Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1115308), страница 8
Текст из файла (страница 8)
∩ An ) = P(A1 ) · . . . · P(An ) вовсе не означает независимости этих событий. Например, при таком равенстве события A1 и A2вполне могут оказаться зависимыми.П р и м е р 30. Пусть 0 < P(A) < 1. События A1 = A2 = A, A3 = ∅обладают свойством0 = P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P(A1 ) · P(A2 ) · P(A3 ) = 0,что не мешает событиям A1 и A2 быть зависимыми:2P(A1 ∩ A2 ) = P(A) 6= P(A1 ) · P(A2 ) = P(A) .Хотелось бы независимостью нескольких событий считать такое свойство, при котором любые комбинации этих событий будут независимымежду собой: например, независимы A1 ∩ A2 и A3 ∪ A4 ∪ A5 .О п р е д е л е н и е 14. События A1 , .
. . , An называются независимымив совокупности , если для любого 1 6 k 6 n и любого набора различныхмеж собой индексов 1 6 i1 , . . . , ik 6 n имеет место равенствоP(Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ) = P(Ai1 ) · . . . · P(Aik ).(6)З а м е ч а н и е . Если события A1 , .
. . , An независимы в совокупности,то они попарно независимы, т. е. любые два события Ai и Aj независимы. Достаточно в равенстве (6) взять k = 2. Обратное, как показываетследующий пример, неверно: из попарной независимости не вытекает независимость в совокупности.40ГЛАВА III. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬП р и м е р 31 (п р и м е р Б е р н ш т е й н а6 ). Рассмотрим правильныйтетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий,зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета. Событие A( B, C ) означает, что выпала грань, содержащая красный (соответственносиний, зелёный) цвета.1Вероятность каждого из этих событий равна , так как каждый цвет2есть на двух гранях из четырёх.
Вероятность пересечения любых двух1событий равна , так как только одна грань из четырёх содержит два4111цвета. Поэтому любые два события из трёх независимы, так как = · .42 2Но вероятность события ABC (на грани есть все три цвета) тоже равна11, а не , т. е. события не являются независимыми в совокупности.48Заметьте, что равенство (6) выполнено при k = 2, но не при k = 3.§ 3.
Формула полной вероятностиП р и м е р 32. Есть три завода, производящих одну и ту же продукцию. Первый завод производит 25 %, второй завод — 35, третий — 40 % всейпроизводимой продукции. Брак составляет 5 % от продукции первого завода, 3 % от продукции второго и 4 % от продукции третьего завода. Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти: а) вероятность купитьбракованное изделие; б) условную вероятность того, что купленное изделие изготовлено первым заводом, если это изделие оказалось бракованным.Первая вероятность равна доле бракованных изделий в объеме всейпродукции, т. е. 0,05 · 0,25 + 0,03 · 0,35 + 0,04 · 0,4. Вторая вероятностьравна доле брака первого завода среди всего брака, т. е.0,05 · 0,25.0,05 · 0,25 + 0,03 · 0,35 + 0,04 · 0,4О п р е д е л е н и е 15. Конечный или счётный набор попарно несовместных событий H1 , H2 , .
. . таких, что P(Hi ) > 0 для всех i иH1 ∪ H2 ∪ . . . = Ω, называется полной группой событий или разбиениемпространства Ω.События H1 , H2 , . . . , образующие полную группу событий, часто называют гипотезами. При подходящем выборе гипотез для любого событияA могут быть сравнительно просто вычислены P(A | Hi ) и собственноP(Hi ). Как, используя эти данные, посчитать вероятность события A?6Сергей Натанович Бернштейн (5.03.1880—26.10.1968).41§ 4. Формула БайесаТ е о р е м а 11 (ф о р м у л а п о л н о й в е р о я т н о с т и).
Пусть данаполная группа событий H1 , H2 , . . . Тогда вероятность любого событияA может быть вычислена по формуле∞XP(A) =P(Hi ) P(A | Hi ).i=1Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что ∞∞SSA=A∩Ω=A∩Hi =(A ∩ Hi ),i=1i=1и события A ∩ H1 , A ∩ H2 , . . . попарно несовместны. Поэтому ∞ X∞∞XSP(A) = P(A ∩ Hi ) =P(A ∩ Hi ) =P(Hi ) P(A | Hi ).i=1i=1i=1Во втором равенстве мы использовали σ -аддитивность вероятностной меры (а что это ?), а в третьем — теорему 9 умножения вероятностей.§ 4. Формула Байеса7Т е о р е м а 12 (ф о р м у л а Б а й е с а). Пусть H1 , H2 , .
