Ю.В. Прохоров, Л.С. Пономаренко - Лекции по теории вероятностей и математической статистике (1115359), страница 9
Текст из файла (страница 9)
.—последовательность независимых случайных величин. Введем новую последовательность случайных величинS0 = 0,S1 = X1 ,S2 = X1 + X2 ,...SN = X1 + · · · + XN , . . .Поведение сумм удобно изображать графически ( См. рис. 8.1). Ломанаяс вершинами (k, Sk ) наглядно изображает изменения сумм с накоплениемРис. 8.1: Поведение частичных сумм.54Рис. 8.2: Изменение капитала игрока.слагаемых. Практический интерес представляют задачи о вероятностяхнахождения сумм в заданных границах, о вероятностях выхода за какую- либо границу.Вернемся к генуэзской лотерее.
Обозначим A – начальный капиталигрока, который делает ставку M на один номер и в случае выигрышаполучачает 15M.Изменение капитала игрока также удобно изображать графически(рис. 8.2).Проигрыш игрока в каком - либо тираже означает уменьшение капитала на M единиц, а выигрыш – увеличение на 14M единиц. Еслиграфик достигает в какой - то момент оси абсцисс, то происходит разорение игрока. Аналогичным образом выглядят траектории изменениякапитала страховых компаний.8.1Неравенство А. Н.
Колмогорова.Теорема 8.1. ( Неравенство Колмогорова.) Пусть X1 , X2 . . .—последовательность независимых случайных величин. ТогдаP{ω : max |Sk − E Sk | ≥ ε} ≤1≤k≤nD Snε2(8.1)Доказательство. 1. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать E Xk = 0 для любого k. Если это не так, то можно ввестиXk0 = Xk − E Xk ,Sk0 = X10 + · · · + Xk0 ,55для которых это условие выполнено. Тогда D Xk = D Xk0 = E(Xk0 )2 иутверждение теоремы (8.1) примет вид0P{ω : max |Sk | ≥ ε} ≤1≤k≤nE(Sk0 )2.ε2(8.2)2.
Введем событияF1 = {ω : |S1 | ≥ ε},F2 = {ω : |S1 | < ε, |S2 | ≥ ε},...Fn = {ω : |S1 | < ε, |S2 | < ε, . . . , |Sn−1 < ε, |Sn | ≥ ε},F0 = {ω : |S1 | < ε, . . . , |Sn | < ε}.Эти события попарно не пересекаются, т.е. Fi ∩ Fj = ∅, если i 6= j. КромеnnPSIk (ω) = 1, а дляFk = Ω.
Обозначим Ik (ω) = IFk (ω), тогдатого,k=0k=0событияF =n[Fk = {ω : max |Sk | ≥ ε}1≤k≤nk=1IF (ω) =nPIk (ω).k=1Заметим, что Ik (ω) – это функция от частичных сумм S1 , S2 , . . . , Sk ,т.е. это функция, зависящая от X1 , X2 , . . . , Xk и не зависящая от Xk+1 , . . .
, Xn .Лемма 8.1. При 1 ≤ k ≤ n и всех ωSk2 (ω) · Ik (ω) ≥ ε2 · Ik (ω).Утверждение почти очевидно. Действительно, если ω ∈ Fk , то это верно,поскольку Ik (ω) = 0. Если же ω ∈ Fk . то |Sk (ω)| ≥ ε, Ik (ω) = 1, инеравенство также выполняется.Вернемся к доказательству теоремы. Нетрудно видеть, чтоSn2 = (Sk + (Sn − Sk ))2 = Sk2 + 2Sk (Sn − Sk ) + (Sn − Sk )2 ≥≥ Sk2 + 2Sk (Sn − Sk ).Но тогдаSn2 = Sn2 ·nXk=0Ik (ω) ≥n−1Xk=156Sn2 Ik (ω) + Sn2 In (ω) ≥≥n−1XSk2 Ik (ω) + Sn2 (ω)In (ω) + 2n−1XSk Ik (Sn − Sk ),k=1k=1и в силу леммыSn2 (ω)≥ε2nXIk (ω) + 2k=1n−1XSk Ik (Sn − Sk ).k=1Переходя к математическим ожиданиям, получим22E Sn ≥ εnXE Ik (ω) + 2k=1nXE ((Sk Ik )(Sn − Sk )) .k=1Покажем, что вторая сумма равна 0. Поскольку случайная величина Sk Ikзависит от X1 , .
