Ю.В. Прохоров, Л.С. Пономаренко - Лекции по теории вероятностей и математической статистике (1115359), страница 7
Текст из файла (страница 7)
+ E IN = p1 + . . . + pN ,D µN = D I1 + . . . + D IN = p1 q1 + . . . + pN qN .Производящая функция случайной величины µN равнаE(zµN)=NYEzIAjj=1NY=(qj + zpj ).j=140Коэффициенты разложения производящей функции по степеням z — этовероятности P{µN (ω) = k}.В частности, если p1 = p2 = . . . = pN = p, q = 1 − p, тоE(zµNN) = (q + zp) =NXCNk pk q N −k z k .k=0Следовательно, в этом случаеk k N −k,P{ω : µN (ω) = k} = CN p q0 ≤ k ≤ N.Такое распределение вероятностей называют биномиальным с параметрами (N, p), так как вероятности в этом случае определяются по формулам бинома Ньютона для (p + q)N .В общем случае, когда вероятности событий Ak не все равны междусобой, формулы получаются громоздкими.Описанная выше модель называется схемой Бернулли для равныхвероятностей и схемой Пуассона в общем случае.6.2Неравенства ЧебышеваВ дальнейшем нам понадобятся две теоремы, носящие имя известногорусского математика П.Л.Чебышева (1821-1894 гг.), выпускника Московского университета, академика, члена многих академий мира.
П.Л.Чебышевсоздал метод математических ожиданий, благодаря которому упростились и стали возможными доказательства многих теорем.Лемма 6.1. Пусть случайная величина Y ≥ 0,положительное число. ТогдаP{ω : Y (ω) ≥ ε} ≤ε > 0 – произвольноеEY.ε(6.1)Доказательство. Обозначим A = {ω : Y (ω) ≥ ε}. Тогда справедливоравенствоIA (ω) + IA (ω) = 1.Умножим обе части этого равенства на Y, получимY (ω) = Y (ω)IA (ω) + Y (ω)IA (ω).Второе слагаемое неотрицательно, а первое можно оценить следующимобразом:Y (ω)IA (ω) ≥ εIA (ω).41Но тогдаE Y (ω) ≥ E(Y (ω)IA (ω)) ≥ ε · P(A),откуда и вытекает утверждение леммы.Теорема 6.1. ( Неравенство Чебышева)Пусть X – случайная величина, E X = a,P{ω : |X(ω) − a| ≥ ε} ≤ε > 0. ТогдаDX.ε2Доказательство.
Обозначим Y = (X − a)2 ≥ 0. Проводя простые преобразования и используя утверждение леммы, получим2P{|X − a| ≥ ε} = P{Y ≥ ε } ≤EYDX= 2 .2εεЗамечание. Введем еще одну числовую характеристику распреде√ления случайной величины X — стандартное отклонение σX = D X.Стандартное отклонение также как и дисперсия является характеристикой рассеяния значений случайной величины, но имеет ту же размерность, что и сама случайная величина X. Рассмотрим ε = tσX , t > 0.Тогда из неравенства Чебышева следует, что вероятность отклонений,1превышающих по абсолютной величине стандартное в t раз, не превосходит t12 :1DXP{|X − a| ≥ tσX } ≤ 2 2 = 2 ,t σXtа вероятность отклонений, в t раз меньших стандартного, наоборот, больше 1 − t12 :1P{|X − a| < tσX } ≥ 1 − 2 .tТеорема 6.2.
( Экспоненциальное неравенство Чебышева)Для любого h > 0P{ω : X(ω) ≥ ε} ≤E ehX.ehεДоказательство. Действительно,hXhεP{X(ω) ≥ ε} = P{e ≥ e }.Применяя теперь лемму 6.1 к случайной величине Y = ehX , получимнужное неравенство.1Отклонением X (может быть неудачный, но принятый термин) называют разность X − E X.42Замечание. В обоих случаях неравенства удобны для изучения распределений сумм независимых случайных величин, так как дисперсиив этом случае складываются, а производящие функции моментов перемножаются.6.3Отклонения сумм независимых случайных величинПрименим неравенство Чебышева к суммам независимых случайных величин.Пусть X1 , X2 .
. . - последовательность независимых случайных величин, для которых E Xk = ak , D Xk = b2k . ВведемSN = X1 + . . . + XN ,AN = E SN = a1 + . . . + aN ,BN = D SN = b21 + . . . + b2N .Тогдаp1BN } ≤ 2(6.2){ω:|S−A|≥tPNNtВ действительности во многих случаях вероятность (6.2) при большихзначениях t можно оценить гораздо точнее.Пример 6.1. Рассмотрим независимые случайные величины X1 , . .
. , XN ,каждая из которых принимает значения 1 и −1 с вероятностями1P{Xk = 1} = P{Xk = −1} = .2Для этих случайных величин AN = E SN = 0, BN = D SN = N. Нотогда√1P{ω : |SN | ≥ t N } ≤ 2 .tВ данном случае, как это будет показано ниже, вероятность можно оце2нить сверху величиной 2e−t /2 , что при больших и даже не слишком боль2ших t гораздо меньше. Так для t = 4 t12 = 0.0625, а 2e−t /2 = 0.000671,2при t = 5 t12 = 0.04, e−t /2 = 7.453 · 10−6 .Для получения более точной оценки понадобится экспоненциальноенеравенство Чебышева.
