Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1115308), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Случайная величина ξ имеет дискретное распределение тогда и только тогда, когда функция распределения Fξ (x) имеетв точках ai скачки с величиной pi = P(ξ = ai ) = Fξ (ai + 0) − Fξ (ai ),и растёт только за счёт скачков.У п р а ж н е н и е . Доказать, что любая функция распределения имеетне более чем счётное число точек разрыва (или «скачков»).
Сколько скач-§ 6. Свойства функций распределения67ков с величиной более 1/2 может иметь функция распределения?А скачков с величиной более 1/3 ? Более 1/4 ?Свойства абсолютно непрерывного распределения. Пусть случайная величина ξ имеет абсолюлютно непрерывное распределение с плотностью fξ (t).
Тогда функция распределения в любой точке x может бытьнайдена по плотности распределения так:ZxFξ (x) = P(ξ < x) = P(ξ ∈ (−∞, x)) =fξ (t) dt.(14)−∞Поскольку функция распределения однозначно определяет распределениеслучайной величины, можно считать возможность представить функциюраспределения интегралом (14) от неотрицательной функции определением абсолютно непрерывного распределения.С в о й с т в о 11. Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то её функция распределения всюду непрерывна.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Этот факт следует из свойств 7 и 8. Заметим,что оно есть также следствие представления (14) и непрерывности интеграла как функции верхнего предела.С в о й с т в о 12. Если ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то её функция распределения дифференцируема почти всюду,fξ (x) = Fξ0 (x) =dF (x) для почти всех x.dx ξЗ а м е ч а н и е . Термин для «почти всех» означает «для всех, кроме(возможно) x из некоторого множества нулевой меры Лебега».Заметим, что любая функция распределения дифференцируема почтивсюду.
Например, функции распределения равномерного распределенияи распределения Бернулли дифференцируемы всюду, кроме двух точек.Но у равномерного распределения плотность существует, а у распределения Бернулли — нет. Поэтому возможность дифференцировать функциюраспределения никакого отношения к существованию плотности не имеет.Даже если мы дополнительно потребуем непрерывности функции распределения, этого не будет достаточно для абсолютной непрерывности распределения. Например, далее мы увидим, что функция распределения сингулярного распределения непрерывна и дифференцируема почти всюду, однако плотности у этого распределения нет, так как производная функциираспределения почти всюду равна нулю.68ГЛАВА V.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯОпираясь на свойство 12 и формулу (14), можно сформулировать такой критерий абсолютной непрерывности распределения: распределение сфункцией распределения Fξ (x) абсолютно непрерывно, если при всех xZxFξ (x) =Fξ0 (t) dt.−∞Наконец, очевидным следствием определения абсолютно непрерывногораспределения и свойства 11 является следующее свойство.С в о й с т в о 13.
Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то для любых a < b имеют место равенства:ZbP(a < ξ < b) = P(a 6 ξ < b) = P(a < ξ 6 b) = P(a 6 ξ 6 b) = fξ (t) dt.aФункция распределения сингулярного распределения. Дляполноты картины посмотрим, какие свойства имеет функция распределения сингулярного распределения. По определению 25, случайная величина ξ с сингулярным распределением принимает с единичной вероятностью лишь значения из некоторого борелевского множества B с нулевойлебеговой мерой. Поэтому P(ξ ∈ R \ B) = 0. Но по свойству (9), еслиP(ξ ∈ [a, b)) = 0, то Fξ (b) = Fξ (a).
Это означает, что расти функцияраспределения может лишь в точках множества B. На всём остальноммножестве R \B функция распределения имеет почти всюду нулевую производную. Тем не менее, Fξ (x) всюду непрерывна, поскольку P(ξ = x) = 0для любой точки x ∈ R. Примером такой функции распределения служитлестница Кантора (рис. 11).Fξ (x)1 6-013231xРис.
11. Лестница КантораФункция распределения смешанного распределения. Функцияраспределения смешанного распределения есть линейная комбинация69§ 7. Свойства нормального распределенияфункций распределения дискретного, абсолютно непрерывного и сингулярного распределений. Если смешивать дискретное и абсолютно непрерывное распределения, то функция распределения будет иметь скачки вточках значений дискретного распределения и участки непрерывного роста, приращение на которых восстанавливается по её производной.§ 7. Свойства нормального распределенияРассмотрим отдельно свойства самого главного распределения. Сначала установим связь между функциями Φa, σ2 (x) и Φ0, 1 (x).С в о й с т в о 14.
Для любого x ∈ R справедливо соотношение:x−a.Φa, σ2 (x) = Φ0, 1σД о к а з а т е л ь с т в о. Действительно,ZxΦa, σ2 (x) =x−a−(t−a)2 / 2σ21√eσ 2πZσdt =−∞Мы сделали замену переменных y =21√e−y / 2 dy = Φ0, 12πx−aσ.−∞t−aσ, dt = σ dy, верхняя границаx−aинтегрирования t = x при такой замене перешла в y =.σТо же самое для случайных величин можно сформулировать так:= Na, σ2 , то η =С л е д с т в и е 2.
