Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1115308), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Событие A = {νn = k} означает, что в n испытаниях схемы Бернулли произошло ровно k успехов. Рассмотрим один изблагоприятствующих событию A элементарных исходов:(у, у, . . . , у, н, н, . . . , н),|{z} |{z}kn−kкогда первые k испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исходаравна pk q n−k . Другие благоприятствующие событию A элементарные исходы отличаются лишь расположением k успехов на n местах. Есть ровно Cnk способов расположить k успехов на n местах. Поэтому событие Aсостоит из Cnk элементарных исходов, вероятность каждого из которыхтакже равна pk q n−k .О п р е д е л е н и е 17.
Набор чисел Cnk pk q n−k , k = 0, 1, . . . , n называется биномиальным распределением вероятностей.§ 2. Номер первого успешного испытанияРассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха p в одном испытании. Введём величину τ со значениями 1, 2, 3, . . . , равную номеру первого успешного испытания .Т е о р е м а 14. Вероятность того, что первый успех произойдётв испытании с номером k ∈ N = {1, 2, 3, .
. .}, равна P(τ = k) = p q k−1 .Д о к а з а т е л ь с т в о. Вероятность первым k − 1 испытаниям завершиться неудачей, а последнему — успехом, равнаP(τ = k) = P(н, . . . , н, у) = p q k−1 .О п р е д е л е н и е 18. Набор чисел {p q k−1 , k = 1, 2, 3, . . . } называется геометрическим распределением вероятностей.Геометрическое распределение вероятностей обладает интересным свойством, которое можно назвать свойством «нестарения».§ 3. Независимые испытания с несколькими исходами45Т е о р е м а 15. Пусть P(τ = k) = p q k−1 для любого k ∈ N.
Тогда длялюбых неотрицательных целых n и k имеет место равенство:P(τ > n + k | τ > n) = P(τ > k).Если, например, считать величину τ временем безотказной работы (измеряемым целым числом часов) некоторого устройства, то данному равенству можно придать следующее звучание: вероятность работающемуустройству проработать ещё сколько-то часов не зависит от того момента, когда мы начали отсчёт времени, или от того, сколько уже работает устройство. Общепринятое название этого свойства — свойствоотсутствия последействия.Д о к а з а т е л ь с т в о.
По определению условной вероятности,P(τ > n + k | τ > n) =P(τ > n + k, τ > n)P(τ > n + k)=.P(τ > n)P(τ > n)(7)Последнее равенство следует из того, что событие {τ > n + k} влечётсобытие {τ > n}, поэтому пересечение этих событий есть {τ > n + k}.Найдём для целого m > 0 вероятность P(τ > m) : событие {τ > m} означает в точности, что в схеме Бернулли первые m испытаний завершилисьнеудачами, т. е.
его вероятность равна q m . Возвращаясь к (7), получимP(τ > n + k | τ > n) =P(τ > n + k)q n+k= n = q k = P(τ > k).P(τ > n)qТеорема 15 доказана.§ 3. Независимые испытания с несколькими исходамиРассмотрим схему независимых испытаний уже не с двумя, а с бо́льшимколичеством возможных результатов в каждом испытании.П р и м е р 35. Игральная кость подбрасывается 15 раз. Найти вероятность того, что выпадет ровно десять троек и три единицы.Здесь каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение тройки,выпадение единицы, выпадение любой другой грани. Поэтому воспользоваться формулой для числа успехов в схеме Бернулли не удаcтся.Попробуем вывести подходящую формулу.
Пусть в одном испытаниивозможны m исходов: 1, 2, . . . , m, и i -й исход в одном испытании случается с вероятностью pi , где p1 + . . . + pm = 1.Обозначим через P (n1 , . . . , nm ) вероятность того, что в n независимых испытаниях первый исход случится n1 раз, второй исход — n2 раз, ит.
д., наконец, m -й исход — nm раз.46ГЛАВА IV. СХЕМА БЕРНУЛЛИТ е о р е м а 16. Для любого n и любых неотрицательных целых чиселn1 , . . . , nm , сумма которых равна n, верна формулаP (n1 , . . . , nm ) =n!pn1 1 · . . . · pnmm .n 1 ! . . . nm !Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению n1 единиц, n2 двоек и т.
