Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1115308), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Соберём в множествеA = {B ⊆ R | ξ−1 (B) ∈ F} все такие подмножества B вещественной прямой, что их прообразы являются событиями. По определению, B ∈ Aтогда и только тогда, когда множество ξ−1 (B) принадлежит F.Множество A уже содержит все интервалы (a, b). Покажем, что множество A является σ -алгеброй.1. Убедимся, что R ∈ A. Но ξ−1 (R) = Ω ∈ F и, следовательно, R ∈ A.2. Убедимся, что B ∈ A для любого B ∈ A.
Пусть ξ−1 (B) ∈ F. Тогдаξ−1 (B) = {ω | ξ(ω) 6∈ B} = Ω \ ξ−1 (B) ∈ F, так как F — σ -алгебра.51§ 1. Случайные величины3. Убедимся, что B1 ∪ B2 ∪ . . . ∈ A для любых B1 , B2 , . . . ∈ A.Пусть ξ−1 (Bi ) ∈ F для всех i > 1. Но F — σ -алгебра, поэтому ∞ n o∞∞SS−1 SξBi =ξ−1 (Bi ) ∈ F.Bi = ω ξ(ω) ∈i=1i=1i=1Мы доказали, что A — σ -алгебра и содержит все интервалы на прямой. Но B(R) — наименьшая из σ -алгебр, содержащих все интервалы напрямой. Следовательно, B(R) ⊆ A.Приведём примеры измеримых и неизмеримых функций.П р и м е р 36.
Подбрасываем кубик. Пусть Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и двефункции из Ω в R заданы так: ξ(ω) = ω, η(ω) = ω2 .Пока не задана σ -алгебра F, нельзя говорить об измеримости. Функция, измеримая относительно какой-то σ -алгебры F, может не быть таковой для другой F.1. Если F есть множество всех подмножеств Ω, то ξ и η являютсяслучайными величинами, поскольку любое множество элементарных исходов принадлежит F, в том числе и {ω | ξ(ω) ∈ B} или {ω | η(ω) ∈ B}.Можно записать соответствие между значениями случайных величин ξ иη и вероятностями принимать эти значения в виде таблицы распределениявероятностей или, короче, таблицы распределения :ξ1 2 3 4 5 6η1 4 9 16 25 36P16P1616161616161616161616Здесь P(ξ = 1) = .
. . = P(ξ = 6) = P(η = 1) = . . . = P(η = 36) = 16 .2. Пусть σ -алгебра событий F состоит из четырёх множеств:F = Ω, ∅, {1, 3, 5}, {2, 4, 6} ,(10)т. е. событием является, кроме достоверного и невозможного событий, выпадение чётного или нечётного числа очков. Убедимся, что при такой сравнительно бедной σ -алгебре ни ξ, ни η не являются случайными величинами. Возьмём, скажем, B = {4}. Видим, что {ω | ξ(ω) = 4} = {4} 6∈ F и{ω | η(ω) = 4} = {2} 6∈ F.У п р а ж н е н и е : а) описать все функции, измеримые относительноσ -алгебры F из (10);б) доказать, что ξ и η не являются случайными величинами, если F == {Ω, ∅} — тривиальная σ -алгебра;в) доказать, что относительно тривиальной σ -алгебры измеримы только функции вида ξ(ω) = c (постоянные).52ГЛАВА V.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯП р и м е р 37. Пусть Ω = [0, 2π], F = B(R) ∩ [0, 2π] — сигма-алгебраборелевских подмножеств отрезка [0, 2π], P(B) = λ(B)/2π — геометрическая вероятность на F и A — неизмеримое множество Витали, построенное нами в примере 20 (с. 25). Функция(1, если ω ∈ A,ξ(ω) = IA (ω) =0, если ω 6∈ Aне является случайной величиной, поскольку, например, прообраз единицы {ω | ξ(ω) = 1} = A не принадлежит F. И вероятность для ξ попастьв единицу P(ξ = 1) = λ(A)/2π просто не существует.Познакомимся с важным понятием — «распределение» случайной величины и опишем различные типы распределений случайных величин.§ 2.
Распределения случайных величинО п р е д е л е н и е 22. Распределением случайной величины ξ называется вероятностная мера µ(B) = P(ξ ∈ B) на множестве борелевскихподмножеств R.Можно представлять себе распределение случайной величины ξ каксоответствие между множествами B ∈ B(R) и вероятностями P(ξ ∈ B).Распределения случайных величин суть основные объекты изученияв теории вероятностей. Мы не будем, как правило, интересоваться тем,из какого множества действует функция и каким именно элементарнымисходам сопоставляет свои возможные значения. Нас будет интересовать лишь, с какой вероятностью эти значения принимаются. Приведёмнесколько примеров совершенно разных случайных величин, имеющих одно и то же распределение (одинаково распределённых).П р и м е р 38.
