω, но теперьуже произвольной мощности.Подмножества Ω по-прежнему будем обозначать заглавными букваминачала латинского алфавита: A, B, C, D, .
. ..Классы подмножеств — рукописными заглавными буквами A, B, C, D . . .В общей теории нам встретятся следующие классы подмножеств Ω:1) разбиения (конечные или счетные);2) полукольца и полуалгебры;3) алгебры;4) σ− алгебры ("сигма-алгебры").Определение 9.1. Подмножества A1 , A2 . . . образуютразбиение мноTжестваA,еслионипопарнонепересекаются(AA=∅, если i 6= j) иijSA = Ai .iРазбиение называется конечным, если оно состоит из конечного набора подмножеств A1 , . .
. , An и счетным, если элементы этого разбиенияA1 , A2 . . . можно поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом.Определение 9.2. Класс A подмножеств Ω называется алгеброй, если1) Ω ∈ A,2) из условия A ∈ A следует, что A ∈ A,S3) если A, B ∈ A, то A B ∈ A.Другими словами, класс подмножеств множества Ω образует алгебру,если он содержит достоверное событие, и операции взятия дополнения иобъединения событий не выводят из этого класса.63Задача 9.1.
Докажите,T что 1) невозможное событие ∅ ∈ A ;2)если A, B ∈ A, то A B, A4B, A \ B ∈ A ;nnST3) если A1 , . . . , An ∈ A, тоAi ,Ai ∈ A для любого натурального n.i=1i=1Определение 9.3. Класс A называется σ− алгеброй, если выполняются свойства1) Ω ∈ A ;2) если A ∈ A, то A ∈ A ;3) для любой последовательности A1 , A2 . . . ∈ A следует, что∞[Ai ∈ A.i=1Задача 9.2. Докажите, что 1) всякая σ-алгебра является алгеброй,∞T2)Ai ∈ A.i=1Определение 9.4. Класс S подмножеств Ω образует полукольцо, если1) ∅ ∈ S ;2) если A, B ∈ S, то ATB ∈ S;3) для любых A, A1 ∈ S таких, что A1 ⊆ A, существует конечное разбиение A, все элементы которого входят в S и одним из элементовразбиения является A1 .Замечание.Последнее свойство в определении полукольца можно сформулировать по-другому: разность A \ A1 любых двух элементов полукольцаможет быть представлена в виде объединения конечного числа попарноне пересекающихся Ai ∈ S.
Заметим однако, что сама эта разность полукольцу может и не принадлежать. Кроме того, это представление можетоказаться не единственным.Полукольцо подмножеств является, как мы это увидим ниже, оченьполезным техническим средством при построении теории меры.Рассмотрим несколько примеров наиболее часто используемых полуколец.Пример 9.1. Класс S полуинтервалов [a; b) на числовой прямой(a 6 b) образует полукольцо.64Рис. 9.1: Полукольцо прямоугольников на плоскости.Действительно, если a = b, то [a; b) = ∅, и, следовательно, невозможное событие является элементом этого класса.
Легко видеть, чтонепустое пересечение двух полуинтервалов данного вида также являетсяполуинтервалом из S, а разность двух полуинтервалов, один из которыхсодержится в другом, представима и виде объединения не более чем двухнепересекающихся полуинтервалов.Пример 9.2. Класс S прямоугольников [a; b) × [c; d) на плоскости(a 6 b, c 6 d) образует полукольцо.Проверьте это самостоятельно.Этот пример легко обобщается на случай произвольного евклидовапространства Rn , где в качестве полукольца можно рассмотреть множество n – мерных параллелепипедов.Понятие полуинтервалов можно распространить на случай, когда элементами Ω являются функции.Пример 9.3.
Полукольцо полуинтервалов в C[0; 1].Выберем некоторое множество точек: 0 6 t1 < t2 < . . . < tn 6 1, истолько же произвольных полуинтервалов: [ai ; bi ), (1 6 i 6 n). Подмножества в C[0; 1] вида{f (t) : a1 6 f (t1 ) < b1 ; a2 6 f (t2 ) < b2 ; . . . an 6 f (tn ) < bn }(9.1)образуют полукольцо. Эти подмножества C[0; 1] также называют полуинтервалами.65Рис. 9.2: Полуинтервалы функций.Определение 9.5. Полукольцо S называется полукольцом с единицейесли Ω ∈ S.Замечание.
В примере 1, чтобы получить полукольцо с единицей,надо добавить полуинтервалы вида(−∞; b),[a; +∞),(−∞; +∞),т.е. разрешить a, b принимать все значения, удовлетворяющие неравенству −∞ 6 a 6 b 6 +∞.Полукольцо с единицей также называют полуалгеброй.9.1.1Порожденные алгебры и σ - алгебрыЛемма 9.1. Для любого класса непустого E существует и только однаалгебра A0 , такая, что E ⊂ A0 и для любой алгебры A1 , содержащейE, A0 ⊂ A1 .Определение 9.6.