д.:(1, . . . , 1, 2, . . . , 2, . . . , m, . . . , m).| {z }| {z } | {z }n1n2nmЭто результат n экспериментов, когда все нужные исходы появилисьв некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результатаравна произведению вероятностей pn1 1 ·. . .·pnmm . Остальные благоприятныеисходы отличаются лишь расположением чисел 1, 2, . .
. , m на n местах.Число таких исходов равно числу способов расположить на n местах n1единиц, n2 двоек, и т. д. Это число равноnnnnm23Cn 1 · Cn−n· Cn−n· . . . · Cn−n=11 −n21 −...−nm−1n!.n 1 ! . . . nm !Теперь мы можем вернуться к примеру 35 и выписать ответ: вероятность получить десять троек, три единицы и ещё два других очка равна 10 3 21415!1··,P (10, 3, 2) =·10! 3! 2!666так как вероятности выпадения тройки и единицы равны по 1 / 6, а вероятность третьего исхода (выпала любая другая грань) равна 4 / 6.§ 4. Теорема Пуассона8 для схемы БернуллиПредположим, нам нужна вероятность получить не менее семи успеховв тысяче испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003. Вероятность этого события равна любому из следующих выражений, вычислитькоторые довольно сложно:1X000k=7C1k 000k1 000−k(0,003) (0,997)=1−6XC1k 000 (0,003)k (0,997)1 000−k .k=0Сформулируем теорему о приближённом вычислении вероятностииметь k успехов в большом числе испытаний Бернулли с маленькой вероятностью успеха p.
Термин «большое число» должен означать n → ∞.Если при этом p остаётся неизменной, то вероятность получить любое8Siméon Denis Poisson (21.06.1781—25.04.1840, France).47§ 4. Теорема Пуассона для схемы Бернуллизаданное число успехов уменьшается до нуля. Необходимо чтобы вероятность успеха p = pn уменьшалась одновременно с ростом числа испытаний. Но от испытания к испытанию вероятность успеха меняться неможет (см.
определение схемы Бернулли). Поэтому нам придётся рассмотреть так называемую «схему серий»: если испытание одно, то вероятностьуспеха в нём равна p1 , если испытаний два, то вероятность успеха в каждом равна p2 и т. д. Вероятность успеха меняется не внутри одной сериииспытаний, а от серии к серии, когда меняется общее число испытаний.Т е о р е м а 17 (т е о р е м а П у а с с о н а). Пусть n → ∞ и pn → 0так, что npn → λ > 0. Тогда для любого k > 0 вероятность получитьk успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха pnстремится к величине λk e−λ / k! :P(νn = k) = Cnk pkn (1 − pn )n−k →λkk!e−λ .Д о к а з а т е л ь с т в о.
Положим λn = npn . По условию λn → λ > 0.Подставим pn = λn /n в формулу Бернулли:Cnk pkn (1 − pn )n−kkk λnCn knλn n−k1−nkn(n−1) . . . (n−k+1) λnλn n=1−kk!n|{zn }{z}|↓↓−e λ1==λn −kλk −λ1−−→e .k!|{zn }↓1(8)В соотношении (8) мы воспользовались тем, что λkn → λk и замечательным пределом (1 − λn /n)n → e−λ .n koλ−λО п р е д е л е н и е 19. Набор чиселe , k = 0, 1, 2, . .
. называk!ется распределением Пуассона с параметром λ > 0.По теореме 17 можно приближённо посчитать вероятность получить неменее семи успехов в тысяче испытаний схемы Бернулли с вероятностьюуспеха 0,003, с вычисления которой мы начали. Поскольку n = 1 000 «велико», а pn = 0,003 «мало», то, взяв λ = npn = 3, можно записатьприближённое равенство1−6Xk=0C1k 000k1 000−k(0,003) (0,997)≈1−6X3kk=0k!e−3 ≈ 0,034.(9)48ГЛАВА IV. СХЕМА БЕРНУЛЛИОсталось решить, а достаточно ли n = 103 велико, а pn = 0,003 мало,чтобы заменить точную вероятность на её приближённое значение.
Дляэтого нужно уметь оценивать разницу между этими вероятностями.Следующую очень полезную теорему мы, исключительно из экономиивремени, доказывать не станем.Т е о р е м а 18 (уточнённая теорема Пуассона). Пусть A — произвольное множество целых неотрицательных чисел, νn — число успеховв n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p, λ = np,Cправедливо неравенство XX λkX λkk kn−k2−λ −λ P(ν ∈ A)−Cp(1−p)−=een n 6 min(p, np ).k!k!k∈Ak∈Ak∈AТаким образом, теорема 18 предоставляет нам возможность самим решать, достаточно ли n велико, а p мало, руководствуясь полученной величиной погрешности.
