Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1115308), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Из схо∞Pдимости этого ряда следует, что «хвост» ряда, равныйµ(Ci ), стремитi=nся к нулю при n → ∞. Поэтомуµ(Bn ) = µ(B) +∞Xi=nµ(Ci ) −→ µ(B) + 0 = µ(B).n→∞В полезности этого свойства легко убедиться упражнениями.34ГЛАВА II. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙУ п р а ж н е н и е .
Используя аксиому непрерывности меры для убывающей последовательности множеств Bn = (x − 1/n, x + 1/n), доказать,что мера Лебега одноточечного подмножества {x} вещественной прямойравна нулю: λ {x} = 0. Используя этот факт, доказать, что λ (N) = 0,λ (Z) = 0, λ (Q) = 0, λ (a, b) = λ [ a, b ].З а м е ч а н и е . В отсутствие предположения µ(B1 ) < ∞ свойствоµ(B) = lim µ(Bn ) может не выполняться.n→∞Например, зададим меру на B(R) так: µ(B) = 0, если B не более чемсчётно, иначе µ(B) = ∞. Тогда для множеств Bn = (x − 1/n, x + 1/n)имеем:∞TB=Bn = {x}, µ(Bn ) = ∞ 6→ µ(B) = 0.n=1Наконец, мы в состоянии определить понятие вероятности как нормированной меры.О п р е д е л е н и е 9. Пусть Ω — непустое множество, F — σ -алгебраего подмножеств. Мера µ : F → R называется нормированной , еслиµ(Ω) = 1.
Другое название нормированной меры — вероятность .То же самое ещё раз и подробно:О п р е д е л е н и е 10. Пусть Ω — пространство элементарных исходов,F — σ -алгебра его подмножеств (событий). Вероятностью или вероятностной мерой на (Ω, F) называется функция P : F → R, обладающаясвойствами:(P1) P(A) > 0 для любого события A ∈ F;(P2) для любого счётного набора попарно несовместных событийA1 , A2 , A3 , . . . ∈ F имеет место равенство ∞ X∞SPAi =P(Ai );i=1i=1(P3) вероятность достоверного события равна единице: P(Ω) = 1.Свойства (P1) — (P3) называют аксиомами вероятности .О п р е д е л е н и е 11. Тройка hΩ, F, Pi, в которой Ω — пространствоэлементарных исходов, F — σ -алгебра его подмножеств и P — вероятностная мера на F, называется вероятностным пространством .Докажем свойства вероятности, вытекающие из аксиом. Ниже мы небудем всякий раз оговаривать, что имеем дело только с событиями.35§ 2.
Мера и вероятностная мераТ е о р е м а 8. Вероятность обладает следующими свойствами.1. P(∅) = 0.2. Для любого к о н е ч н о г о набора попарно несовместных событийA1 , . . . , An ∈ F имеет место равенство:P(A1 ∪ . . . ∪ An ) = P(A1 ) + . . . + P(An ).P(A) = 1 − P(A).Если A ⊆ B, то P(B \ A) = P(B) − P(A).Если A ⊆ B, то P(A) 6 P(B) (монотонность вероятности).P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).nP7. P(A1 ∪ . . . ∪ An ) 6P(Ai ).3.4.5.6.i=18. Формула включения-исключения:P(A1 ∪ . . . ∪ An ) =nXP(Ai ) −i=1+XXP(Ai Aj ) +i<jP(Ai Aj Am ) − . . .
+ (−1)n−1 P(A1 A2 . . . An ).(5)i<j<mД о к а з а т е л ь с т в о. 1. События A1 = Ω, Ai = ∅, где i > 2, попарно несовместны, и их объединение есть Ω. По аксиоме (P2),1 = P(Ω) =∞XP(Ai ) = 1 +i=1∞XP(∅).i=2Это возможно только в случае P(∅) = 0.2. Положим Ai = ∅ при любом i > n. События A1 , . . . , An , ∅, ∅, .
. .попарно несовместны, и по аксиоме (P2), n ∞ X∞nXSSPAi = PAi =P(Ai ) =P(Ai ).i=1i=1i=1i=13. Достоверное событие Ω = A∪A есть объединение двух несовместныхсобытий A и A. По свойству 2 получим 1 = P(Ω) = P(A) + P(A ).4 и 5. Событие B равно объединению двух несовместных событий:B = A ∪ (B \ A). Согласно свойству 2, P(B) = P(A) + P(B \ A) > P(A).6.
Событие A ∪ B можно разложить в объединение двух несовместныхсобытий A ∪ B = A ∪ (B \ AB), причём AB ⊆ B. По свойствам 2 и 4получим P(A ∪ B) = P(A) + P(B \ AB) = P(A) + P(B) − P(AB).36ГЛАВА II. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ7. При n = 2 неравенство вытекает из свойства 6:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) 6 P(A) + P(B).У п р а ж н е н и е . Докажите свойство 7 и формулу (5) с помощью математической индукции.Приведём пример задачи, в которой использование формулы включения-исключения — самый простой путь решения.П р и м е р 27 (з а д а ч а о р а с с е я н н о й с е к р е т а р ш е).
Есть n писем и n подписанных конвертов. Письма раскладываются в конверты наудачу по одному. Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попадёт в предназначенный ему конверт.Р е ш е н и е. Пусть событие Ai , i = 1, . . . , n, означает, что i -е письмопопало в свой конверт.