. . , Xk , а Sn − Sk от Xk+1 , . . . , Xn , то эти случайные величины независимы и для всех kE ((Sk Ik )(Sn − Sk )) = E(Sk Ik ) E(Sn − Sk ) = 0.Но тогда22E Sn ≥ ε P(F ),что и доказывает теорему.Замечание. В этом доказательстве существенно использовалась взаимная независимость случайных величин, что позволило получить результат, много сильнее, чем в неравенстве Чебышева. Сравнивая эти дванеравенства, видим, что второе можно получить как следствие из неравенства Колмогорова.8.2Неравенство Поля ЛевиДля симметрично распределенных величин вместо неравенства Колмогорова можно использовать неравенство П. Леви.Определение 8.1.
Случайная величина распределена симметрично, если случайные величины X и −X имеют одинаковое распределение.Пример 8.1. Рассмотрим случайную величину X, принимающую двазначения 1 и -1 с вероятностью 21 . Не вызывает сомнения, что X распределена симметрично.Сформулируем два свойства симметрично распределенных случайных величин.57Лемма 8.2. Если случайная величина X имеет симметричное распределение, то1P{X ≥ 0} = P{X ≤ 0} ≥ .2Действительно, поскольку {X ≥ 0} ∪ {X ≤ 0} = Ω, тоP{X ≥ 0} + P{X ≤ 0} ≥ 1.Учитывая, что слагаемые в этой сумме равны в силу симметричностираспределения, получим утверждение леммы.Лемма 8.3.
Если X, Y –независимые случайные величины, то случайная величина Z = X + Y также имеет симметричное распределение.Доказательство. Действительно,XXP{Z = z} =P{X = x, Y = z − x} =P{X = x} P{Y = z − x} =xXxP{−X = x} P{−Y = z − x} =XP{−X − Y = z} = P{−Z = z}.xxТеорема 8.2. ( Неравенство Поля Леви.) Пусть X1 , . . . , Xn – независимые симметрично распределенные случайные величины, тогда для всехa выполняется неравенствоP{Sn ≥ a} ≤ P{ω : max Sk ≥ a} ≤ 2 P{Sn ≥ a}.1≤k≤n(8.3)Доказательство. В идейном плане доказательство неравенства Леви похоже на доказательство неравенства Колмогорова.
Введем событияD1 = {ω : S1 (ω) ≥ a},D2 = {ω : S1 (ω) < a, S2 (ω) ≥ a},...Dn = {ω : S1 (ω) < a, . . . , Sn−1 (ω) < a, Sn (ω) ≥ a},nSD=Dk = {ω : max Sk ≥ a}.k=11≤k≤nСобытия D1 , . . . , Dn попарно не пересекаются. Введем также событияE1 = {ω : Sn (ω) − S1 (ω) ≥ 0},E2 = {ω : Sn (ω) − S2 (ω) ≥ 0},...En−1 = {ω : Sn (ω) − Sn−1 (ω) ≥ 0},En = Dn .58Для произвольного k ≤ n − 1 события Dk определяются по случайнымвеличинам X1 , . . .
, Xk , а события Ek – по случайным величинамXk+1 , . . . , Xn . Следовательно, они независимы. Рассмотрим новые событияCk = Dk ∩ Ek ⊂ Dk , 1 ≤ k ≤ n − 1,Cn = Dn ∩ En = Dn .Заметим, что как и события Dk , события Ck попарно не пересекаются.Если ω ∈ Ck (k ≤ n − 1), то Sk (ω) ≥ a, Sn − Sk ≥ 0, но это означает,что Sn (ω) ≥ a, и следовательно, Ck ⊂ {ω : Sn (ω) ≥ a}. Но тогдаn[Ck ⊂ {ω : Sn (ω) ≥ a}.k=1Отсюда следует, чтоnXP(Ck ) ≤ P{ω : Sn (ω) ≥ a}.(8.4)k=1Рассмотрим левую часть неравенства (8.4). Из независимости Dk и Ek ,получимnXP(Ck ) = P(Cn ) +k=1n−1XP(Ck ) = P(Cn ) +k=1n−1XP(Dk ) P(Ek ).k=1Поскольку из лемм следует, что P(Ek ) ≥ 21 , тоnXn−11 X1P(Ck ) ≥ (P(Dk ) + P(Dn )) = P(D).2 k=12k=1Учитывая это, из (8.4) получаем1P(D) ≤ P{Sn ≥ a}.2Умножив полученное неравенство на 2, приходим к (8.3), что и доказывает теорему.Следствие 8.2.1.P{ max |Sk | ≥ a} ≤ 2 P{|Sn | ≥ a}.1≤k≤n59(8.5)Доказательство.