Какова же погрешность в формуле (9)? Взяв A == {0, 1, . . . , 6}, имеем6 Xk 3−3 P(ν =e1000 > 7) − 0,034 = 1 − P(ν1000 6 6) − 1 −k=0k!6Xk3e−3 6 min(p, np2 ) = 0,003.= P(ν1000 6 6) −k!k=0Таким образом, можно утверждать, что искомая вероятность заключена в границах (0,034 − 0,003, 0,034 + 0,003) = (0,031, 0,037).ГЛАВА VСЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯТо, что остаётся после всех этих абстракций, не следует ли. .
.считать тем реальным и неизменным содержанием, котороенавязывается существам всех видов с одинаковой необходимостью, потому что оно не зависит ни от индивида, ни от моментавремени, ни от точки зрения?..А. Рей. Современная философия. 1908§ 1. Случайные величиныМы уже видели, что для многих экспериментов нет никаких различийв подсчёте вероятностей событий, тогда как элементарные исходы в этихэкспериментах очень различаются. Но нас и должны интересовать именно вероятности событий, а не структура пространства элементарных исходов.
Поэтому пора во всех таких «похожих» экспериментах вместо самыхразных исходов использовать, например, числа. Иначе говоря, каждомуэлементарному исходу поставить в соответствие некоторое вещественноечисло, и работать только с числами.Пусть задано вероятностное пространство hΩ, F, Pi.О п р е д е л е н и е 20. Функция ξ : Ω → R называется случайной величиной , если для любого борелевского множества B ∈ B(R) множествоξ−1 (B) является событием, т. е.
принадлежит σ -алгебре F.Множество ξ−1 (B) = {ω | ξ(ω) ∈ B}, состоящее из тех элементарныхисходов ω, для которых ξ(ω) принадлежит B, называется полным прообразом множества B.З а м е ч а н и е . Вообще, пусть функция f действует из множества Xв множество Y, и заданы σ -алгебры F и G подмножеств X и Y соответственно. Функция f называется измеримой , если для любого множестваB ∈ G его полный прообраз f −1 (B) принадлежит F.З а м е ч а н и е .
Читатель, не желающий забивать себе голову абстракциями, связанными с σ -алгебрами событий и с измеримостью, может сме-50ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯло считать, что любое множество элементарных исходов есть событие, и,следовательно, случайная величина есть произвольная функция из Ω в R.Неприятностей на практике это не влечёт, так что всё дальнейшее в этомпараграфе можно пропустить.Теперь, избавившись от нелюбопытных читателей, попробуем понять,зачем случайной величине нужна измеримость.Если задана случайная величина ξ, нам может потребоваться вычислить вероятности вида P(ξ = 5) = P{ω | ξ(ω) = 5}, P(ξ ∈ [−3, 7]),P(ξ > 3,2), P(ξ < 0) и вообще самые разные вероятности попаданияв борелевские множества на прямой. Это возможно лишь если множества,стоящие под знаком вероятности, являются событиями — ведь вероятностьесть функция, определённая только на σ -алгебре событий. Требование измеримости равносильно тому, что для любого борелевского множества Bопределена вероятность P(ξ ∈ B).Можно потребовать в определении 20 чего-нибудь другого.Например, чтобы событием было попадание в любой интервал:{ω | ξ(ω) ∈ (a, b)} ∈ F, или в любой полуинтервал: {ω | ξ(ω) < x} ∈ F.О п р е д е л е н и е 21.
Функция ξ : Ω → R называется случайной величиной, если для любых вещественных a < b множество {ω | ξ(ω) ∈ (a, b)}принадлежит σ -алгебре F.Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем эквивалентность определений 20 и 21.Если ξ — случайная величина в смысле определения 20, то она будет случайной величиной и в смысле определения 21, поскольку любой интервал(a, b) является борелевским множеством.Докажем, что верно и обратное. Пусть для любого интервалаB = (a, b) выполнено ξ−1 (B) ∈ F. Мы должны доказать, что то жесамое верно для любых борелевских множеств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
