Ю.В. Прохоров, Л.С. Пономаренко - Лекции по теории вероятностей и математической статистике (1115359), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Первое название связано с общим понятием меры вфункциональном анализе. И тот, и другой термин общеприняты в вероятностной литературе.Определение 9.7. Функция множеств P(A), определенная на A, называется вероятностной мерой ( вероятностью ), если• P(A) > 0 (∀A ∈ A);• P(Ω) = 1;• выполнено свойство счетной аддитивности: для любой последовательности попарно несовместимых событий A1 , A2 . .
.∞S( Ai ∈ A)i=1!∞∞[XAn =PP(An ).i=1i=1Замечание. В этом определении класс A может быть полуалгеброй(кольцом с единицей), алгеброй, σ -алгеброй.Задача 9.4. Покажите, что1) P(∅) = 0,2) для вероятности выполняется свойство конечной аддитивности,3) выполняются свойства вероятности 4 – 7, приведенные в главе 3.Приведем без доказательства теорему, очень важную для построениявсей теории вероятностей.69Теорема 9.1. (О продолжении вероятностной меры.) Пусть P(A)—вероятностная мера, заданная на полукольце с единицей S. Тогда существует и при том только одна вероятностная мера P1 , определеннаяна σ− алгебре B(S), порожденной S, такая, что для ∀A ∈ SP(A) =P1 (A).Другими словами, всякая счетно-аддитивная мера может быть продолжена с полукольца с единицей на наименьшую σ− алгебру, содержащую это полукольцо. Подробнее об этом можно прочитать в учебниках([10],[8]).Из аксиом в определении вероятности можно вывести другие важные свойства вероятностной меры.
Для этого нам понадобятся некоторыевспомогательные утверждения.Лемма 9.3. Пусть S− полукольцои A, A1 , . . . , Am ∈ S,Tпричем все Ai ⊂ A, Ai Aj = ∅, если i 6= j. Тогда найдутсяAm+1 , . . . An ∈ S такие, что событияA1 , . . . Am , Am+1 , . . . Anобразуют конечное разбиение A.Это утверждение почти очевидным образом вытекает из определенияполукольца.Лемма 9.4. Пусть P(A)— вероятностная мера, определенная на полукольце S, A, A1 , .
. . , Am − события, удовлетворяющие условию предыдущей леммы, тогдаmXP(Aj ).P(A) >j=1Доказательство. Дополним A1 , . . . , Am до разбиенияA : A1 , . . . , Am , Am+1 , . . . An . Тогда из свойства счетной аддитивности следует, чтоnmXXP(A) =P(Aj ) >P(Aj ).j=1Лемма 9.5. Пусть A ⊂nSAj ,j=1A, A1 , . . . , An — элементы полукольца сj=11. ТогдаP(A) 6nXj=170P(Aj ).Доказательство. Представим событие A в следующем виде:A=n[(A\Aj ).j=1Из определения полукольца следует, что события Bj = Aэтом Bj попарно несовместимы.Рассмотрим для начала случай n = 2 :[[\A = B1 B2 = B1 (B2 B1 ).TAj ∈ S, приЕсли S— полукольцо с 1 , то, воспользовавшись утверждением леммы 3,получим, что для B1 = Ω r B1 существует конечное разбиение:[ [B1 = C1 .
. . Cl ,такое, что все Ci ∈ S. Но тогдаB2\B1 =l[(B2\Ci ).i=1Следовательно, для A существует конечное разбиение[\[\A = B1 (B2 C1 ) . . . (B2 Cl ),все элементы которого принадлежат полукольцу S. Но тогда в силу леммы 9.5lX\P(B2 Ci ) 6 P(B1 ) + P(B2 ).P(A) = P(B1 ) +i=1По индукции можно доказать справедливость этого неравенства для произвольного n.Поскольку вероятностная мера, определенная на полукольце (алгебре), может быть единственным образом продолжена на порожденнуюэтим полукольцом (алгеброй) σ - алгебру, то в дальнейшем будем считать, что областью определения вероятности является σ - алгебра.Приведем несколько важных свойств вероятностной меры, определенной на σ - алгебре A.71• Свойство 1. Пусть A1 ⊂ A2 ⊂ .
. . ⊂ An ⊂ An+1 ⊂ . . . ∈ A—∞Sнеубывающая последовательность случайных событий, A =An ,n=1тогда P(A) = lim P(An ).n→∞• Свойство 2. Пусть B1 ⊃ B2 ⊃ . . . ⊃ Bn ⊃ Bn+1 ⊃ . . . ∈ A—∞Tневозрастающая последовательность случайных событий, B =Bn .n=1Тогда P(B) = lim P(Bn )n→∞∞S• Свойство 3.