Один раз бросается правильная монета. ПространствоΩ состоит из двух элементарных исходов — герб и решка. В качествеσ -алгебры рассмотрим множество всех подмножеств Ω, вероятность зададим как в классической схеме. Положимξ(ω) = 1, если ω = герб, и ξ(ω) = 0, если ω = решка;η(ω) = 0, если ω = герб, и η(ω) = 1, если ω = решка.Очевидно, что для любого множества B ⊆ R вероятности принадлежать B для ξ и для η одинаковы. Тем не менее ни для одного элементарного исхода ω значения ξ(ω) и η(ω) не совпадают.
Иными словами, ξи η одинаково распределены, но не одинаковы как функции.П р и м е р 39. Точка наудачу бросается на отрезок [0, 1]. В этом случае Ω есть отрезок [0, 1] с σ -алгеброй борелевских подмножеств [0, 1]§ 2. Распределения случайных величин53и мерой Лебега в качестве вероятности. Читатель убедится, что две совершенно разные функции: ξ(ω) = ω и η(ω) = 1 − ω (расстояния до упавшейточки от левого и от правого концов отрезка соответственно) обладаютодинаковыми вероятностями принимать значения внутри любых борелевских множеств B.
Вероятности эти равны мере Лебега пересечения множеств B и [0, 1]. Эти случайные величины одинаково распределены, ноне одинаковы: их значения совпадают лишь при одном элементарном исходе ω = 0,5 (нарисовать графики функций ξ(ω) и η(ω)).П р и м е р 40. На том же отрезке Ω = [0, 1] построим две функции:ξ(ω) = 0 при всех ω; η(ω) = 0 при всех ω, кроме ω = 0,5, а в точкеω = 0,5 положим η(ω) = −17.Поскольку мера Лебега точки (она же — вероятность) равна нулю, распределения величин ξ и η одинаковы. Теперь ξ(ω) и η(ω) снова не совпадают как функции, но отличаются их значения лишь на множестве нулевой вероятности — только в точке ω = 0,5. В этом случае говорят, чтоξ и η совпадают «почти наверное»: P(ξ = η) = 1.Опишем различные типы распределений случайных величин. Вся вероятностная масса может быть сосредоточена в нескольких точках прямой,а может быть «размазана» по некоторому интервалу или по всей прямой.В зависимости от типа множества, на котором сосредоточена вся единичная вероятностная масса, распределения делят на дискретные, абсолютнонепрерывные, сингулярные и их смеси.О п р е д е л е н и е 23.
Случайная величина ξ имеет дискретное распределение, если существует конечный или счётный набор чиселa1 , a2 , . . . такой, чтоP(ξ = ai ) > 0 для всех i,∞XP(ξ = ai ) = 1.i=1Итак, случайная величина ξ имеет дискретное распределение, если онапринимает не более чем счётное число значений.
Значения эти иначе называют атомами: ξ имеет атом в точке x, если P(ξ = x) > 0.Если случайная величина ξ имеет дискретное распределение, то длялюбого B ⊆ RXP(ξ ∈ B) =P(ξ = ai ).ai ∈BДискретное распределение удобно задавать следующей таблицей, в которой pi = P(ξ = ai ) :54ГЛАВА V.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯξPa1p1a2p2a3p3......О п р е д е л е н и е 24. Cлучайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция fξ (x)такая, что для любого борелевского множества B имеет место равенство:ZP(ξ ∈ B) = fξ (x) dx.BФункцию fξ (x) называют плотностью распределения величины ξ.З а м е ч а н и е . Интеграл выше есть интеграл Лебега, а не Римана.Вполне достаточно, если читатель, не знакомый с интегралом Лебега,будет представлять его себе просто как площадь под графиком подынтегральной функции над множеством B.
При этом площадь над множеством B, имеющим нулевую меру Лебега, равна нулю. Заметим, чтолюбая функция, отличающаяся от функции fξ (x) лишь в конечном илисчётном числе точек (или на множестве нулевой меры Лебега), будет являться плотностью того же распределения, так как интеграл не изменитсяот изменения подынтегральной функции на множестве меры нуль.Т е о р е м а 19. Плотность распределения обладает свойствами:∞Zfξ (t) dt = 1.(f1) fξ (x) > 0 для любого x ;(f2)−∞Д о к а з а т е л ь с т в о. Свойство (f1) выполнено по определению плотности, свойство (f2) также следует из определения 24.
Действительно, еслив качестве борелевского множества B взять всю числовую прямую, получим:ZP(ξ ∈ R) = 1 = fξ (x) dx.RЭти два свойства полностью характеризуют класс плотностей.Т е о р е м а 20. Если функция f обладает свойствами (f1) и (f2),то существует вероятностное пространство и случайная величина ξна нём, для которой f является плотностью распределения.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть Ω — область, заключенная между осьюабсцисс и графиком функции f. Площадь области Ω равна единицепо свойству (f2). Возьмём в качестве F множество борелевских подмножеств Ω, а в качестве вероятности P — меру Лебега (площадь) на множествах из F. И пусть случайная величина ξ — абсцисса точки, наудачу55§ 2. Распределения случайных величинброшенной в эту область. Тогда для любого B ∈ B(R) выполненоZплощадь DB= f (x) dx.P(ξ ∈ B) = P(точка попала в DB ) =площадь Ω(11)Bf (x)DBBxРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
