Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1115308), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Тогда для любых x, y > 0Т е о р е м а 21. Пусть ξ ⊂P(ξ > x + y | ξ > x) = P(ξ > y).(12)У п р а ж н е н и е . Доказать теорему 21. Доказать далее, что если неотрицательная случайная величина ξ с абсолютно непрерывным распределением обладает свойством (12) при любых x, y > 0, то она имеет показательное распределение с некоторым параметром α.Нормальное распределение.
Говорят, что ξ имеет нормальное(гауссовское10 ) распределение с параметрами a и σ2 , где a ∈ R, σ > 0, и61§ 5. Примеры абсолютно непрерывных распределений= Na, σ2 , если ξ имеет следующую плотность распределения:пишут: ξ ⊂(x−a)21−fξ (x) = √ e 2σ2 ,σ 2πx ∈ R.На рис. 9 приведены графики плотностей нормальных распределенийс одним и тем же параметром a и разными значениями параметра σ.σ21 < σ22 < σ23Na,σ22Na,σ21Na,σ23aРис. 9. Плотности нормальных распределенийУбедимся, что fξ (x) является плотностью распределения. Так какfξ (x) > 0 для всех x ∈ R, то свойство (f1) выполнено. Проверим (f2):"#∞∞ZZ(x−a)2заменапеременных1−2σ2 dx =√ e=fξ (x) dx =x−at=, dx = σ dtσ 2π−∞−∞∞Z=σ211√ e−t /2 σ dt = √σ 2π2π−∞∞Ze−t2 /2I= 1,2πdt = √−∞где через I обозначен табличный интеграл (интеграл Пуассона11 )∞Z√2I=e−x /2 dx = 2π.−∞1011Johann Carl Friedrich Gauss (30.04.1777—23.02.1855, Germany).Этот интеграл вычисляется так:∞∞∞ZZZZ ∞222−x2 /2−y 2 /2I =edxedy =e−(x +y )/2 dx dy.−∞−∞−∞ −∞Далее полярная замена переменных: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, dx dy = r dr dϕ, x2 + y 2 = r2 :22Zπ ∞ZZπ ∞Z√22−r 2 /2I =redr dϕ =e−r /2 d(r2 /2) dϕ = 2π, I = 2π.0 00 062ГЛАВА V.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯНормальное распределение N0, 1 с параметрами a = 0 и σ2 = 1 называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандарт21ного нормального распределения равна fξ (x) = √ e−x /2 .2πМы будем использовать специальное обозначение Φa, σ2 (x) для функции распределения нормального закона Na, σ2 (рис.
10). Первообразная2функции e−x не может быть выражена через элементарные функции.Поэтому функцию Φa, σ2 (x) можно записать лишь в виде интегралаZxΦa, σ2 (x) =Zx(t−a)21−√ e 2σ2σ 2πdt,2t1−√ e 2 dt.2πΦ0, 1 (x) =−∞−∞Функция Φ0, 1 (x) табулирована, т. е. её значения при различных вещественных x вычислены. Их можно найти в соответствующих таблицах.Φa, σ2 (x)610,5-axРис. 10. Функция распределения нормального распределения Na,σ2Гамма-распределение. Говорят, что ξ имеет гамма-распределение= Γα, λ , если ξ имеет следус параметрами α > 0, λ > 0, и пишут: ξ ⊂ющую плотность распределения:(0,если x 6 0,fξ (x) =c · xλ−1 e−αx , если x > 0,где постоянная c вычисляется из свойства (f2) плотности так:∞Z1=∞Zfξ (x) dx = c−∞0xλ−1 e−αx dx =c∞Z(αx)λ−1 e−αx d(αx) =αλ0cαλΓ(λ),§ 5.
Примеры абсолютно непрерывных распределений63откуда c = αλ / Γ(λ). Здесь через Γ(λ) обозначен интеграл∞ZΓ(λ) = xλ−1 e−x dx = (λ − 1)Γ(λ − 1),0называемый гамма-функцией Эйлера12 ; Γ(k) = (k − 1)! при целых поло√жительных k, Γ(1) = 1. Замена в интеграле Пуассона даст Γ(1/2) = π.Полезно отметить, что показательное распределение есть частный случай гамма-распределения: Eα = Γα, 1 .У п р а ж н е н и е . Нарисовать график плотности распределения Γα, λпри λ < 1, при λ = 1 и при λ > 1, отметить на этом графике точкиэкстремума, точки перегиба и иные особенности графика.Функцию распределения гамма-распределения можно записать, вообщеговоря, только в виде интеграла:ZxαλFξ (x) =tλ−1 e−αt dt.Γ(λ)0Но при целых значениях параметра λ интегрированием по частям этотинтеграл можно превратить в сумму:Fξ (x) = 1 −λ−1X(αx)kk!k=0−αxe=∞X(αx)kk=λk!e−αx .(13)У п р а ж н е н и е .