Если A =An ∈ A, то P(A) 6An ,n=1∞PP(An ).n=1Замечание. Эти свойства вытекают из свойства счетной аддитивностивероятностной меры, определенной на σ - алгебре. Первые два называются свойствами непрерывности по монотонным последовательностямсобытий, так как в этих случаях можно считатьA = lim An ,B = lim Bnn→∞n→∞и сформулировать их в другом виде:P( lim An ) = lim P(An )n→∞P( lim Bn ) = lim P(Bn ).n→∞n→∞n→Иногда в определении вероятности свойство счетной аддитивности заменяют двумя свойствами: конечной аддитивностью и непрерывностьювероятности по убывающей к ∅ последовательности событий.
Свойство3 называют свойством полуаддитивности вероятности.Докажем свойство 1.∞SДоказательство. Представим A =An в виде объединения попарноn=1не пересекающихся событий Bn :B1 = A1 ,B2 = A2 \ A1 ,B3 = A3 \ A2 , . . .Bn = An \ An−1 . . .
.Покажем, что A =∞SBnAN =n=1NSA2 = B1A3 = A2Bn . Действительно,n=1[[B3 = B172B2 ,[B2[B3 , . . .Следовательно,P(A) =∞XNXP(Bn ) = limN →∞n=1P(Bn ) = lim P(N →∞n=1N[Bn ) = lim P(AN ).N →∞n=1Свойство 2 выводится из свойства 1, если ввести неубывающую последовательность событийA1 = B1 ,A2 = B2 ,. . . An = Bn , . . . .Докажем свойство 3.1Доказательство.
Снова представим событие A в виде объединения попарно несовместимых событий. Для этого введемB2 = A2 \ A1 ,B1 = A1 ,B3 = A3 \ (A1 ∪ A2 ), . . . , Bn = An \n−1[Ai .i=1Покажем, что∞[∞[An =n=1Если ω0 ∈∞SBn .(9.2)n=1An , то найдется номер n такой, что ω0 ∈ An . Среди такихn=1номеров выберем наименьший — n0 . Тогда при всех n < n0тогда ωn0 ∈ Bn0 ( по определению Bn0 .) Следовательно, ωn0∞SПокажем обратное включение. Пусть ω1 ∈ω∈/ An .
Но∞S∈Bn .n=1Bn . Тогда найдетсяn=1номер n1 такой, что ω1 ∈ Bn1 . Поскольку Bn1 ⊂ An1 по построению, то∞Sωn1 ∈ An1 ⊂An , что и доказывает (9.2), следовательно,n=1P(∞[n=11An ) = P(∞[n=1Bn ) =∞Xn=1P(Bn ) 6∞XP(An ).n=1Сравни с доказательством свойства вероятности 7, приведенном в главе 3.739.2Вероятностные меры в евклидовых пространствахОстановимся подробнее именно на этом случае, поскольку именно ончаще всего используется в приложениях теории вероятностей и в математической статистике.Пусть Ω = Rd , A = Bd — наименьшая σ -алгебра, содержащая полуинтервалы (параллелепипеды ).9.2.1Вероятностные распределения на прямойРассмотрим сначала задание вероятностной меры P на числовой прямой(d = 1).Определение 9.8. Функцией распределения, соответствующей мере P,называется функция FP (x) действительной переменной x, которая в каждой точке определяется какFP (x) = P{(−∞; x)}.Всякая функция распределения обладает следующими свойствами:1) FP (x)— неубывающая функция x;2) в любой точке x FP (x) непрерывна слева, т.е.
FP (xn ) → FP (x),если xn ↑ x;3) 0 6 FP (x) 6 1, причем lim FP (x) = 0,x→−∞lim FP (x) = 1.x→+∞При доказательстве этих свойств функций распределения используютсясвойства вероятностных мер и равенствоFP (x + h) − FP (x) = P([x; x + h)),(9.3)справедливое при всех h > 0. Приведем доказательство свойства 3.Доказательство. Пусть xn ↑ +∞.
Обозначим An = (−∞; xn ). Легковидеть, что[A1 ⊂ A 2 ⊂ . . . ;An = (−∞; +∞).nПрименив одно из свойств непрерывности вероятности, имеемP(An ) = FP (xn ) → P(−∞; +∞) = 1.74Задача 9.5. Проведите самостоятельно доказательство остальных свойстввероятности.Замечание. Понятие функции распределения используется также вкурсе функционального анализа для неубывающих функций с ограниченной вариацией, непрерывных слева.Определение 9.9.
