Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1115308), страница 6
Текст из файла (страница 6)
. . ∈ F, то A1 ∪ A2 ∪ . . . ∈ F (вместе с любымсчётным набором событий σ -алгебра содержит их объединение).§ 1. Алгебра и сигма-алгебра событий29У п р а ж н е н и е . Доказать, что вместо (S1) достаточно предположить непустоту множества F. Вывести из (S1) и (S2), что ∅ ∈ F.Этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества F относительно счётного числа любых других операций над событиями. В частности, аналогично свойству 1 проверяется следующее утверждение.С в о й с т в о 2. В определении 5 можно заменить (S3) на (S4):(S4) если A1 , A2 , . . . ∈ F, то A1 ∩ A2 ∩ . . . ∈ F.С в о й с т в о 3. Всякая σ -алгебра является алгеброй.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F — σ -алгебра. Нужно проверить, чтоона удовлетворяет свойству (A3), т.
е. для любых A ∈ F и B ∈ F выполняется A ∪ B ∈ F.Превратим пару A, B в счётную последовательность событий так:A, B, B, B, . . . , т. е. положим A1 = A, Ai = B при всех i > 2. Объединение A ∪ B совпадает с объединением всех множеств Ai из этойбесконечной последовательности. А так как F — σ -алгебра, тоA∪B =∞[Ai ∈ F.i=1Итак, всякая σ -алгебра автоматически является алгеброй, но не наоборот. Приведём пример алгебры, не являющейся σ -алгеброй.П р и м е р 22. Пусть Ω = R, и пусть A — множество, содержащее любые конечные подмножества R (т. е.
состоящие из конечного числа точек,в том числе пустое) и их дополнения. Так, множество {0, 2, π} принадлежит A, множество (−∞, −7,2) ∪ (−7,2, 5) ∪ (5, ∞) принадлежит A.Легко проверить, что множество A является алгеброй. Действительно,пустое множество и само Ω = R там содержатся, дополнение к любомуконечному подмножеству множества вещественных чисел содержится в Aпо определению, дополнение к множеству вида R \A для конечных A совпадает с A и также принадлежит A по определению.
Свойство (A3) проверяется непосредственно: объединение любых конечных множеств сноваконечно и поэтому принадлежит A. Объединение конечного множества смножеством вида R \ A, где A конечно, есть снова множество вида R \ B,где B конечно (или пусто) и т. д.Однако алгебра A не содержит ни одного счётного множества точек.Действительно, объединяя конечные множества в конечном числе, мы можем получить только конечное множество. Например, натуральный рядN не принадлежит A. Поэтому A не является σ -алгеброй: для бесконеч-30ГЛАВА II.
АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙной, но счётной последовательности одноточечных множеств Ai = {i} изA их объединение N = A1 ∪ A2 ∪ . . . не принадлежит A.Все алгебры из примера 21 являются σ -алгебрами, поскольку содержат лишь конечное число элементов.
Вообще, на конечном множестве Ωпонятия алгебры и σ -алгебры совпадают. Множество всех подмножествΩ является σ -алгеброй для любого Ω (проверить !).Борелевская4 σ -алгебра. Приведём пример σ -алгебры, котораянам будет необходима в дальнейшем,— σ -алгебры боре́левских множествна вещественной прямой.Борелевской сигма-алгеброй в R называется самая маленькая средивсех возможных σ -алгебр, содержащих любые интервалы на прямой. Разумеется, σ -алгебры, содержащие все интервалы, существуют. Например,множество всех подмножеств R — это σ -алгебра, и она содержит все интервалы. Что же такое «самая маленькая σ -алгебра» из нескольких данных? Обратимся к примерам.Пусть Ω = R — вещественная прямая.