Такую алгебру будем обозначать A(E) и называтьалгеброй, порожденной классом E.Аналогичная лемма верна и для σ− алгебр.Лемма 9.2. Для любого непустого класса E существует единственнаяσ−алгебра B0 ,такая, что E ⊂ B0 и для любой σ−алгебры B1 ⊃ E следует,чтоB0 ⊂ B1 .66B0 называют σ−алгеброй, порожденной классом E, это наименьшаяσ− алгебра, содержащая класс E.Для примера приведем доказательство первой леммы, вторая доказывается аналогично.Доказательство.
1). Покажем сначала, что пересечение алгебр являетсяалгеброй.TПусть A1 , A2 — две алгебры. Обозначим A = A1 A2 .Пусть A, B ∈ A, но тогда A,SB ∈ A1 , A, B ∈ A2 и в силу определения алгебры события Ω, A, A B принадлежат одновременно обеималгебрам, и, следовательно, принадлежат их пересечению A, значит, Aявляется алгеброй.Замечание. Данноеутверждение справедливо в более общем случае,Tкогда пересечениеAt берется по всем значениям t из непустого мноt∈Tжества T, (которое может содержать бесконечно много точек и дажебыть более мощным, чем счетное множество.)2).
Определим теперь A0 как пересечение всех алгебр, содержащих E.Поскольку для любого класса подмножеств E всегда найдется хотя быодна алгебра, содержащая E ( например, алгебра всех подмножеств Ω ),то пересечение берется по непустой системе алгебр, и, следовательно,A0– минимальная алгебра, содержащая E.Замечание. Все вышесказанное справедливо и для σ - алгебр.Приведенное доказательство ничего не говорит о конструкции алгебр,порожденных каким-либо классом подмножеств. Чтобы разобраться вэтом вопросе, приведем ряд примеров.Пример 9.4. Алгебра, порожденная конечным разбиением Ω.S S STПусть Ω = A1 A2 . . . An , Ai Aj = ∅ (i 6= j). Тогда наименьшая алгебра, содержащая данное разбиение, должна содержать1) два обязательных для каждой алгебры элемента Ω, ∅,2) каждый из элементов разбиения: A1 , A2 , .
. . An ,3) объединения любых двух элементов разбиения – AiS S4) объединения любых трех – Ai Aj Ak , . . .Таким образом, всего элементов должно быть1 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + . . . + Cnn−1 + 1 = 2n .67SAjТак например, разбиение, состоящее из четырех элементов, порождаеталгебру из 16 элементов.В учебнике Б.А.Севастьянова приводится лемма, утверждающая, чтовсякая конечная алгебра порождается некоторым разбиением, и, значит,число ее элементов может быть равным только степени числа 2.Пример 9.5.
Пусть A и B – произвольные два подмножества Ω. Разберем, как устроена минимальная алгебра, содержащая A и B. Рассмотримразбиение Ω :E = AB; AB; AB; AB .Порожденная этим разбиением алгебра совпадает с минимальной алгеброй, содержащей A и B, следовательно, A(E) состоит из не более чем24 = 16 элементов.Столь же просто описываются алгебры, порожденные полукольцом сединицей.Задача 9.3. Покажите, что алгебра, порожденная полукольцом с единицей, состоит из всех конечных объединений попарно не пересекающихсяэлементов полукольца.9.1.2Борелевские σ - алгебры множествПусть теперь множество элементарных исходов совпадает с s -мернымевклидовым пространством: Ω = Rs .
В этом случае алгебры (σ - алгебры) событий связываются с наиболее типичными подмножествами Rs ,встречающимися в математическом анализе.Пример 9.6. Рассмотрим на числовой прямой (s = 1) полукольцо полуинтервалов с 1.Наименьшая σ -алгебра, содержащая все полуинтервалы вида [a; b) −∞ 6 a 6 b 6 +∞, называется борелевской и обозначается B1 . Нетрудно убедиться в том, что произвольные интервалы и отрезки числовойпрямой принадлежат борелевской σ - алгебре. Действительно,(a; b) =∞[[a −n=1[a; b] =∞\1; b)n[a; b +n=11).nПоскольку всякое открытое множество на прямой можно представить ввиде объединения не более чем счетного множества непересекающихся68интервалов, то все открытые множества также являются борелевскими,а значит, и их дополнения — замкнутые множества — тоже борелевские.Аналогично определяется класс борелевских множеств B2 как наименьшая σ - алгебра, содержащая прямоугольники в R2 .Борелевские алгебры в Rs являются естественной областью определения вероятностных мер в евклидовых пространствах.9.1.3Вероятностные меры или распределения вероятностейЭтот раздел посвящен третьей составляющей, входящей в определениевероятностного пространства — вероятностной мере или распределениювероятностей P .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
