Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1115308), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. . , kn не совпадают.Представим себе другой эксперимент, имеющий точно такие же результаты, и посчитаем их количество. Есть n ящиков, в которых размещаютсяk шаров. Нас интересует только число шаров в каждом ящике. Результатом эксперимента снова является набор чисел k1 , . . . , kn , где ki > 0равно числу шаров в ящике с номером i, k1 + . . . + kn = k.А теперь изобразим результат такого размещения в виде схемы, в которой вертикальные линии обозначают перегородки между ящиками, а точки — находящиеся в ящиках шары:|• • • ||• |• • |• • ||• |Мы видим результат размещения девяти шаров по семи ящикам.
Первыйящик содержит три шара, второй и шестой ящики пусты, третий ящиксодержит один шар, в четвёртом и пятом ящиках лежит по два шара.Переложим один шар из первого ящика во второй и изобразим таким жеобразом ещё два результата размещения:|• • |• |• ||||||||• • |• • ||• |• • • • • • • • • |Видим, что все размещения можно получить, меняя между собой шарыи перегородки или расставляя k шаров на n−1+k местах. Число n−1+kполучается так: у n ящиков есть ровно n+1 перегородка, считая крайние,но из них перемещать можно лишь n −1 внутреннюю перегородку. Такимобразом, имеется n−1+k мест, которые можно занять шарами либо внутренними перегородками. Перебрав все возможные способы расставить kшаров на этих n−1+k местах, переберём и все нужные размещения.
Остаkn−1лось заметить, что по теореме 3 существует Cn−1+k = Cn+k−1 способоввыбрать места для k шаров на n − 1 + k местах.У п р а ж н е н и е . Найти:а) количество способов разложить число k ∈ N в сумму n целых неотрицательных слагаемых, если важен порядок следования слагаемых;б) число различных производных порядка k функции n переменных;в) число возможных результатов подбрасывания двух игральных костей, если кости считаются неразличимыми. То же самое для трёх игральных костей.§ 2. События и операции над ними14ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙПространство элементарных исходов.
Основным понятием теории вероятностей является множество всех возможных результатов данного случайного эксперимента.О п р е д е л е н и е 1. Пространством элементарных исходов называется множество Ω, содержащее все возможные взимоисключающие результаты данного случайного эксперимента. Элементы множества Ω называются элементарными исходами и обозначаются буквой ω.Отметим сразу, что любое непустое множество Ω можно считать пространством элементарных исходов какого-то случайного эксперимента.О п р е д е л е н и е 2.
Событиями называются подмножества множества Ω. Говорят, что произошло событие A, если эксперимент завершился одним из элементарных исходов, входящих в множество A.З а м е ч а н и е . Вообще говоря, можно называть событиями не любыеподмножества множества Ω, а лишь элементы некоторого набора подмножеств. О смысле такого ограничения мы поговорим позднее.Итак, элементарный исход — это мельчайший неделимый результат эксперимента, а событие может состоять из одного или нескольких исходов.Напомним, что конечные и счётные множества удобно задавать перечислением их элементов. Например, Ω = {1, 2, .
. . , 100} — множество, состоящее из первых ста натуральных чисел. Несчётные множества обычнозадают указанием свойства, которым обладают все элементы множества.Так, Ω = {ω ∈ R | ω2 < 9} — множество действительных чисел из интервала (−3, 3).П р и м е р 1. Один раз подбрасывают игральную кость.
Рассмотрим пространство элементарных исходов Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} == { , , , , , }. Элементарные исходы здесь соответствуют числувыпавших очков.Событие A = {1, 2} = { , } произойдёт, если выпадет одно или дваочка; событие B = {1, 3, 5} = { , , } означает, что выпадет нечётноечисло очков. Событие C = {6} = { } состоит из одного элементарногоисхода и означает появление шести очков.П р и м е р 2. Подбрасываются две игральные кости.
Будем считать ихразличимыми и назовём одну из них первой, другую — второй. Пространством элементарных исходов является множество пар чисел (i, j), где i —число очков, выпавших на первой кости, j — на второй. В этом множестве§ 2. События и операции над ними156 × 6 = 36 элементарных исходов:(1, 1) (1, 2) · · · (1, 6)(2, 1) (2, 2) · · · (2, 6).........(6, 1) (6, 2) · · · (6, 6)(1)Заметим, что для симметричных костей все эти 36 исходов равновозможны: ни одна из этих комбинаций не имеет больше шансов выпасть, чемдругая. Действительно, на первой кости с равными шансами выпадаетлюбая грань. Это означает, что результат бросания двух костей имеетстолько же шансов оказаться в первой строке матрицы (1), что и во второй, в третьей и т.