Заметим также, что в силу симметричности распределений отдельных слагаемых Xk сумма SN также имеет симметричное распределение (вероятности противоположных по знаку значений43равны ), но тогдаP{ω : |SN | ≥ k} = 2 P{ω : SN ≥ k}для любого положительного числа k. Следовательно, при всех h > 0√E ehSNP{ω : |SN | ≥ t N } ≤ 2 ht√N .e(6.3)Вычислим производящую функцию моментов:hSEe N =NNYY11( eh + e−h ) =ch h = (ch h)N ,22j=1j=1где ch h обозначает косинус гиперболический числа h.
Перепишем (6.3)в виде√√−ht N· (ch h)N = 2f (h).P{|SN | ≥ t N } ≤ 2eВыберем теперь h таким образом, чтобы минимизировать f (h). Поскольку минимумы функций f (h) и ln f (h) достигаются одновременно, то достаточно это сделать для√tg(h) = ln f (h) = −ht N + N ln ch h = N (−h √ + ln ch h).NТочное решение этой задачи легко выписать, но вид этого решения неудобен для дальнейшего анализа.
Можно поступить следующим образом:оценить g(h) сверху более простой функцией и выбрать h, минимизирующее эту более простую функцию.Обозначим ε = √tN , тогда функцию g(h) можно переписать следующим образом:g(h) = N (−εh + ln ch h).Вычислим первые две производные функции ln ch h = u(h):sh hu (h) =,ch h0ch2 h − sh2 h1u (h) == 2 .2ch hch h00Поскольку при всех h ch h ≥ 1, тоu(h) = u(0) + hu0 (0) +h2 00h2u (θh) ≤ ,22Следовательно,g(h) ≤ N (−εh +44h2).2(θ ∈ (0, 1)) .Выберем теперь h = ε, чтобы минимизировать правую часть неравенства. Получим√−N ε2 /2.P{|SN | ≥ t N } ≤ 2eВспоминая теперь, что ε =√t ,Nполучаем необходимое неравенство√2−tP{|SN | ≥ t N } ≤ 2e 2 .Замечание.
Доказательство последнего неравенства более полно использовало независимость случайных величин, а именно свойство производящей функции моментов, а также более сильное экспоненциальноенеравенство Чебышева. Это позволило в конечном итоге получить гораздо более сильный результат, чем в неравенстве (6.2).Пример 6.2. Рассмотрим генуэзскую лотерею с точки зрения игрока.Допустим, что игрок делает ставку на пару номеров (i, j).
Выигрыш игрока в k- ом тираже составляет2,270M с вероятностью p = 801Xk =,0с вероятностью 1 − p = 799801где M - ставка игрока. Обозначим Xk0 = Xk − M – изменение капиталаигрока после k -ого тиража, тогда суммарное изменение капитала послеN тиражей запишется как0SN= X10 + X20 + . . . + XN0 .Поскольку0E Xk = E Xk − M =54029M − M = − M ≈ 0.3258M,80189022D Xk = D Xk = 270 · M pq,√σXk0 = 270 · M pq ≈ 13.4747 · M,тоE SN 0 ≈ −0.3258 · M N,√p00σN= D SN≈ 13.4747 · M N .Выберем t > 0. Тогда из неравенства Чебышева имеем000P{ω : |SN − E SN | < tσSN0 } ≥ 1 −451.t2Раскрыв модуль, получаем, что для любого t > 000000P{E SN − tσN < SN < E SN + tσN } ≥ 1 −1.t2Для игрока важен ответ на вопрос: при каком N вероятность отрицательных значений изменения капитала (т.е.
проигрыша ) близка к 1?Например, если t = 5, то 1 − t12 = 0.96. Но тогда с вероятностью 0.96 ибольшей√√0< −0.3258M N + 5 · 13.4747M N .−0.3258M N − 5 · 13.4747 · M N < SNНевыгодность игры для игрока становится заметной не сразу, хотя ясно,что начиная с некоторого N (N > ( 5·13.4747)2 ), правая часть неравенства0.3258становится отрицательной. На самом деле до разорения понадобится Nзначительно меньше, как это следует из уточнения неравенства Чебышева.
Для устроителей лотереи игра выгодна, поскольку участвуют вкаждом розыгрыше много участников и в этом случае можно считать Nизначально большим.Изменение капитала игрока можно изобразить графически. На рис.6.1Рис. 6.1: График изменения капиталла игрока с ростом числа тиражей.случайная ломаная показывает значение капиталла игрока после каждого тиража. Если ломаная достигает в какой-либо момент оси абсцисс, тоэто означает, что в данный момент произошло разорение игрока.Аналогичный вид имеют траектории, описывающие деятельность страховых компаний. Несколько позже мы рассмотрим подробно задачу о разорении игрока при игре в орлянку, где также появятся похожего видатраектории.46Глава 7Закон больших чиселВ этой главе мы применим неравенство Чебышева к доказательству предельных теорем, касающихся поведения арифметического среднего случайных величин.Функции от большого числа случайных переменных часто бывают"почти постоянными".
В теории вероятностей утверждения о предельном постоянстве каких-либо случайных величин относят к законам больших чисел. В нашей книге ( см. также главу 10 ) мы познакомимсяс несколькими такими утверждениями. Теоремы подобного рода оченьважны для приложений теории вероятностей, поскольку позволяют установить достаточные условия, при которых можно считать соответствующие случайные величины практически неизменными и на этом основании строить расчеты и прогнозы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