Рассмотрим некоторые наборымножеств, не являющиеся σ -алгебрами, и увидим, как их можно дополнить до σ -алгебр.П р и м е р 23. Множество A = {R, ∅, [0, 1], { 0 } } не являетсяσ -алгеброй, так как, например, {0} = R \ {0} = (−∞, 0) ∪ (0, ∞) 6∈ A .Самый маленький набор множеств, содержащий A и являющийсяσ -алгеброй (минимальная σ -алгебра), получится, если включить в неговсевозможные объединения, пересечения и дополнения множеств из A :F = { R, ∅, [0, 1], { 0 } , (−∞, 0) ∪ (1, ∞), (0, 1], (−∞, 0] ∪ (1, ∞),(−∞, 0) ∪ (0, ∞) }.О п р е д е л е н и е 6. Минимальной σ -алгеброй, содержащей набормножеств A, называется пересечение всех σ -алгебр, содержащих A.Ещё раз напомним, что пересекать в определении 6 есть что: хотя быодна σ -алгебра, содержащая данный набор множеств, всегда найдётся —это σ -алгебра всех подмножеств Ω.У п р а ж н е н и е .
Доказать, что пересечение двух σ -алгебр, содержащих набор множеств A, снова является σ -алгеброй, содержащей A.У п р а ж н е н и е . Найти минимальную σ -алгебру, содержащую следующий набор подмножеств R : A = {R, ∅, [0, 1], { 3 } } .Дадим определение борелевской сигма-алгебры. Пусть по-прежнемуΩ = R, а множество A состоит из всевозможных открытых интерва4Félix Edouard Justin Emile Borel (7.01.1871—3.02.1956, France).§ 1. Алгебра и сигма-алгебра событий31лов (a, b), где a < b : A = {(a, b) | − ∞ < a < b < ∞}. Это множествовсех интервалов не является ни алгеброй, ни σ -алгеброй.О п р е д е л е н и е 7.
Минимальная σ -алгебра, содержащая множествоA всех интервалов на вещественной прямой, называется борелевскойσ -алгеброй в R и обозначается B(R).Перечислим некоторые множества на прямой, содержащиеся в B(R)по определению. Таковы все привычные нам множества. Чтобы получить множество, не содержащееся в B(R), требуются специальные построения.
Итак, мы знаем, что все интервалы на прямой принадлежатB(R), и B(R) — σ -алгебра. Отсюда сразу следует, что B(R) содержитлюбое множество, которое можно получить из интервалов с помощьюсчётного числа операций объединения или пересечения, а также взятиемдополнения.В частности, R ∈ B(R) по свойству (S1). Далее, все одноточечныемножества{x}, где x ∈ R, принадлежат B(R). Действительно, интерва11лы x − , x +принадлежат B(R), по определению, при любом n.nnИх счётное пересечение также принадлежит B(R) по свойству (S4):∞ \11x− , x+∈ B(R).{x} =n=1nnДалее, любой интервал вида (a, b ] (или [a, b), или [a, b ] ), где a < b,принадлежит B(R) как объединение открытого интервала и точки (илидвух точек): (a, b ] = (a, b) ∪ {b}.У п р а ж н е н и е .
Докажите, что множество натуральных чисел Nи множество рациональных чисел Q принадлежат B(R).Борелевская σ -алгебра в Rn строится совершенно так же, как в R.Это должна быть минимальная σ -алгебра, содержащая все множествавида (a1 , b1 ) × . . . × (an , bn ) — уже не интервалы, как в R, а прямоугольники в R2 , параллелепипеды в R3 и т. д. Вместе с ними B(Rn ) содержитлюбые множества, являющиеся «предельными» для объединений измельчающихся прямоугольников. Например, круг в R2 является борелевскиммножеством — можно изнутри или снаружи приблизить его объединениями прямоугольников.Итак, мы определили специальный класс F подмножеств Ω, названный σ -алгеброй событий.
Применение счётного числа любых операцийк множествам из F снова дает множество из F, т. е. не выводит за рамкиэтого класса. Событиями будем называть только множества A ∈ F.32ГЛАВА II. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙОпределим теперь понятие вероятности как функции, определённойна множестве событий (функции, которая каждому событию ставит в соответствие число — вероятность этого события).А чтобы читателю сразу стало понятно, о чём пойдёт речь, добавим:вероятность мы определим как неотрицательную нормированную меру ,заданную на σ -алгебре F подмножеств Ω. Следующий параграф познакомит нас с понятиями меры и вероятностной меры.§ 2.