Доказать первое из равенств (13). Доказать следую= Παx .щее забавное равенство: Fξ (x) = P(η > λ), где η ⊂Распределение Коши. Говорят, что ξ имеет распределение Коши13= Ca,σ , если ξ имеет следуюс параметрами a ∈ R, σ > 0, и пишут: ξ ⊂щую плотность распределения:fξ (x) =1σπ σ2 + (x − a)2для любого x ∈ R.Плотность распределения Коши симметрична относительно прямойx = a и похожа на плотность нормального распределения, но имеет болеетолстые «хвосты» на ±∞. Функция распределения случайной величины11x−aξ с распределением Коши равна Fξ (x) = + arctgпри всех x.21213πLeonhard Euler (15.04.1707, Switzerland — 18.09.1783, Russia).Augustin Louis Cauchy (21.08.1789—23.05.1857, France).σ64ГЛАВА V.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯРаспределение Парето. Говорят, что ξ имеет распределение Парес параметром α > 0, если ξ имеет следующие плотность и функциюраспределения:( α(1, если x > 1,1 − α , если x > 1,α+1xfξ (x) = xFξ (x) =0,если x < 1;0,если x < 1.то14Часто рассматривают более широкий класс распределений Парето, сосредоточенных не на [1, ∞), а на [c, ∞) при c > 0.С другими абсолютно непрерывными распределениями (хи-квадратПирсона, распределениями Стью́дента, Фишера, Колмогорова, Лапласа)мы познакомимся при изучении математической статистики.
С распределениями Вейбулла, логарифмически нормальным и некоторыми другимичитатель познакомится в дальнейших курсах.§ 6. Свойства функций распределенияОбщие свойства функций распределения. Функцией распределения случайной величины ξ мы назвали функцию Fξ (x) = P(ξ < x).Т е о р е м а 22. Любая функция распределения обладает свойствами:(F1) она не убывает: если x1 < x2 , то Fξ (x1 ) 6 Fξ (x2 );(F2) cуществуют пределы lim Fξ (x) = 0 и lim Fξ (x) = 1;x→−∞x→+∞(F3) она в любой точке непрерывна слева:Fξ (x0 − 0) =lim Fξ (x) = Fξ (x0 ).x→x0 −0Д о к а з а т е л ь с т в о с в о й с т в а (F1).
Для любых чисел x1 < x2 событие {ξ < x1 } влечёт событие {ξ < x2 }, т. е. {ξ < x1 } ⊆{ξ < x2 }. Новероятность — монотонная функция событий, поэтомуFξ (x1 ) = P{ξ < x1 } 6 P{ξ < x2 } = Fξ (x2 ).Для доказательства остальных свойств нам понадобится свойствонепрерывности вероятностной меры (с. 33, теорема 7).Д о к а з а т е л ь с т в о с в о й с т в а (F2). Заметим сначала, что существование пределов в свойствах (F2), (F3) вытекает из монотонностии ограниченности функции Fξ (x).
Остаётся лишь доказать равенстваlim Fξ (x) = 0, lim Fξ (x) = 1 и lim Fξ (x) = Fξ (x0 ). Для этогоx→−∞x→+∞x→x0 −0в каждом случае достаточно найти предел по какой-нибудь подпоследова14Vilfredo Pareto (15.07.1848—20.08.1923, France, Italy, Switzerland).65§ 6. Свойства функций распределениятельности {xn }, так как существование предела влечёт совпадение всехчастичных пределов.Докажем, что Fξ (−n) → 0 при n → ∞. Рассмотрим вложенную убывающую последовательность событий Bn = {ξ < −n} :Bn+1 = ξ < −(n+1) ⊆ Bn = ξ < −n для любых n > 1.Пересечение B всех этих событий состоит из тех и только тех ω, для которых ξ(ω) меньше любого вещественного числа. Но для любого элементарного исхода ω значение ξ(ω) вещественно, и не может быть меньше всехвещественных чисел.
