Ю.В. Прохоров, Л.С. Пономаренко - Лекции по теории вероятностей и математической статистике (1115359), страница 13
Текст из файла (страница 13)
По – прежнему элементарные исходы ω = (x1 , x2 ) — точкикоординатной плоскости, X(ω) = x1 , тогда полными прообразами множеств из предыдущего примера служат полуплоскость, полоса, прямая.Задача 9.9. SДокажите справедливостьследующих утверждений:S1)X −1 (B1 T B2 ) = X −1 (B1 ) T X −1 (B2 );2)X −1 (B1 B2 ) = X−1 (B1 ) X−1 (B2 );3)X −1 (B) = X −1 (B).Из этих соотношений следует, что класс подмножеств Ω, являющихся полными прообразами борелевских множеств при отображении X(ω),образует σ-алгебру. Будем обозначать ее AX .σ-алгебра AX ⊆ A и называется σ-алгеброй, порожденной случайнойвеличиной X.Задача 9.10. Выясните, какие σ-алгебры порождаются случайными величинами, принимающими конечное число значений, в том числе константами.9.3.2Распределения случайных величинС каждой случайной величиной можно связать вероятностное пространство (R, B, P F ), где вероятностная мера P F — это мера, функция распределения которой равнаF (x) = P{ω : X(ω) < x}.(9.17)Задача 9.11.
Покажите, что функция, определенная в (9.17), действительно является функцией распределения.Определение 9.16. Функция F (x), определенная равенством (9.17), называется функцией распределения случайной величины X(ω).84В нашем курсе мы будем иметь дело только с двумя основными типами распределений: дискретным и абсолютно непрерывным (см. раздел9.2.3).
Однако заметим, что в общем случае функция распределения —это смесь функций распределений разных типов – дискретного, абсолютно непрерывного, сингулярного. Прочитать об этом можно, например, вучебнике по теории функций ([5]).О свойствах наиболее часто встречающихся распределений можно посмотреть в приложении 1.9.4Математические ожидания случайныхвеличин (Общий случай)Пусть (Ω, A, P) — некоторое вероятностное пространство, X(ω) — элементарная случайная величина, принимающая значения x1 , x2 .
. .(xi 6= xj ∀i 6= j). Обозначим Ak = {ω : X(ω) = xk }. Тогда Ak ∈ A,образуют разбиение Ω иXX(ω) =xk IAk (ω).kОпределение 9.17. Математическим ожиданием элементарной случайной величины X(ω) называется суммаXxk P(Ak ),(9.18)EX =kпричем, для случайных величин, имеющих счетное число значений, рядв (9.18) должен сходиться абсолютно.Замечание.
Требование абсолютной сходимости в определении математического ожидания существенно. Напомним, что сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка суммирования, тогда какусловно сходящиеся ряды таким свойством не обладают. Поэтому, еслив определении математического ожидания не потребовать абсолютнуюсходимость, то эта числовая характеристика может оказаться зависещейот того, каким образом мы перенумеровали значения случайной величины.Далее мы докажем лемму, аналогичную лемме 3.1.Лемма 9.6. Пусть B1 , B2 .
. .— конечное или счетное разбиение Ω, Bl ∈ Aи случайная величина X(ω) постоянна на каждом из Bl , т.е. ее можнопредставить в видеXX(ω) =x0l · IBl (ω).l85ТогдаE X(ω) =Xx0l P(Bl ),(9.19)lесли этот ряд сходится абсолютно.Замечание. В определении математического ожидания (9.18) всезначения случайной величины различны между собой, в (9.19) могутвстречаться одинаковые, т.е. разбиение B1 , B2 . . .
более "мелкое", элементы первого разбиения можно представить в виде объединения событийBl .Доказательство. 1). Пусть ряд (9.19) сходится абсолютно. Тогда егосумма не зависит от порядка суммирования и ряд можно переписатьв другом виде:XX XXXXx0l P(Bl ) =x0l P(Bl ) =xkxk P(Ak ).P(Bl ) =lkl: x0l =xkkl: x0l =xkkЗамечание. Поскольку с абсолютно сходящимися рядами можно поступать также, как с конечными суммами, то при доказательстве безразлично, с какой суммой (конечной или нет ) мы имеем дело.2). Пусть математическое ожидание случайной величины X(ω) существует, тогда его можно переписать в видеXXXXx0l P(Bl ).xk P(Ak ) =xkP(Bl ) =EX =k9.4.1kl: xk =x0llОсновные свойства математического ожиданияСформулируем основные свойства математического ожидания1). Математические ожидания E X и E |X| существуют или не существуют одновременно и | E X| 6 E |X|.2).
Если X > 0, то E X > 0, причем в этом случаеE X = 0 ⇔ P{ω : X(ω) = 0} = 1.3). Если существует E X, то для любой константы c существуетE(cX) = c · E X.864). Если существуют E X, E Y , то существует математическое ожидание суммы этих случайных величин иE(X + Y ) = E X + E Y.5). Пусть Y, X, X1 , X2 . .
. — случайные величины такие, что |Xn (ω)| 6Y (ω), Xn (ω) → X(ω), существует E Y. Тогда существует E X иlim E Xn = E X.n→∞Последнее утверждение носит название теоремы Лебега о мажорируемойсходимости.Замечание. Математическое ожидание можно рассматривать какфункцию, определенную на множестве случайных величин, заданных нанекотором вероятностном пространстве (Ω, A, P). Такого рода функцииназываются функционалами. Данный функционал обладает свойствамилинейности 3), 4), свойством неотрицательности 2). Аналогичными свойствами обладает интеграл.Покажем справедливость свойства 4).Доказательство.