д. Но на второй кости снова с одинаковыми шансамивыпадает любая грань, поэтому и каждое место в строке равновозможно.Событие «на первой кости выпадет одно очко» можно записатьтак: A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)} ; событие «на второйкости выпадет одно очко» запишется так: B = {(1, 1), (2, 1), (3, 1),(4, 1), (5, 1), (6, 1)} ; событие C = {(2, 2), (3, 1), (1, 3)} означает, что сумма выпавших очков равна четырём; событие D = {(1, 1), (2, 2), (3, 3),(4, 4), (5, 5), (6, 6)} — на костях выпадет одинаковое число очков.П р и м е р 3. Подбрасываются две неразличимые игральные кости.Элементарными исходами будем считать пары чисел (i, j), где i 6 j.Например, элементарный исход (1, 2) случается, если на одной из костейвыпадает одно очко, на другой — два очка.
В множестве Ω двадцать одинисход:(1, 1) (1, 2) · · · (1, 6)(2, 2) · · · (2, 6)......(6, 6)Для симметричных костей эти исходы равновозможными уже не будут:например, исход (1, 2) имеет вдвое больше шансов появиться, чем исход(1, 1). Мы просто перестали различать исходы из примера 2, симметричные друг другу относительно главной диагонали матрицы (1).Теперь событие «сумма выпавших очков равна четырём» состоит издвух элементарных исходов (2, 2) и (1, 3). Событие «на костях выпадетодинаковое число очков» по-прежнему включает шесть исходов.
Слова «напервой кости выпадет одно очко» никакого события уже не описывают, асобытие A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)} означает, что хотябы на одной из костей выпало одно очко (ср. с примером 2).16ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙП р и м е р 4. На поверхность стола бросается монета. Результатом эксперимента можно считать положение центра монеты. Пространство элементарных исходов такого эксперимента — множество всех точек стола.Оно бесконечно и несчётно.
Событием можно назвать, например, попадание центра монеты на лист бумаги, лежащий на столе, в левую или правуюполовину стола.П р и м е р 5. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадетвверх гербом. Пространство элементарных исходов является бесконечным,но счётным множеством: Ω = { г, рг, ррг, рррг, ррррг, рррррг, . . .}, где розначает выпадение решки, а г — выпадение герба при одном подбрасывании. Событие «герб выпал при броске с чётным номером» выглядит так:A = { рг, рррг, рррррг, . .
. }.П р и м е р 6. В коробке лежат один чёрный и два белых шара. Изкоробки достают наугад один шар.Можно определить два разных пространства элементарных исходов.Первое из них состоит из двух исходов Ω1 = {б, ч} — мог появиться белый шар или чёрный. Эти исходы, очевидно, не будут равновозможными:появление белого шара вдвое вероятнее, чем появление чёрного.Если мы хотим иметь дело с равновозможными элементарными исходами, шары следует занумеровать (или различать как-нибудь иначе).
Тогдамножество Ω2 = {б1 , б2 , ч} будет состоять из трёх равновозможных элементарных исходов.П р и м е р 7. В коробке лежат один чёрный и два белых шара. Изкоробки достают наугад два шара. Порядок следования шаров нам безразличен. Занумеруем шары, чтобы элементарные исходы были равновозможными (это может оказаться удобным). Пространство элементарныхисходов состоит из трёх элементов:Ω = {(б1 , б2 ), (б1 , ч), (б2 , ч)}.Событие «вынуты два белых шара» включает один исход ω1 = (б1 , б2 ),а событие «вынуты разноцветные шары» состоит из двух исходов: ω2 == (б1 , ч), ω3 = (б2 , ч).Можно, как в примере 6, рассмотреть пространство элементарных исходов, состоящее из двух элементов: Ω1 = {(б, б), (б, ч)} — вынуты двабелых шара или шары разных цветов.
Но в таком пространстве второйисход имеет вдвое больше шансов случиться, чем первый.17§ 2. События и операции над нимиОперации над событиями. В теории вероятностей рассматриваютте же операции над событиями (множествами), что и в теории множеств.Дадим определения новым событиям — результатам этих операций.Объединением A ∪ B событий A и B называется событие, состоящеев том, что из двух событий A и B случилось хотя бы одно. Это событиевключает как элементарные исходы из множества A, так и элементарныеисходы из множества B (рис.
1).Пересечением A ∩ B событий A и B называется событие, состоящеев том, что произошли сразу оба события A и B. Это событие содержитэлементарные исходы, каждый из которых принадлежит и множеству A,и множеству B. Вместо A ∩ B часто пишут просто AB.AA∪BAA∩BBBΩΩРис. 1. Объединение и пересечение событийДополнением A \ B события B до A называется событие, состоящеев том, что произошло A, но не произошло B. Событие A \ B содержитэлементарные исходы, входящие в множество A, но не входящие в B.Противоположным (или дополнительным) к событию A называетсясобытие A = Ω \ A , состоящее в том, что A не произошло.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