. . — полнаягруппа событий, и A — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие Hk , если в результате эксперимента наблюдалось событие A,может быть вычислена по формулеP(Hk ) P(A | Hk )P(Hk | A) = P∞.P(Hi ) P(A | Hi )i=1Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению условной вероятности,P(Hk | A) =P(Hk ∩ A)P(Hk ) P(A | Hk ).= P∞P(A)P(Hi ) P(A | Hi )i=1П р и м е р 33. Вернёмся к примеру 32. Изделие выбирается наудачу из всей произведённой продукции.
Рассмотрим три гипотезы: Hi == {изделие изготовлено i -м заводом}, i = 1, 2, 3. Вероятности этих событий даны: P(H1 ) = 0,25, P(H2 ) = 0,35, P(H3 ) = 0,4.Пусть A = {изделие оказалось бракованным}. Даны также условныевероятности P (A | H1 ) = 0,05, P (A | H2 ) = 0,03, P (A | H3 ) = 0,04.7Thomas Bayes (1702—17.04.1761, England).42ГЛАВА III. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬУбедитесь, что полученные нами в примере 32 вероятности совпадают с вероятностями, вычисленными по формуле полной вероятности и поформуле Байеса.Вероятности P(Hi ), вычисленные заранее, до проведения эксперимента, называют априорными вероятностями (a’priori — «до опыта»).
Условные вероятности P(Hi | A) называют апостериорными вероятностями(a’posteriori — «после опыта»). Формула Байеса позволяет переоценить заранее известные вероятности после того, как получено знание о результатеэксперимента. Эта формула находит многочисленные применения в экономике, статистике, социологии и т. п.П р и м е р 34. Два стрелка подбрасывают монетку и выбирают, кто изних будет стрелять по мишени (одной пулей). Первый стрелок попадаетпо мишени с вероятностью 1, второй стрелок — с вероятностью 10−5 .Можно сделать два предположения об эксперименте: H1 — стреляет1-й стрелок (выпал герб) и H2 — стреляет 2-й стрелок (выпала решка).1Априорные вероятности этих гипотез одинаковы: P(H1 ) = P(H2 ) = .2Как изменятся вероятности гипотез после проведения опыта? Рассмотрим событие A — пуля попала в мишень.
Известно, чтоP(A | H1 ) = 1,P(A | H2 ) = 10−5 .Вероятность пуле попасть в мишень равнаP(A) =11· 1 + · 10−5 .22Предположим, что событие A произошло. Тогда по формуле БайесаP(H1 | A) = 12P(H2 | A) = 121·112=≈ 0,999 99,11 + 10−5· 1 + · 10−521· 10−510−52=≈ 0,000 01.−511+10−5· 1 + · 102Попадание пули в мишень сделало выпадение герба в 105 раз более вероятным, чем выпадение решки.Г Л А В А IVСХЕМА БЕРНУЛЛИНа дне глубокого сосуда лежат спокойно n шаров.Поочерёдно их оттуда таскают двое дураков.Сие занятье им приятно: они таскают t минут,И, вынув шар, его обратно в сосуд немедленно кладут.Ввиду условия такого, сколь вероятность велика,Что первый был глупей второго, когда шаров он вынул k?В.
П. Скитович§ 1. Распределение числа успехов в n испытанияхО п р е д е л е н и е 16. Схемой Бернулли называется последовательность независимых в совокупности испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом успех в одномиспытании происходит с вероятностью p ∈ (0, 1), а неудача — с вероятностью q = 1 − p.Под независимостью в совокупности испытаний понимается независимость в совокупности любых событий, относящихся к разным испытаниям.
В испытаниях схемы Бернулли, когда с одним испытанием можносвязать только два взаимоисключающих события, независимость в совокупности испытаний означает, что при любом n независимы в совокупности события A1 = { успех в первом испытании }, . . . , An = { успех в n -миспытании }. Эти события принадлежат одному и тому же пространствуэлементарных исходов, полученному декартовым произведением бесконечного числа двухэлементных множеств {у, н} :Ω = {(a1 , a2 , . .
. ) | ai ∈ {у, н}}.Здесь буквами «у» и «н» обозначены успешный и неудачный результатыиспытаний соответственно.Обозначим через νn число успехов, случившихся в n испытаниях схемы Бернулли. Эта величина может принимать целые значения от нуля44ГЛАВА IV. СХЕМА БЕРНУЛЛИдо n в зависимости от результата n испытаний. Например, если все nиспытаний завершились неудачей, то величина νn равна нулю.Т е о р е м а 13 (ф о р м у л а Б е р н у л л и). При любом k = 0, 1, . . . , nимеет место равенство:P(νn = k) = Cnk pk q n−k .Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