ПустьXxk IAk (ω),X=Y (ω) =Xyl IBl (ω),lkгде x1 , x2 . . . , y1 , y2 . . . — все различные между собой Tзначения случайных величин X и Y . Рассмотрим события Ckl = Ak Bl , на которыхслучайная величина (X + Y )(ω) постоянна и равна xk + yl , но тогдаX(xk + yl )ICkl .X +Y =k,lСледовательно, ее математическое ожидание равно сумме рядаX(xk + yl ) P(Ckl ),E(X + Y ) =k,lесли этот ряд сходится абсолютно. С другой стороны, в силу утверждения леммыXXxk P(Ckl ) E Y =yl (Ckl ),EX =k,lk,lначит,EX + EY =X(xk + yl ) P(Ckl ).k,l87Из абсолютной сходимости первых двух рядов вытекает абсолютная сходимость последнего ряда.Доказательство свойства 5) опирается на глубокие факты сходимостей случайных величин, приводить которые в данном курсе мы не будем.Введем обозначение L1 = L1 (Ω, A, P) для класса случайных величин,определенных на вероятностном пространстве (Ω, A, P) и таких, что существуют элементарная случайная величина X 0 (ω) с конечным математическим ожиданием и константа k, для которой при всех ω|X(ω) − X 0 (ω)| 6 k.В частности, в класс L1 входят все элементарные случайные величины, имеющие конечное математическое ожидание, все ограниченныеслучайные величины ( в этом случае можно взять X 0 (ω) ≡ 0).
Так жекак в теореме о продолжении меры можно доказать, что функционалE X, определенный для элементарных случайных величин и обладающий свойствами 1)–5), может быть продолжен на L1 .Теорема 9.7. На классе случайных величин L1 (Ω, A, P) можно и притом единственным образом определить математическое ожидание E X,так, что для элементарных случайных величин этот функционал совпадает с определенным ранее и для него выполнены свойства 1)–5).Замечание. Обычно в учебниках описывают конструкцию, как строитсяэтот функционал с той или иной степенью строгости. Наиболее полное изложение содержится в учебниках ([10],[8]).
Мы также приведем этапы построенияэтого продолжения.1). Определение и доказательство свойств математического ожидания дляэлементарных случайных величин.2). Согласно теореме 9.5 для любой случайной величины X(ω) существуетнеубывающая последовательность элементарных случайных величин, равномерно сходящаяся к X(ω). В качестве таковой можно к примеру взять Xn∗ (ω)определенную в (9.15):Xn∗ (ω) =X ln .I n2n {l/2 6X(ω)<(l+1)/2 }l∈Z3). Поскольку Xn∗ (ω) 6 X(ω), то для того, чтобы выполнялось свойство 5)математического ожидания, необходимо определить E X(ω) следующим образом:∗E X = lim E Xn (ω).n→∞884). Доказательство свойств математического ожидания для общего случая.Из теорем о математическом ожидании приведем следующие.Теорема 9.8.
Если существует E Y (ω) и для всех ω выполняется неравенство |X(ω)| 6 Y (ω), то существует и математическое ожиданиеслучайной величины X(ω) иE |X(ω)| 6 E Y (ω).Доказательство. Доказательство проведем для элементарных случайных величин. ПосколькуXX|xk | P{X(ω) = xk , Y (ω) = yl } 6yl P{X(ω) = xk , Y (ω) = yl } =k,lk,l=Xyl P{y(ω) = yl } = E Y (ω),lто ряд в левой части неравенства сходится, причем абсолютно, можноизменять порядок суммирования. Но тогдаXX|xk | P{X(ω) = xk , Y (ω) = yl } =|xk | P{X(ω) = xk } = E |X(ω)|.k,lkСхема построения математического ожидания и свойства этого линейного функционала совпадают с построением и свойствами интегралаЛебега. Поэтому часто математическое ожидание записывают как интеграл Лебега:ZX(ω)P (dω).EX =ΩЕсли Ω – числовая прямая (плоскость,евклидово пространство Rd ),то этот интеграл может превратиться в обычный интеграл Римана.
Такесли распределение случайной величины X(ω) абсолютно непрерывно иp(x) – плотность этого распределения, тоZ+∞xp(x)dx,EX =−∞при условии, что интеграл сходится абсолютно.89(9.20)Доказательство.k+1Zn∞Xkp(x)dx =E X = lim E Xn (ω) = limn→∞n→∞nk=−∞knZ∞xp(x)dx − =k+1∞Xknkp(x)dx) =nknk+1Z∞xp(x)dx −=Znxp(x)dx −(k=−∞−∞k+1Zn∞Xk=−∞−∞Zn(x −k)p(x)dx.nknОткуда получаем, чтоZ∞|EX −−∞k+1Zn∞1 X1xp(x)dx| 6p(x)dx = .n k=−∞nknУстремив n → ∞, получим равенство (9.20).Аналогичным образом для произвольной измеримой функции f (x)Z+∞f (x)p(x)dx,E f (X) =−∞если интеграл сходится абсолютно.9.5Независимые случайные величиныОпределение 9.18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