Функцией распределения называют всякую функцию, обладающую свойствами 1) – 3) на стр. 74.Оказывается, что каждая функция распределения порождает вероятностную меру и при том только одну.Между классом функций распределения и множеством вероятностных мер существует взаимно однозначное соответствие.Если F (x) — функция распределения, то соответствующую ей меру PFопределим согласно равенствам:P F ([a; b)) = F (b) − F (a),P F ([a; +∞)) = 1 − F (a),P F ((−∞; b)) = F (b),P F ((−∞; +∞)) = 1.(9.4)Поскольку мера PF определена на полуинтервалах, образующих полукольцо с единицей, то доказав счетную аддитивность, можно утверждать,что она допускает единственное продолжение на борелевскую алгебрумножеств на прямой.Замечание.
В некоторых учебниках ( например, [10],[8] ) функцияраспределения определяется как FP (x) = P((−∞; x]), Отличие в свойствах этих функций только в том, что таким образом определенная функция оказывается непрерывной справа. Все остальные свойства остаютсябез изменений.
Функция PF , определяемая соотношениями (9.4), обладает также свойствами:1) ∀4 ∈ SPF (4) > 0;2) PF (R1 ) = 1;3) счетно - аддитивна на S.Доказательство. Первые два свойства очевидным образом следуют изопределения меры, легко видеть также, что выполняется свойство конечной аддитивности. Докажем счетную аддитивность.NST4n , 4i 4j 6= ∅. Тогда согласно лемме 9.4Пусть 4 ⊃n=1P F (4) >NXn=175P F (4n ).(9.5)Рассмотрим полуинтервал 4 =∞S4n , представляющий объединениеn=1попарно не пересекающихся интервалов 4n = [an ; bn ), тогда для любогоN выполняется (9.5).
Переходя к пределу при N → ∞,P F (4) >∞XP F (4n ).(9.6)n=1Покажем теперь, что справедливо также противоположное неравенство.Рассмотрим только случай конечного полуинтервала 4 = [a; b). Востальных случаях рассуждения аналогичны, можете провести их самостоятельно.Пусть λ, λ1 , .
. . , λn > 0 — пока произвольные достаточно малые числа,для которых существуют определяемые ниже промежутки. Рассмотрим40 = [a; b − λ] ⊂ [a; b), 40n = (an − λn ; bn ) ⊃ [an ; bn ). Система открытыхинтервалов 40n образует покрытие отрезка 40 . По лемме Гейне – Бореля из этой системы интервалов можно выделить конечную подсистему40n1 , . . . , 40nk , также покрывающую 40 , т.е.k[40 ⊂40nj .j=1В силу леммы (9.5)0P F (4 ) 6kX0P F (4nj ) 6∞X0P F (4n ).n=1j=1Из определения меры PF на полуинтервалах получаемF (b − λ) − F (a) 6∞X(F (bn ) − F (an − λn )) =n=1=∞X(F (bn ) − F (an )) +n=1∞X(F (an ) − F (an − λn )).n=1Поскольку функция распределения F (x) непрерывна слева во всех точках x, то для ∀ε > 0 и ∀n можно выбрать λn таким образом, чтобыε0 6 F (an ) − F (an − λn ) < n .2Но тогдаF (b − λ) − F (a) <∞X0P F (4n ) +n=176∞∞XXε0=P F (4n ) + ε.n2n=1n=1Устремив ε → 0+, получимF (b − λ) − F (a) 6∞XP F (4n ).n=1Поскольку λ > 0 – произвольно, то можно также перейти к пределу приλ → 0 + .
Из непрерывности функции распределения слева в каждойточке следует, чтоP F ([a; b)) = F (b) − F (a) 6∞XP F (4n )(9.7)n=1Учитывая одновременное выполнение неравенств (9.5), (9.7), получимP F (4) =∞XP F (4n ),n=1т.е. мера PF , определенная на полукольце интервалов, счетно - аддитивна, и следовательно, допускает единственное продолжение на σ – алгебруB1 , порожденную этим полукольцом.Таким образом доказана следующаяТеорема 9.2. Пусть F (x) — функция распределения. Тогда существуетединственная вероятностная мера PF , определенная наборелевской σ – алгебре B0 , для которой F (x) является ее функциейраспределения.9.2.2Вероятностные распределения на плоскости ив пространствеПусть теперь Ω = R2 , σ-алгебра случайных событий — борелевские множества из B2 , P — вероятностная мера на B2 .Определение 9.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