Если ξ ⊂ξ−aσ= N0, 1 .⊂Д о к а з а т е л ь с т в о. Убедимся, что случайная величина η имеетфункцию распределения Φ0, 1 (x) :ξ−aFη (x) = P(η < x) = P< x = P(ξ < σx + a) =σσx + a − a= Φa, σ2 (σx + a) = Φ0, 1= Φ0, 1 (x).σ= Na, σ2 , тоС л е д с т в и е 3. Если ξ ⊂P(x1 < ξ < x2 ) = Φa, σ2 (x2 ) − Φa, σ2 (x1 ) = Φ0, 1x2 − aσ− Φ0, 1x1 − aσ.Видим, что вычисление любых вероятностей для нормально распределённой случайной величины сводится к вычислению функции распределения Φ0, 1 (x). Она обладает следующими свойствами (нарисуйте их награфике плотности стандартного нормального распределения).С в о й с т в о 15. Φ0, 1 (0) = 0,5,Φ0, 1 (−x) = 1 − Φ0, 1 (x).70ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ= N0,1 , то для любого x > 0С в о й с т в о 16.
Если ξ ⊂P(|ξ| < x) = 1 − 2Φ0, 1 (−x) = 2Φ0, 1 (x) − 1.Д о к а з а т е л ь с т в о. При x > 0 имеемP(|ξ| < x) = P(−x < ξ < x) = Φ0, 1 (x) − Φ0, 1 (−x) == 1 − 2Φ0, 1 (−x) = 2Φ0, 1 (x) − 1.= Na, σ2 , тоС в о й с т в о 17 (п р а в и л о т р ё х с и г м).
Если ξ ⊂P(|ξ − a| > 3σ) = 0,0027 (совсем мало).Д о к а з а т е л ь с т в о. Перейдём к противоположному событию:ξ−aP |ξ − a| > 3σ = 1 − P |ξ − a| < 3σ = 1 − P <3 .σξ−aНо величина η =имеет стандартное нормальное распределениеσи можно использовать свойство 16:1 − P(|η| < 3) = 2Φ0, 1 (−3) = 2 · 0,00135 = 0,0027.Число Φ0, 1 (−3) = 0,00135 полезно отыскать в таблице.Большого смысла в запоминании числа 0,0027 нет, но полезно помнить,что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границахот a − 3σ до a + 3σ.Г Л А В А VIПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
. . По данному соотношению между флюентами определитьсоотношение между флюксиями.И. Ньютон. Метод флюксий и бесконечных рядов. . .§ 1. Измеримость функций от случайных величинПусть на вероятностном пространстве hΩ, F, Pi задана случайная величина ξ. Если g(ξ) — случайная величина, то полезно уметь находитьраспределение g(ξ) по распределению ξ. Эта проблема возникает, например, при моделировании случайных величин с заданным распределением. Датчик случайных чисел может генерировать лишь значения случайных величин с равномерным распределением. Если же нам необходимы значения показательно распределённой случайной величины, нужнонайти преобразование, которое из равномерного распределения сделаетпоказательное.Вопрос об измеримости g(ξ) решает следующая теорема.Т е о р е м а 24. Пусть ξ — случайная величина, а g : R → R — борелевская (измеримая по Борелю) функция, т.
е. такая, что для всякогоборелевского множества B его прообраз g −1 (B) есть снова борелевскоемножество. Тогда g(ξ) — случайная величина.Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверим, что прообраз любого борелевскогомножества при отображении g(ξ) : Ω → R является событием. Возьмёмпроизвольное B ∈ B(R) и положим B1 = g −1 (B).
Множество B1 борелевское, так как функция g измерима по Борелю. Но тогда (g(ξ))−1 (B) == ξ−1 (B1 ). Это множество принадлежит F, поскольку B1 — борелевскоемножество и ξ — случайная величина.Борелевскими являются все привычные нам функции. Функцией, неизмеримой по Борелю, будет, например, индикаторная функция неизмери-72ГЛАВА VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНмого множества Витали.
Вообще говоря, неизмеримые функции суть объекты экзотические, в обычной жизни не встречающиеся.§ 2. Распределения функций от случайных величинЛинейные и монотонные преобразования. Если ξ имеет дискретное распределение, то для любой g(ξ) также имеет дискретное распределение, и таблица её распределения находится просто по определению. Поэтому мы будем рассматривать преобразования случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями.Пусть случайная величина ξ имеет функцию распределения Fξ (x)и плотность распределения fξ (x).
Построим с помощью борелевской функции g : R → R случайную величину η = g(ξ). Требуется найти плотностьраспределения величины η (если таковая существует).З а м е ч а н и е . Плотность распределения случайной величиныη = g(ξ) существует далеко не при любых функциях g. Так, еслифункция g кусочно-постоянна, то η имеет дискретное распределение.У п р а ж н е н и е . Привести пример плотности распределения fξ (x)и непрерывной функции g таких, что η = g(ξ) имеет: а) дискретное распределение; б) невырожденное дискретное распределение.Для отыскания плотности распределения мы не можем просто продифференцировать функцию распределения, поскольку не знаем, существуетли плотность.
Следует доказать, что распределение абсолютно непрерывно. Но доказывая это, мы попутно найдём и плотность распределения.Действительно, у нас есть следующий путь доказательства абсолютнойнепрерывности распределения. Если для любого x мы представим функцию распределения величины η в видеZxh(y) dy, где h(y) > 0,Fη (x) =−∞то в качестве плотности распределения величины η можно взять подынтегральную функцию: fη (x) = h(x). Другой путь — продифференцироватьфункцию распределения и убедиться, что производная является плотностью распределения, т. е. обладает свойствами (f1) и (f2).Т е о р е м а 25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