Мера и вероятностная мераО п р е д е л е н и е 8. Пусть Ω — некоторое непустое множество, F —σ -алгебра его подмножеств. Функция µ : F → R ∪ {+∞} называетсямерой на (Ω, F), если она удовлетворяет условиям:( µ 1) µ(A) > 0 для любого множества A ∈ F;( µ 2) для любого счётного набора попарно непересекающихся множествA1 , A2 , A3 , . . . ∈ F (т. е.
такого, что Ai ∩ Aj = ∅ при всех i 6= j ) мераих объединения равна сумме их мер:[ X∞∞µAi =µ(Ai )i=1i=1(«счётная аддитивность» или « σ -аддитивность» меры).У п р а ж н е н и е . Зачем в свойстве ( µ 2) требуется, чтобы события непересекались? Может ли какая-нибудь функция µ : F → R удовлетворять свойству µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) при любых событиях A и B?Привести пример такой функции и доказать, что других не существует.У п р а ж н е н и е . Указать область определения и область значенийфункции µ.
Для каких A ⊂ Ω определено значение µ(A)?П р и м е р 24. Пусть Ω = {a, b, c}, F = 2Ω — множество всех подмножеств Ω. Зададим меру µ на F так: µ{a} = 3, µ{b} = 17, µ{c} = 1,µ{a, b} = 20, µ{a, c} = 4, µ{b, c} = 18, µ{a, b, c} = 21, µ(∅) = 0. Длякраткости записи мы вместо µ({a}) писали всюду µ{a}.П р и м е р 25. Пусть Ω = N, F = 2N — множество всех подмножествнатурального ряда.
Зададим меру µ на F так: µ(A) = |A| — число элементов в множестве A (бесконечность, если множество A бесконечно).П р и м е р 26 (м е р а Л е б е г а5 ). Когда мы говорили о геометрической вероятности, мы использовали термин «мера области A в Rm », имеяв виду «длину» на прямой, «площадь» на плоскости, «объём» в трёхмер5Henri Léon Lebesgue (28.06.1875—26.07.1941, France).33§ 2. Мера и вероятностная мераном пространстве. Являются ли все эти «длины-площади-объёмы» настоящими мерами в смысле определения 8? Мы решим этот вопрос для прямой,оставляя плоскость и пространство большей размерности читателю.Рассмотрим вещественную прямую с σ -алгеброй борелевских множеств.
Эта σ -алгебра, по определению, есть наименьшая σ -алгебра, содержащая все интервалы. Для каждого интервала (a, b) число b − a назовёмдлиной интервала (a, b).Мы не станем доказывать следующее утверждение:Т е о р е м а 6. Существует единственная мера λ на (R, B(R)), значение которой на любом интервале равно его длине: λ(a, b) = b − a. Этамера называется мерой Лебега .Нам пригодится свойство, которым обладает любая мера. Это свойствонепрерывности меры иногда называют аксиомой непрерывности , имея ввиду, что ею можно заменить ( µ 2) в определении 8.Т е о р е м а 7 (с в о й с т в о н е п р е р ы в н о с т и м е р ы).
Пусть данаубывающая последовательность B1 ⊇ B2 ⊇ B3 ⊇ . . . множеств из F,∞TBn . Тогда µ(B) = lim µ(Bn ).причём µ(B1 ) < ∞. Пусть B =n→∞n=1Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Cn кольца: Cn = Bn \ Bn+1 .Множества B, C1 , C2 , . . . попарно не пересекаются. Тогда из представлений ∞ ∞ SSCi , Bn = B ∪CiB1 = B ∪i=1i=nвытекают, в силу аксиомы ( µ 2), соответствующие равенства и для мер:µ(B1 ) = µ(B) +∞Xµ(Ci ),µ(Bn ) = µ(B) +i=1Первая сумма∞P∞Xµ(Ci ).i=nµ(Ci ) в силу условия µ(B1 ) < ∞ есть сумма абсолютноi=1сходящегося ряда (составленного из неотрицательных слагаемых).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