Поскольку{ω : max |Sk | ≥ a} = {ω : max Sk ≥ a} ∪ {ω : min Sk ≤ −a},1≤k≤nkkтоP{max |Sk | ≥ a} ≤ P{max Sk ≥ a} + P{min Sk ≤ −a}.kkkК первому слагаемому этой суммы можно непосредственно применитьутверждение теоремы, второе же придется оценивать.Наряду со случайными величинами Xk рассмотрим также Xk0 = −Xkи их суммы Sk0 = −Sk , 1 ≤ k ≤ n. Тогда, используя симметричностьраспределений этих случайных величин, получим00P{min Sk ≤ −a} = P{max(−Sk ) ≥ a} = P{max Sk ≥ a} ≤ 2 P{Sn ≥ a} =kkk= 2 P{Sn ≤ −a}.Следовательно,P{max |Sk | ≥ a} ≤ 2 P{Sn ≥ a} + 2 P{Sn ≤ −a} = 2 P{|Sn | ≥ a}.kЗамечание.
Следует обратить внимание на то, что неравенство Леви(8.3) дает оценку, имеющую правильный порядок. В этом легко убедиться, сравнивая левые и правые части этого неравенства. Проиллюстрируем использование неравенства Леви для оценки вероятности разоренияодного из игроков в "орлянку".Пример 8.2. Пусть А и В – два игрока, начальные капиталы которыхсоответственно составляют a и b рублей. Пусть игрок А играет с бесконечно богатым противником, т.е. b = ∞. С вероятностью p = 21 игрок А вкаждой игре может выиграть 1 рубль и с вероятностью q = 12 проигратьтакую же сумму.Обозначим Sk = X1 + .
. . + Xk – суммарный выигрыш игрока А послеN игр.Изменение выигрыша удобно изображать графически с помощью траекторий, которые выходят из 0 и в каждый момент времени могут смещаться на единицу вверх или вниз. Пример такой траектории приводитсяна рисунке 8.3. Разорение игрока наступает в тот момент, когда траектория достигает уровня −a, т.е. когда впервые Sk = −a.Вероятность разорения до момента N – это P{ min Sk ≤ −a}. При1≤k≤Nменяя неравенство Леви, получимP{ min Sk ≤ −a} ≤ 2 P{SN ≥ a}.1≤k≤N60Рис. 8.3: К задаче о разорении игрока.Такиевероятности мы умеем оценивать (см.
главу 6), а именно при a =√t N√√−t2 /2.P{ min Sk ≤ −t N } ≤ 2 P{SN ≥ t N } ≤ 2e1≤k≤NДля иллюстрации возьмем конкретные числа: t = 4, N = 625. Тогда22e−t /2 ≈ 0.0007, и значит, вероятность разорения за 625 игр при начальном капитале всего лишь в 100 рублей, очень невелика.Ситуации, когда происходит игра с бесконечно богатым противником,встречаются довольно часто.
Так играя в казино, каждый из игроков играет против казино, капиталы которого много больше капитала отдельного игрока. С другой стороны, устроители казино играют с большимчислом игроков, суммарный капитал которых тоже можно считать бесконечно большим. Аналогичное замечание касается также деятельностистраховых компаний.61Глава 9Математические основы теориивероятностей9.1Общее определение вероятностного пространстваВ самом начале курса было введено понятие вероятностного пространства:(Ω, A, P)как тройки элементов, в которой• Ω — некоторое множество элементарных исходов ω;• A — класс подмножеств Ω, которые в дальнейшем назывались случайными событиями;• P — вероятность или распределение вероятностей — неотрицательная функция, определенная на A.До сих пор мы рассматривали дискретные вероятностные пространства, в которых множество элементарных исходов конечно:Ω = {ω1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