Иначе говоря,T пересечение событий Bn не содержитэлементарных исходов, т. е. B = Bn = ∅. По свойству непрерывностимеры, Fξ (−n) = P(Bn ) → P(B) = 0 при n → ∞.Точно так же докажем остальные свойства.Покажем, что Fξ (n) → 1 при n → ∞, т. е. 1−Fξ (n) = P(ξ > n) → 0.Обозначим через Bn событие Bn = {ξ > n}. События Bn вложены:Bn+1 = ξ > (n + 1) ⊆ Bn = ξ > n для любых n > 1,а пересечение B этих событий снова пусто: оно означает, что ξ большелюбого вещественного числа.
По свойству непрерывности меры,1 − Fξ (n) = P(Bn ) → P(B) = 0 при n → ∞.Д о к а з а т е л ь с т в о с в о й с т в а (F3). Достаточно доказать, чтоFξ (x0 − 1/n) → Fξ (x0 ) при n → ∞. Иначе говоря, доказать сходимостьк нулю следующей разности:111Fξ (x0 ) − Fξ x0 −= P(ξ < x0 ) − P ξ < x0 −= P x0 − 6 ξ < x 0 .nnnУ п р а ж н е н и е . Обозначьте событие {x0 − 1/n 6 ξ < x0 } через Bn ,и попробуйте снова воспользоваться свойством непрерывности меры.Следующая теорема говорит о том, что три доказанных свойства полностью описывают класс функций распределения.
То, что любая функцияраспределения ими обладает, мы с вами доказали, а теорема утверждает,что любая функция с такими свойствами есть функция распределения.Т е о р е м а 23. Если функция F : R → [0, 1] удовлетворяет свойствам (F1)–(F3), то F есть функция распределения некоторой случайной величины ξ, т. е. найдётся вероятностное пространство hΩ, F, Piи случайная величина ξ на нём такая, что F (x) ≡ Fξ (x).Эту теорему мы доказывать не станем. Хотя её можно попробовать доказать конструктивно — предъявив то вероятностное пространство (проще66ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯвсего отрезок Ω = [0, 1] с σ -алгеброй борелевских множеств и мерой Лебега) и ту случайную величину, о существовании которых идёт речь.У п р а ж н е н и е . Непременно попробуйте сделать это! Например, можно проверить, не подойдёт ли ξ(ω) = sup{x | F (x) < ω}.Помимо отмеченных в теореме 22, функции распределения обладаютследующими свойствами:С в о й с т в о 8.
В любой точке x0 разница Fξ (x0 + 0) − Fξ (x0 ) равнаP(ξ = x0 ). Иначе говоря, Fξ (x0 + 0) = Fξ (x0 ) + P(ξ = x0 ) = P(ξ 6 x0 ).У п р а ж н е н и е . Докажите (так же, как мы доказывали (F2) и (F3)).Разница Fξ (x0 + 0) − Fξ (x0 ) между пределом при стремлении к x0справа и значением в точке x0 есть величина скачка функции распределения.
Эта величина равна нулю, если функция распределения непрерывна(справа) в точке x0 . Слева функция распределения непрерывна всегда.З а м е ч а н и е . Очень часто функцией распределения называют P(ξ 6x). Эта функция отличается от определённой выше лишь тем, что онанепрерывна справа, а не слева. И вероятность P(ξ = x0 ) для неё равнавеличине скачка слева, а не справа.С в о й с т в о 9. Для любой случайной величины ξP(a 6 ξ < b) = Fξ (b) − Fξ (a).Д о к а з а т е л ь с т в о. Разобьём событие {ξ < b} в объединение несовместных событий: {ξ < a} ∪ {a 6 ξ < b} = {ξ < b}.
По свойствуаддитивности вероятности, P{ξ < a} + P{a 6 ξ < b} = P{ξ < b},или Fξ (a) + P{a 6 ξ < b} = Fξ (b), что и требовалось доказать.Функция распределения дискретного распределения. Согласноопределению дискретного распределения, его функция распределения может быть найдена по таблице распределения так:XFξ (x) = P(ξ < x) =P(ξ = ak ).k : ak <xИз свойств 8 и 9 вытекает следующее свойство.С в о й с т в о 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