ТогдаA = {хотя бы одно письмо попало в свой конверт} = A1 ∪ . . . ∪ An .Cобытия A1 , . . . , An совместны, поэтому используем формулу (5).По классическому определению вероятности вычислим вероятности всехсобытий Ai и их пересечений. Элементарными исходами будут всевозможные перестановки n писем по n конвертам. Их общее число есть |Ω| == n!, и событию Ai благоприятны (n − 1)! из них, а именно перестановкивсех писем, кроме i -го, лежащего в своём конверте. Поэтому P(Ai ) ==(n − 1)!1= — одна и та же для всех i. Точно так жеn!n11(n − 2)!=, P(Ai Aj Am ) =P(Ai Aj ) =n!n(n − 1)n(n − 1)(n − 2)и т.
д.Вычислим количество слагаемых в каждой сумме в формуле (5). Например, сумма по 1 6 i < j < m 6 n состоит из Cn3 слагаемых — ровностолько троек индексов можно образовать из n номеров событий. Подставляя все вероятности в формулу (5), получаем:231111− Cn ·+ Cn ·− .
. . + (−1)n−1=nn(n − 1)n(n − 1)(n − 2)n!111= 1 − + − . . . + (−1)n−1 .2!3!n!P(A) = n ·У п р а ж н е н и е . Выписать разложение e−1 в ряд Тейлора и убедиться в том, что P(A) −→ 1 − e−1 при n → ∞.Г Л А В А IIIУСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ. . . Здесь является вопрос . . . относительно влияния прошлогона вероятность будущего.П. Лаплас. Опыт философии теории вероятностей§ 1. Условная вероятностьП р и м е р 28. Игральная кость подбрасывается один раз. Известно ,что выпало более трёх очков.
Какова при этом вероятность того, чтовыпало нечётное число очков?Пусть событие B = {4, 5, 6} означает, что выпало более трёх очков,событие A = {1, 3, 5} — выпало нечётное число очков. Как понимать вероятность события A, если известно, что B случилось? Знаем, что произошло событие B, но всё равно не знаем, что именно выпало на кости.Однако теперь возможностей осталось только три : могло выпасть 4, 5или 6 очков.
Событию A из этих равновозможных исходов благоприятен единственный исход: выпадение пяти очков. Поэтому искомая вероятность равна 1 / 3.Итак, при вычислении условной вероятности события A при случившемся событии B мы ищем долю исходов, благоприятствующих A, среди всех исходов события B. Эту условную вероятность будем обозначатьP(A | B).О п р е д е л е н и е 12. Условной вероятностью события A при условии,что произошло событие B, называется числоP(A ∩ B)P(A | B) =.P(B)Условная вероятность определена только в случае, когда P(B) > 0.Следует отличать условную вероятность одного события при осуществлении другого от вероятности им одновременно произойти.Это определение бывает полезно использовать не для вычисленияусловной вероятности, а для последовательного вычисления вероятно-38ГЛАВА III. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬсти нескольким событиям случиться одновременно, если известны соответствующие условные вероятности.
Справедливы следующие «теоремыумножения вероятностей».Т е о р е м а 9. Если P(B) > 0 и P(A) > 0, тоP(A ∩ B) = P(B) P(A | B) = P(A) P(B | A).Т е о р е м а 10. Для любых событий A1 , . . . , An верно равенство:P(A1 . . . An ) = P(A1 ) P(A2 | A1 ) P(A3 | A1 A2 ) · . .
. · P(An | A1 . . . An−1 ),если все участвующие в нём условные вероятности определены.У п р а ж н е н и е . Доказать теорему 10 методом математической индукции. Доказать, что все условные вероятности в теореме 10 определенытогда и только тогда, когда P(A1 . . . An−1 ) > 0.§ 2. Независимость событийО п р е д е л е н и е 13. События A и B называются независимыми , если P(A ∩ B) = P(A)P(B).П р и м е р 29. Из колоды в 36 карт наугад берут одну. Независимы лисобытия «вынут туз» и «вынута пиковая карта»?41Р е ш е н и е. Вероятность вытянуть туза равна P(A) == .
Ве3691. Пересечение этих41событий означает появление туза пик и имеет вероятность P(AB) =.36роятность вытянуть пиковую карту равна P(B) =Cобытия A и B независимы, так как P(AB) = P(A)P(B).Естественно считать события A и B независимыми, когда условнаявероятность A при условии, что B произошло, остаётся такой же, как ибезусловная.
Убедимся, что этим свойством обладают события, независимые согласно определению 13.С в о й с т в о 4. Пусть P(B) > 0. Тогда события A и B независимытогда и только тогда, когда P(A | B) = P(A).У п р а ж н е н и е . Доказать по определению условной вероятности.Независимые события возникают, например, при повторении испытаний. Выпадение герба и выпадение решки при двух разных бросках монеты независимы. Любые события, относящиеся к двум разным подбрасываниям игральной кости, независимы.С в о й с т в о 5. Пусть события A и B несовместны. Тогда независимыми они будут только в том случае, если P(A) = 0 или P(B) = 0.§ 2.
Независимость событий39Это свойство (а вы его доказали ?) означает, что в невырожденномслучае (когда вероятности событий положительны) несовместные события не могут быть независимыми. Зависимость между ними — простопричинно-следственная: если A ∩ B = ∅, то A ⊆ B, т. е. при выполненииA событие B не происходит .У п р а ж н е н и е . Доказать с помощью свойства монотонности вероятности, что событие A, вероятность которого равна нулю или единице, независит ни от какого события B, в том числе и от самого себя.С в о й с т в о 6.
Если события A и B независимы, то независимыи события A и B, A и B, A и B.Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B), и события A ∩ Bи A∩B несовместны, то P(A) = P(A∩B)+P(A∩B). Поэтому P(A∩B) == P(A) − P(A ∩ B) = P(A) − P(A)P(B) = P(A)(1 − P(B)) = P(A)P(B).Остальные утверждения вытекают из первого.Если у нас не два, а большее число событий, выполнение только одногоравенства P(A1 ∩ . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
